期望效用函數在投資組合中的應用

（西安歐亞學院 陜西西安 710065）

一、EU理論及發展

期望效用函數理論（Expected Utility Theory）是20世紀50年代，馮·諾依曼和摩根斯坦（Von Neumann and Morgenstern）在公理化假設的基礎上，運用邏輯和數學工具，建立了不確定條件下對理性人（rational actor）選擇進行分析的框架。2 0 世紀中期誕生的期望效用理論（簡稱EU理論）將效用的分析從確定性條件或環境帶入了不確定性條件或環境，成為了人們在不確定性條件或環境下的決策依據。[1]

如果某個隨機變量X以概率Pi取值Xi，i=1,2,...,n，如果確定地得到Xi時的效用為u（Xi），那么，該隨機變量給他的效用便是：

其中，E[u（X）]表示關于隨機變量X的期望效用。因此U（X）稱為期望效用函數，又叫做馮·諾依曼—摩根斯坦效用函數（VNM函數）。概率的效用函數表達式叫期望效用函數。

期望效用理論描述理性人在風險或不確定性環境下的消費（ 投資）選擇。若一個決策是在風險下做出的則意味著決策者能夠列出該決策可能產生的所有后果及其相對應的可能性（ 概率），風險意味著決策者對于決策結果的概率分布是已知的。

如果u（w）為一連續且二階可導的 V N M 效用函數

為投資者在財富水平為w 時的絕對風險規避系數；

為投資者在財富水平為w 時的相對風險規避系數。

常見的效用函數有以下幾種：

1.負指數效用函數u（w）=-exp（-rAw ）

3.冪指數效用函數u（w）=-exp（-βwα），α＜0，α β＞0

4.對數效用函數u（ w）=ln（w ）

6.雙曲線效用函數

二、EU理論在投資組合中的簡單應用

利用期望效用理論解決投資決策問題，主要解決的是資產配置問題和收益最大化問題，通過決策優化得到預期收益。所以，作為現代資產定價理論的基石，依據EU理論建立的投資模型，在投資組合優化中具有重要的應用價值。

在經濟學研究和金融投資領域，投資者追求的是自身的期望效用最大化。所以，做出最優資產組合，決策的關鍵是要設計一個投資比例，使其保證投資者的期望效用最大化。[2]

假如有一投資者，其投資風險行為符合對數效用函數，其擁有初始財富值為100000人民幣。假定他選擇兩種投資產品，產品一投資x 元（產品一為風險型投資產品，比如股票），剩余資金投資產品二（為無風險的固定收益投資產品，比如國債），并獲5% 的年化收益率。[3]

現考慮風險產品的單期損益情形：

情形一：

投資者的風險資產價值在一年后會增值5 0%，即變為 1.5x ；

情形二：

投資者的風險資產價值在一年后會損失30%，即變為 0 . 7x 。

在上述兩種情形下投資者一年后的財富分別為

投資者詁計情形一發生的概率為0.6，情形二發生的概率為0.4

可以得出期望效用函數

要使該投資者風險資產投資份額 x 效用最大化，對上式一階求導并令其等于0，則有

可得x≈86666.7

得到相應的期望效用E[u（x）]=11.56

這樣投資者對風險型產品一，投份額為86666.7元，就可以得到效用最大化的收益。

該理論的應用前提是投資者對風險型產品的損益要有量化估計，要對產品損益情況發生的概率有所估計，這本身是一件難事。所以該理論的應用具有一定得局限性。

[1]宋立軍楊永愉基于效用函數的投資組合[J].北京化工大學學報,2008,35(2):110-112.

[2]馮素芬效用函數在金融學中的應用[J].北京工業職業技術學院學報,2010,9(1):119-121.

[3]陳凱黃滋才基于期望效用與前景理論的行為決策精算定價模型[J].保險研究2017(J):56-67