基于離散型變量的概率分布問題探討

戴杏冰

摘 要 離散型隨機變量的概率分布是近年高考命題的熱點，高三一次模擬考的統計概率題目學生完成情況不理想，針對這一類型的問題，學生遇到的困難，本文將從離散型概念的理解，概率在決策問題中的應用和數學閱讀能力的培養等方面進行闡述，讓學生更好掌握此類問題。

關鍵詞 離散型隨機變量 散型隨機變量均值 決策 數學閱讀

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

從近年來的高考命題熱點分析來看，比較熱門的是離散性隨機變量的概率分布，從具體的命題來看，范圍主要在期望與方差以及其運用，此類試題主要強調的是應用性，在構建相關數學模型時，依據的背景是實際的問題，主要是為了能夠對學生的數據處理與運用意識進行考查。為了深入探討該類問題，本文引用了以下例題在學生中進行進一步的研究，具體例題如下：在一次高三的模擬考試中，考察了下面的試題：

（2014年湖北高考 改編）計劃今年在某水庫中建造一座水電（最多放置3臺放電機），在查閱過去50年的相關水文資料發現，該水庫的年流量為X均在40億立方米以上，其中，年流量低于80億立方米的有10年；但超過80億立方米但低于120億立方米的有35年，而超過120億立方米的只有5年。現以這三段作為相應的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.

（1）求在未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；

（2）水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量限制，并有如下關系；

若某臺發電機運行，則該臺發電機年利潤為5000萬元；若某臺發電機未運行，則該臺發電機年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？

本題以實際問題為背景，考察考生對隨機變量分布列概念的理解及其確定方法，以及對隨機變量數學期望概念的理解和應用。在實際閱卷情況并沒達到預期目標，第一問學生基本完成，第二問則完成情況得不理想。筆者對學生的答題情況作了分析并抽取部分學生進行訪談，發現學生對統計概率的相關概念理解薄弱，每當問題的背景變得稍微復雜，學生就會無從下手。基于以上類型情況，筆者就此類題目進行如下的根源探析。

1（離散型）隨機變量含義的正確理解

隨機變量的定義：如果對于試驗的樣本空間 中的每一個樣本點 ，變量X都有一個確定的實數值與之對應，則變量X是樣本點 的實函數，記作X=X（ ）。我們稱這樣的變量X為隨機變量。

從隨機變量的具體分析來看，其教學的內容相對比較簡單，一般只涉及兩方面的內容，即概率論和數理統計。但是從實際應用來看，其會涉及許多學生所不具備的基礎知識，所以單就隨機變量而言，其表現出了抽象性和孤立性。為了在教學的過程中使學生對實驗結果的數量化認知更加的自然，讓學生對隨機變量引入的簡潔性進行感受十分的必要。就教材內容來看，拋擲骰子的點數，產品檢驗中次品的件數等都是與之相關的內容。通過大量實例的分析，引導學生逐步理解隨機變量的含義。有些老師因為課時緊張，匆匆帶過，忽略學生知識形成過程。教材中提到“在研究隨機現象時，需要根據所關心的問題恰當地定義隨機變量”。如何了解這句話？什么為之恰當？教材安排電燈泡的使用壽命的例子，如果我們僅僅關心電燈泡的使用壽命是否不少于1000小時，那么就可以定義如下的隨機變量： ，如果規定壽命在500小時以上的燈泡為一等品；壽命在1000小時到1500小時之間的為二等品；壽命在1000小時之下的為不合格品.如果我們關心燈泡是否為合格品，應該如何定義隨機變量？如果我們關心燈泡是否為一等品或二等品，應該如何定為義隨機變量？如果我們關心燈泡的使用壽命，應該如何定義隨機變量？通過對問題的發散，訓練學生根據實際問題需要恰當地定義隨機變量的能力，一個好的例子勝過一千次說教。

例題中，根據題意，水庫安裝的發動機臺數為1，2，3三種情況，但安裝的發電機不一定能發動，隨機變量年利潤是由發動的發電機決定的，進一步發電機能否發動是由年流入量決定的。所以這三種情況的年利潤由年流入量決定，但考慮年流量的角度不同。若安裝一臺發電機，水庫年入流量都在40以上，則發電機全部發動；若安裝兩臺發電機，則要考慮發動一臺的情況和發動兩臺的情況，年流入量80以下發動一臺，80以上發動兩臺，80是個臨界點；若安裝三臺發電機，則要考慮發動一臺、兩臺和三臺情況，年流入量80以下發動一臺，年流入量80以上120以下發動兩臺，年流入量120以上發動三臺。根據安裝發電機臺數不同，定義隨機變量年利潤不同。

