常微分方程課程教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生能力的實(shí)踐

張 理

(安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002)

常微分方程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)和信息與計(jì)算科學(xué)這兩個(gè)專業(yè)開設(shè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課。它是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)的后續(xù)課程，同時(shí)它又是后續(xù)的偏微分方程和控制論的基礎(chǔ)課程。自然科學(xué)與工程技術(shù)中的許多問題最后都需利用常微分方程來解決。因此，通過常微分方程課程的學(xué)習(xí)，一方面是擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)面，提高對(duì)專業(yè)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，另一方面培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，讓學(xué)生形成利用所學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題能力。筆者從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段、教學(xué)評(píng)價(jià)以及后續(xù)指導(dǎo)等方面著手，努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力。

一、調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力

常微分方程課程教學(xué)內(nèi)容是以教材章節(jié)安排的，教材上的基本內(nèi)容包括：常微分方程的基本概念，方程的初等解法，解的存在性和唯一性定理，解的連續(xù)依賴性理論，線性微分方程(組)解的結(jié)構(gòu)，微分方程定性理論簡(jiǎn)介等。教材注重的是學(xué)生基礎(chǔ)概念和基本理論的學(xué)習(xí)，淡化了學(xué)生對(duì)知識(shí)應(yīng)用能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練，而這與應(yīng)用型人才培養(yǎng)的目標(biāo)相悖。為此，筆者在講完常微分方程每一章節(jié)基本內(nèi)容之后及時(shí)補(bǔ)充一些相關(guān)實(shí)例，引入數(shù)學(xué)建模的思想，一方面讓學(xué)生體會(huì)到常微分方程的數(shù)學(xué)魅力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面培養(yǎng)學(xué)生的科研意識(shí)，鍛煉學(xué)生分析問題和解決問題的能力。比如，在學(xué)習(xí)一階微分方程時(shí)，可以引入年代的判斷與藝術(shù)品防偽問題，讓學(xué)生切實(shí)感受到微分方程的應(yīng)用。在學(xué)習(xí)線性微分方程組的求解時(shí)，舉例蘭徹斯特戰(zhàn)斗理論、飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)等模型，激發(fā)學(xué)生利用微分方程組的知識(shí)解決問題。在講到極限環(huán)的穩(wěn)定性時(shí)，筆者舉例綜合國(guó)力與經(jīng)濟(jì)調(diào)整模型中利用極限環(huán)的穩(wěn)定來表示模型的穩(wěn)定解。在講到混沌時(shí)，用飛行器機(jī)翼振動(dòng)模型來說明其應(yīng)用等。

數(shù)學(xué)建模的過程就是分析問題和解決問題的過程，在此過程中將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，體現(xiàn)微分方程在抽象思維中的應(yīng)用。這種將常微分方程與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合的方法，對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高教學(xué)效果和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力會(huì)起到十分重要的作用。[1]

二、改革教學(xué)方法和教學(xué)手段，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

所謂教學(xué)有法，教無定法，貴在得法。傳統(tǒng)的常微分方程教學(xué)方法是講授法，按照教學(xué)大綱的要求將課程內(nèi)容講授給學(xué)生，教學(xué)注重理論性，缺乏對(duì)學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)。

筆者在常微分方程實(shí)際教學(xué)過程中，根據(jù)不同的章節(jié)采用合適的教學(xué)方法，如啟發(fā)式、探究式、類比式、歸納式等，使得課堂教學(xué)效果達(dá)到最佳。筆者在講解常數(shù)變易法求解二階線性微分方程時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回憶第二章運(yùn)用常數(shù)變易法求解一階線性微分方程時(shí)的原理和步驟，學(xué)生進(jìn)行類比，這樣讓學(xué)生更容易理解和掌握常數(shù)變易法。在講解微分方程的解對(duì)初值的連續(xù)依賴性時(shí)，采用探究式、啟發(fā)式教學(xué)，通過解的存在性唯一性定理可以發(fā)現(xiàn)初值問題的解除依賴于自變量，同時(shí)還依賴于初值。逐步引導(dǎo)學(xué)生深入?yún)⑴c到課堂教學(xué)中來，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索欲望，在探索的過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

教學(xué)手段上除了傳統(tǒng)的黑板加粉筆外，使用多媒體投影和計(jì)算機(jī)來輔助教學(xué),目的是充分發(fā)揮其快捷、生動(dòng)、形象的特點(diǎn),為學(xué)生提供直觀感性的材料,有助于學(xué)生對(duì)問題的理解和認(rèn)識(shí)。隨著信息科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)課程資源的建設(shè)、微課、雨課堂等教學(xué)方式和教學(xué)手段的翻新，可極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂教學(xué)效果。比如，在講解的過程中，通過雨課堂拋出問題，讓學(xué)生當(dāng)堂練習(xí)，及時(shí)了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握狀況，并且學(xué)生對(duì)課堂上所講的每一頁(yè)P(yáng)PT內(nèi)容進(jìn)行及時(shí)的反饋，根據(jù)學(xué)生的掌握程度，對(duì)學(xué)生普遍覺得很難的內(nèi)容側(cè)重進(jìn)行講解。

