一種改進的高斯濾波方法

閆 冬，盧曉東

（1.中國電建集團湖北工程有限公司，湖北 武漢 430040；2.華中科技大學 生命科學與技術學院，湖北 武漢430074）

點模型是實物模型轉化為數據模型的最早表現形式，可表示任意平面曲線或三維曲面。由于原始的超聲數據信號存在噪音，因此濾波是三維數據建模的必要步驟。濾波的目的就是使數據更加光滑，空間曲線和曲面連續性更好，所以濾波要剔除夾雜在數據點云中的各種噪聲，在使模型變得光滑的同時保持模型固有的幾何特征，且要防止體積收縮和模型變形[1-3]。另外，還要兼顧修改后的曲線（面）同修改前的曲線（面）的“偏離”，以保證各項性能指標不受影響。作為一個經典問題，點模型濾波有大量算法。在地學測量領域，基于TIN和聚類的算法多用于LiDAR點云的濾波[4-5]；醫學圖像濾波采用非局部利用圖像中的相似區域抑制噪聲的方法[6]。這些方法的基本思想為若某個點的值是其鄰域內點的平均值，則認為點模型是光滑的，即不停地將某個點向其鄰域的均值移動，其原理就是Mean Shift[7]。其中，由Taubin G提出的高斯濾波算法是一種非常有效的方法。該算法不停地對模型進行縮放，讓每個點向其鄰域重心移動，從而達到濾波的目的，但濾波后的結果可能會偏離原來的模型或發生變形，因此本文提出了一種改進的算法，能在光滑數據的同時，有效控制偏移。

1 算法原理

高斯濾波算法原理為：設原始點集合為{xi}，i=1,2,…,n，對于其中的某個點xi，搜索到其鄰域點集表示為{xj}，j∈i；再根據這些鄰近點計算當前點的估計值xi*，并比較xi和xi*的差距，將xi向xi*位置做一定移動；然后重復上述操作[8]。

1）計算當前點的鄰域重心：式中，j為i鄰域內點的編號。

2）計算當前點濾波后的位置：

滿足λ>0、μ<0，它們的絕對值小于1，且μ的絕對值比λ的絕對值大的條件。因為當迭代次數為奇數時，各點向其鄰域重心移動，即光滑的同時，點云模型相對于實際模型是縮小了；于是當迭代次數為偶數時，相當于在一個縮小的模型上放大，只有在大于原始縮小倍數的情況下，才有可能放大到原來模型的大小，所以μ的絕對值應比λ的絕對值大。該算法思想簡單，容易理解，但在實際應用中如何確定λ、μ值，往往存在一定難度，且迭代次數一般為偶數。

鑒于此，本文提出了一種改進算法。改進算法的前兩步與高斯濾波算法一致，僅將步驟2）進行多次交替操作，即當操作次數m為奇數時，按式（2）計算；當m為偶數時，按式（3）計算，然后不斷迭代。

顯然，改進算法與高斯濾波算法本質上是一致的，都是通過不斷縮放模型，剔除噪聲點。其關鍵差異在于，通過縮放的交替操作，減小了縮放比例（光滑系數）差異引起的濾波后數據偏離原始模型的可能性，且結果對參數的進一步依賴性減弱。濾波的結果。圖2a為利用高斯濾波方法處理的結果，頂部有一定的凹陷，濾波后數據存在一定變形；圖2b為改進算法處理20次的結果，相對于傳統方法，其光

2 實驗驗證

圖1 為噪聲模型經過高斯濾波方法與改進算法濾波后的結果，可以看出，兩種算法的光滑效果相當，但圖1b發生了明顯的位移（圓上半部分），而圖1c位置信息保存完整，基本沒有發生位移。因此，改進算法較好地保持了原始位置和輪廓大小，且消除了噪聲。

圖1 兩種濾波方法的濾波結果

圖2 兩種算法三維球面濾波結果

圖2為對具有一定高斯噪聲的標準三維球面進行滑性較差（可通過多次迭代解決），但數據沒有顯著形變，仍然是一個完整的球面。比較圖1、2可知，高斯濾波方法濾波后，圖1的形變較大而圖2則相對較小，主要原因為原始數據中加入的噪聲量不同，較大的噪聲將導致相對大的偏移。

圖3a中的藍色曲線是一個接近高斯分布的曲線，曲線上存在一定噪聲，利用改進算法濾波后的結果為紅色曲線，顯然噪聲得到了剔除，且有效保持了原始數據的特征信息。圖3b中黑色曲線為傳統高斯濾波后的結果。比較而言，改進算法對特征的保護（峰值）是非常好的，而高斯濾波后，峰值被丟棄了。

圖3 兩種算法的濾波結果比較

3 結 語

本文在傳統高斯濾波算法的基礎上，提出了一種改進算法，通過交替迭代縮放操作，克服了確定縮放系數的難點，從而較好地解決了傳統方法中在光滑數據的同時易造成數據偏離或偏移原始模型的問題。算法非常簡單，實現過程容易。

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