2離散型隨機變量均值在決策問題的應用

離散型隨機變量均值“是離散型隨機變量取值的平均水平”。這里“平均水平”的含義可從兩種角度來理解：第一種從定義的角度，隨機變量是以概率為權的加權平均；第二種是從樣本（或觀測）的角度，隨機變量的均值是該隨機變量的多次獨立觀測值的算術平均值（當觀測次數趨于無窮時）的極限，即由獨立觀測組成的隨機樣本平均值（當樣本容量趨于無窮時）的極限。在實際應用中，特別是在決策中，第二種理解作為我們利用均值解決實際問題的重要依據。普通高中課程標準實驗教材書數學（A版）選修2-3第二章2.3例3是一個典型的決策問題，教學中應突破讓學生了解為什么用平均損失最小的原則來決策，逐層遞進，讓學生有利用均值解決生活中決策問題的思想。例題講述是氣象情況不確定，有多種情況發生，選用哪個方案好。如果氣象情況確定，選用哪個方案確定，由于氣象情況不同，選用的方案不同。而隨機變量的均值是該隨機變量的多次獨立觀測值的算術平均值，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平。因此我們可以用平均損失最小的原則來保證在遭受到多次損失的情況下，各次損失的平均值接近于最小。教材例3與例題有著異曲同工的效果，只不過選擇方案換成選擇安裝多少臺發動機，都是決策性問題，都需要用均值解決。考題中明確說明利潤均值最大，如果題目刪除此句，考生應該也有均值思想。

3不可忽視的數學閱讀能力

從近年來的高考分析來看，其對于學生閱讀的要求在不斷的提升，考察學生閱讀理解能力的題目也在顯著的增多。對于此類題目，要進行解決，最有效的辦法就是對題目當中的各類信息進行把握，然后綜合上下文的內容分析出可利用的條件，這樣，看似沒有條件的題目才能夠得到有效的解決。簡言之，閱讀能力的強化和分析能力的加強，對于解決閱讀類題目幫助巨大。而就此類題目的具體分析來看，其具有四個顯著的特點：第一，構思較為新穎；第二，綜合性較強；第三，知識面較為廣泛；第四，信息量較大。學生看到大段的題目時心里瞬間涌起抗拒的情緒，未審題就望而卻步，為其貼上了“難題”的標簽。基于題目特點，老師在具體的時候，要對學生的閱讀能力進行強化培養，這樣才能讓學生在面對閱讀類題目的時候能夠準確理解和分析，進而獲得有效的訊息。

就現階段的數學教學分析來看，教科書在教學活動當中的主體地位十分的明顯，一方面，其是老師教學基礎依據，另一方面，其是學生獲取知識的主要材料，而且就教科書的具體分析來看，其還具備的思想性和科學性。數學教科書不僅能夠充實學生的基本技能，還能將生活中的一些實事融入進教材中，通過與實際的結合來滲透科學思想，所以說，教科書在具備科學性的基礎上也對學生的心里順序進行了考慮。再者，教科書的利用對于學生的閱讀能力培養也有著吉吉的意義，因此說，數學教科書的綜合性價值顯著。從目前的教學分析來看，由于教師在教學中，過于重視教材的研讀，忽視了教科書的重要性，所以在教學開展中，老師所遵循的一般模式是先領導學生做具體內容的分析，然后才進行教科書的閱讀與了解，這種教學模式的即時性效果顯著，但是學生自己體會教科書的在有效性卻大打折扣。如果長期遵循這樣教學模式，學生自我閱讀和理解教科書的機會會越來越少，這對于學生自主學習能力的提升和閱讀理解能力的培養十分的不利。基于上述問題的考慮，老師在教學開展的時候對課堂做合理的安排，既留給學生自主閱讀教材的時間，又可以通過教學串聯實現舊知識的回顧和新知識的開啟。在這樣的串聯教學中，教學效果會獲得循環式上升。總而言之，通過課堂的科學構建，留給學生自我閱讀教材的時間，這樣，其自主學習可以得到培養和強化。

參考文獻

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