“綜合與實踐”數學活動的分型教學

《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調教師應該根據不同學段學生的年齡特征和認知水平，根據學段目標，合理設計并組織實施“綜合與實踐”活動。為此，教師在初中階段活動開展中應當特別關注學情，創造性地開展活動，既充分發揮教師的引領、調控、指導的作用，又充分發揮學生主動參與、積極思考、勇于探究的作用。教學中給予學生足夠的思維時間和空間，讓學生在活動中積累經驗、體驗樂趣、獲得成功，使每個學生得到長足發展。

隨著新課程改革的不斷深入，如何提高“綜合與實踐”活動的質量、增強活動的實效性一直是大家關注的焦點。由于數學“綜合與實踐”活動與日常數學教學相比，無論是教學目標、教學內容，還是教學方式，都存在著顯著差異，這就要求教師要根據實際情況合理選擇課型、分類實施，才能使得“綜合與實踐”活動提質增效。下面是我們課題組在南京市初中數學“綜合與實踐”活動中經常采用的三種主要教學方式。

一、自學輔導，強調適切性

“自學”是指學生發揮主觀能動性，運用已掌握的知識，自己去獨立地獲取知識；“輔導”是指教師將具有邏輯意義的活動內容同學生已有認識結構聯系起來，使其融會貫通，并使學生采取和保持相應的學習心向進行學習。“自學輔導”是將學生自學與教師輔導有機結合的一種教學方式。這種方式的主要特點是把“學”放在教學過程的中心位置，寓“輔”于“學”，教學相長。使學生在獲取知識的同時，掌握學習的方法，培養和提高自學能力，其實質就是讓學生學會學習。運用自學輔導式教學進行“綜合與實踐”活動，主要針對學習主動性不夠、學習基礎和能力欠缺的學生，因而需要特別關注教學的適切性。

運用自學輔導方式進行教學的流程如圖1。

圖1

案例1：尺規作圖

【知識回顧1】

1.五種基本作圖分別是哪五種？

2.五種基本尺規作圖的方法與步驟是什么？

【知識回顧2】

1.利用基本作圖作三角形：（1）已知三邊作三角形；（2）已知兩邊及其夾角作三角形；（3）已知兩角及其夾邊作三角形；（4）已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；（5）已知一直角邊和斜邊作直角三角形。

2.與圓有關的尺規作圖：（1）過不在同一直線上的三點作圓（即三角形的外接圓）；（2）作三角形的內切圓。

【問題探究】

圖2

問題1：如圖2，已知P為⊙O上一點，用直尺和圓規作直線l，使l與⊙O相切，切點為P。（保留作圖痕跡，不寫作法）

思考：（1）本題作圖的實質是什么？（2）解決尺規作圖題的主要步驟是什么？

問題2：如圖3，已知點A、點B和直線l。（1）利用尺規在直線l上作出點P，使得∠APB＝90°；（2） 利用尺規在直線 l上作出點P，使得∠APB＝60°。

變式1：如圖4，已知P為⊙O外一點，用直尺和圓規作直線l，使l過點P且與⊙O相切。（保留作圖痕跡，不寫作法）

圖3

圖4

變式2：已知P為⊙O外一點，______。

這是一節課題研究課中“學習單”的片段，教師首先讓學生在“學習單”上進行兩個層次的知識回顧，為活動開展預熱，其間教師還對知識回顧2中的部分內容進行了輔導，為學生理清知識，去除“綜合與實踐”活動中的知識障礙。在學生獨立完成問題1中的動手操作活動后，教師組織學生對兩個思考進行交流。問題2有一定難度，關鍵在于“在直線l上作出點P”，要聯想到構作圓，這也是本節課的難點，教師在學生充分思考和操作的基礎上，幫助學生回顧圓中的直角（直徑對的圓周角），反過來提示學生作直角只需要知道圓的直徑。變式1實質是活動經驗的應用，而變式2具有開放性，留給學生發揮的空間，這也許正是“綜合與實踐”活動魅力之所在。

這節課的教學起點低、梯度適當、預留空間大，是一節經典的“綜合與實踐”活動課，具有良好的適切性和實效性。

二、引導發現，體現過程性

引導發現式是一種以啟發式教學為指導思想的教學方式。它是以問題解決為中心，以教師的“引導”為手段，以學生的“發現”為目的，充分體現學生在學習過程中的主體地位。在學習活動中，學生在教師的指導與引領下，通過積極主動的思維活動，自主地參與學習過程，通過嘗試發現、實踐體驗、獨立探究、合作交流等形式探索知識，發現、探索、掌握方法，總結規律，提高發現問題的能力，培養創新意識和實踐能力。運用引導發現式進行“綜合與實踐”活動，主要針對學習主動性好、獨立鉆研意識強、學習基礎和能力比較好的學生，因而需要特別關注教學的過程性。

運用引導發現方式進行教學的流程如圖5。

圖5

案例2：數格點，算面積

請計算下列格點多邊形的面積（如圖6）。

圖6

問題：如何提高計算格點多邊形面積的效率呢？讓我們來尋找一個計算格點多邊形面積的公式，以后直接代入公式計算，省略其他環節。

引導1：格點多邊形的面積與哪些點有關系？

設格點多邊形的面積為S，多邊形內部的格點數為N，它的邊上的格點數為L，下面我們來研究S、N、L三者之間的數量關系。

引導2：研究一個復雜問題常常運用什么樣的方法？

活動1：在網格紙上畫出符合條件的格點多邊形，并記錄下每一種情況中L和S的數值，填寫如下表格，通過尋找數字之間的規律，猜想L和S之間的關系。

當N＝1時，

L

你發現了： 。

活動2：組織學生分組完成探究活動：當N分別為2、3時，S與L之間關系。

引導3：猜想S、N、L三者之間的關系。

引導4：你的猜想正確嗎？請驗證。

活動3：初步驗證猜想。

學生以小組為單位，分工協作完成“皮克定理”的初步驗證。

這是一節課題研究課，也是一節南京市市級公開課。教學內容選取于課外，由于規律（公式）的探究和發現難度高、挑戰性強，為了提質增效，教師在活動的每個環節都做了精心打磨，特別是在何時、何處進行引導以及怎樣引導上進行了認真設計。