在微分方程教學(xué)中，復(fù)雜的計(jì)算和討論都可以利用數(shù)學(xué)軟件Matlab來完成，其強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能和圖像分析功能使學(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解放出來，既增強(qiáng)了學(xué)生的理論水平又培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力。同時(shí)，通過數(shù)學(xué)軟件的強(qiáng)大數(shù)據(jù)分析功能和圖形的直觀感受提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。[2]

隨著網(wǎng)絡(luò)課程資源建設(shè)，學(xué)生除了在課堂中學(xué)習(xí)課程內(nèi)容外，還可以進(jìn)一步借助網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)線下學(xué)習(xí)，達(dá)到效果的最大化。建設(shè)常微分方程大規(guī)模在線開放課程(Mooc)，學(xué)生可以直接通過線上完成學(xué)習(xí)本課程，從而為學(xué)生每個(gè)人針對(duì)自己的個(gè)人不同情況選擇不同的學(xué)習(xí)方式。[3]

三、改革課程考核評(píng)價(jià)體系，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力

在以往的課程考核中，學(xué)生的總評(píng)成績(jī)=平時(shí)成績(jī)*30%+期末成績(jī)*70%，而平時(shí)成績(jī)大多由學(xué)生的課后作業(yè)和出勤情況來確定，期末成績(jī)是學(xué)生本課程期末考試的卷面成績(jī)。這種考核方式缺乏對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的考核，注重的是學(xué)習(xí)結(jié)果的評(píng)價(jià)。這種評(píng)價(jià)體系導(dǎo)致教師不能實(shí)時(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從而也就不能及時(shí)調(diào)整教學(xué)計(jì)劃和教學(xué)方法。2017年2月我校開始對(duì)部分課程實(shí)行形成性評(píng)價(jià)試點(diǎn)，首先由任課教師申報(bào)、教務(wù)處審核同意，然后由任課教師實(shí)施。在形成性評(píng)價(jià)中，平時(shí)成績(jī)除了考慮學(xué)生作業(yè)和出勤率外，還要求考核學(xué)生的課堂表現(xiàn)，比如課堂討論、平時(shí)測(cè)驗(yàn)、課堂回答問題以及課后學(xué)習(xí)的自主性、實(shí)踐學(xué)習(xí)等方面，要求平時(shí)成績(jī)所占比例不少于40%。常微分方程申報(bào)形成性評(píng)價(jià)課程后，平時(shí)成績(jī)占45%，主要包含以下內(nèi)容：

課堂討論。課堂上除了考察學(xué)生的出勤情況和課堂反應(yīng)外，在教學(xué)的過程中將一些重難點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行課堂討論，讓學(xué)生發(fā)揮主體作用，對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行課堂發(fā)言、集體討論。比如，在證明一階微分方程解的存在唯一性定理時(shí)，需要構(gòu)造皮卡序列，這里可以組織一次討論，問為什么需要這樣構(gòu)造序列？當(dāng)一階微分方程無法求出解析解時(shí)，能否計(jì)算近似解？如果能，應(yīng)該怎么計(jì)算出來呢？

學(xué)習(xí)筆記。學(xué)生需要在課外進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，包括提前預(yù)習(xí)、課外網(wǎng)絡(luò)資源的利用、重難點(diǎn)的掌握、疑難問題的理解等。這些自主學(xué)習(xí)的過程讓學(xué)生做一個(gè)記錄，教師通過學(xué)生的學(xué)習(xí)筆記了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況并給予指導(dǎo)，同時(shí)進(jìn)行成績(jī)的評(píng)定。

階段性測(cè)驗(yàn)。課堂上不定期進(jìn)行一些測(cè)驗(yàn)，有時(shí)在上課的第二節(jié)課快結(jié)束時(shí)給出一兩道題目讓學(xué)生當(dāng)堂測(cè)試，摸清學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。每次測(cè)驗(yàn)教師給予批改并給出相應(yīng)的成績(jī)，讓學(xué)生了解自己這門課程的學(xué)習(xí)情況，也便于教師掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)。

四、抓好課程后續(xù)的提升，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力

學(xué)完本課程以后，有些學(xué)生對(duì)常微分方程產(chǎn)生了濃厚的興趣，希望繼續(xù)深入地學(xué)習(xí)微分方程理論知識(shí)。這時(shí)可以引導(dǎo)這部分學(xué)生加入后繼的選修課微分方程定性理論課程中，讓他們能接觸到非線性微分方程定性理論知識(shí)。

另外，每學(xué)年學(xué)校組織本科生申報(bào)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目，這為大學(xué)生提供了難得的創(chuàng)新實(shí)踐能力訓(xùn)練的機(jī)會(huì)。學(xué)生在申報(bào)和開展項(xiàng)目的過程中促使自己主動(dòng)去查閱文獻(xiàn)資料，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，尋求問題解決辦法，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的科研意識(shí)和創(chuàng)新能力。