首先學生運用常規方法計算一個格點多邊形的面積，體會到計算效率比較低，這就引發學生思考：既然格點多邊形有其特殊之處，是否有效率高的面積計算方法呢？這要求學生探尋格點多邊形的面積與哪些量有關系、有什么關系以及怎樣探尋這種關系，這是本節課的核心和難點。當學生陷入困境時，引導1從探究內容的角度，明確探究的方向；引導2從探究方法的角度，指明探究的途徑。隨后學生通過活動1中畫圖、計算、歸納，發現了：當N=1時學生有了活動1的經驗再進行活動2的探究在知識和方法上沒有障礙，得到了與活動1類似的規律。引導3是為了從特殊規律中歸納一般規律而設計的，讓學生不僅體會特殊與一般的關系，而且體會發現的過程和樂趣。公式（S＝，即“皮克定理”）是在特殊結論的基礎上猜想出來的，學生對其正確性深信不疑，而教師非常清楚這是不完善的，引導4要求對公式進行驗證，目的是培養學生數學學習的嚴密性。

這節課的教學不僅充分展示了“綜合與實踐”活動的過程性，而且讓學生在活動中學會了數學研究的方法與多種數學思想，積累了活動經驗，提高了學習能力，體驗到成功的喜悅。

三、參與設計，彰顯創造性

“參與”是指在整個活動過程中全體師生共同合作或協作，即活動過程和結果的發現，學生要全程參與其中。“設計”是指把活動設想通過合理的規劃、周密的安排，通過某種形式表達出來的過程，包括問題的設置、活動方案的設計等等。“參與設計”要求建立民主、和諧、熱烈的教學氛圍，讓不同層次的學生都擁有參加機會的一種有效的學習方式。這種方式以學生為中心，充分利用靈活多樣、直觀形象的教學手段，鼓勵學習者積極參與教學過程，成為其中的積極主體，加強師生之間的信息交流和反饋，使學生能深刻地領會和掌握所學的知識，并能將知識運用到實踐中去，從而提高學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。運用參與設計進行“綜合與實踐”活動，主要針對學習主動且參與意識好、合作交流氣氛濃、知識基礎扎實、有一定創新精神的學生。

運用參與設計方式進行教學的一種流程如圖7。

圖7

案例3：A4紙相鄰兩邊的關系

問題：A4紙很特別，對折后的矩形與原矩形相似，那么A4紙的相鄰兩邊之間有什么關系呢？請同學們探究它們之間的關系，并設計出探究它們之間關系的相應方案。

這是一節數學活動課，學生的知識背景是剛學完圖形的相似，活動內容來源于生活實際，教師設想讓學生運用所學數學知識解決實際生活中的問題。

教師給出活動內容后，學生首先分組研討解決問題的活動方案，先后設計出四種方案，分別是：度量計算、剪紙比拼、折紙疊合、推理論證。其后各小組根據自己的方案分工協作，驗證方案的可行性，教師在整個活動過程中，僅僅是參與者和活動節奏的調控者。下面是四個小組匯報的活動成果。

方案1：度量計算。量得A4紙的長邊為297mm，短邊為210mm，計算了長邊與短邊的比值約為1.414，發現A4紙的長邊約是短邊的倍。

方案2：剪紙比拼。（如圖8）

圖8

也發現A4紙的長邊約是短邊的倍。

方案3：折紙疊合。（如圖9）

圖9

同樣發現A4紙的長邊約是短邊的倍。

方案4：推理論證。（如圖10）

圖10

從以上匯報來看，學生不僅能在教師的指導下開展“綜合與實踐”活動，而且能自主設計較完善的活動方案并將自己的方案付諸實施，且取得了令人滿意的效果。學生在整個活動中充分展示了聰明才智、創新意識和實踐能力，他們思維活躍而縝密、思路開闊且豐富，活動設計不僅有動手操作而且要動腦思考，完全符合“綜合與實踐”活動是“通過問題引領、學生全程參與、實踐過程相對完整的學習活動”的理念。從本節課的教學來看，教師對學情把握準確，活動內容安排合理，活動方式恰當，活動成效顯著，激發了學生的創造潛能。

運用參與設計方式進行教學的另一種流程是在上面一種流程的后面加上“交流感悟”的環節，限于篇幅，這里就不舉例說明了。

總之，要在“綜合與實踐”活動中提質增效，教師必須結合目標要求、教情學情，梳理課型、分類實施。教師在活動實施過程中要放手讓學生參與、引導學生進入角色、有效地組織學生進行合作交流；教師既要關注活動結果，更要關注活動過程；教師要充分利用“綜合與實踐”讓學生積累活動經驗、提高活動興趣、改進學習方式、學會與人合作、培養創新精神、提升綜合素養，從而實現提質增效的總目標。

［1］教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］朱建明.數學探究活動設計中的常見問題及有效改進［J］.教學與管理，2010（13）.

［3］何炳均.源于課本的“微型課題學習”探究實踐［J］.教學月刊:中學版，2014（05）.

［4］何炳均.精于設計樂于探究——例說微型課題學習探究與思考［J］.中國數學教育，2015（04）.