相關系數在松北地區表層建模中的應用分析

潘家智

中國石化石油工程地球物理有限公司勝利分公司，山東 東營 257000

引 言

精確的表層速度結構數據是進行地震勘探激發井深設計、保證激發效果的基礎。諸多學者依托點上的表層資料進行了激發技術研究，如李天樹、劉艾奇、王永卓等通過對雙井微測井資料的運動學和波動力學特征分析，確定了利用虛反射界面準確地選擇激發井深度的方法[1-3]。張付生等從激發的虛反射效應、激發巖性與炸藥類型的耦合關系以及子波品質等方面，研究不同地表條件下的激發因素，探討了最佳激發因素的選擇途徑[4]。張光德等針對柴達木盆地三湖地區近地表結構復雜的特點，提出了結合微測井初至時間、波形、能量及Q值變化，進行表層結構精細解釋的三步分層法，制定了新的激發井深設計原則，解決了該區的激發難題[5]。崔汝國等針對濟陽拗陷的黏土介質，對影響激發效果的因素進行了系統分析和理論探討，認為在泥質黏土中激發，有利于激發出較高能量的地震波[6]。

鑒于勘探成本的原因，實際表層調查點的密度為0.5個/km（二維）和1個/km2（三維），其余激發點按照數學方法進行內插，取得全區各個物理點的表層速度結構的分界面。如何保證內插數據的準確、合理性是保證全區激發井深設計有效的關鍵。進行表層速度結構分界面插值，有多種數學插值方法可以優選利用，這些方法廣泛應用于地質建模過程中。游明亮等對克里金插值法、反距離加權插值法、最小曲率插值法和線性插值法進行了對比研究[7]，認為克里金插值法是比較實用的方法；葉勇等認為對于表層建模[8]，簡單平均法、反距離加權、趨勢面法、有限分析等是解決插值問題的強有力工具，但這些方法計算簡單，但未考慮變量的空間變化趨勢。尤其是在地形起伏比較大，控制點稀少的情況下，不了解表層速度結構的變化規律，起伏段無控制點時，表層厚度的插值存在多解性；同時，當地形低洼處無控制點時，不考慮地形而只單純采用數學方法內插，會出現兩個層面相互交叉的現象，因此，應研究建立表層低降速帶界面和地表高程之間的關系，提高建模的準確合理性。潘宏勛等將微測井的分布情況與測區地形變化相結合[9]，提出了距離比、積分絕對值比等多參數微測井資料評價方法，評價微測井密度對表層建模的影響。葉勇等研究出了起伏地表微測井離散數據地質統計三維建模方法[8]。李衛忠等提出近地表相和近地表相分析的概念[10]，利用可控震源地震采集、近地表調查等數據，進行了近地表黏彈性參數反演，并建立了高精度的極淺近地表層模型。

應用相關系數可建立表層界面與地表高程之間的關系，王彥倉等基于地理信息，結合表層調查控制點的成果[11]，對地表進行精細建模，取得了較好的效果；葛利華等根據井中微測井結果及層間相關系數[12]，建立了該測線的表層模型，兩者均對相關系數的原理進行了闡述，但沒有深入分析。于寶華等對相關系數與控制點密度的關系進行了分析[13]，認為只要控制點是離散點，就會造成相關系數的誤差，影響表層模型精度，但對相關系數如何取值沒有進行深入研究。

本文以松北地區二維地震項目高密微測井調查為依據，研究了影響相關系數取值的各種因素，結合松北地區表層沉積規律，總結了松北地區相關系數的取值方法，提高了表層建模精度，改善了單炮的激發效果。

1 相關系數原理

1.1 相關系數原理

數量分類學中，相關系數用來表示兩個離散型隨機變量間相似程度的指標，用K表示，其值在0～1，即0≤K≤1。對于表層結構中的兩個不同界面，K越趨近1，則表示兩個界面變化趨勢越相似，反之，則表示兩個界面之間相關性越低。

由于近代沉積的連續性和繼承性，地表與界面、界面與界面間有一定相關性，利用這種相關性結合表層調查控制點進行內插，可建立表層速度結構模型。圖1為利用相關系數進行內插的原理。

圖1 利用相關系數內插表層厚度示意圖Fig.1 The schematic diagram of the calculation of the surface thickness using correlation coefficient

如圖1所示，在已知A、B兩點的高程、表層厚度的條件下，求取A和B點之間某一點G點的表層厚度，需要知道G點的高程數據，首先利用線性插值法求出G點的內插厚度（沒有考慮地形起伏），然后，利用地表與表層界面相關系數求出需要增加或減小的厚度，以上兩者相加得到G點的最終表層厚度，其公式為

式中：hG—G點的低速層厚度，m；

ZAB—由A和B兩點的厚度內插得到的G點厚度，m；

EG—G點的地表高程，m；

EC—C點的內插高程，m；

K—地表與高速層頂界（降速層頂界）的相關系數，無因次。

1.2 相關系數計算方法

求取準確的相關系數是取得精確表層內插值的關鍵，求取方法采取定性和定量兩種方式，主要有以下幾種方法。

1.2.1 人工經驗取值法

人工經驗取值法依靠地形和厚度的相對關系定性判斷相關系數的大小，該方法對表層特征明顯的地區應用效果好，如具有穩定表層界面的塔里木盆地沙漠區，潛水面穩定，其相關系數為0。

1.2.2 分布特征統計分析法

分布特征統計分析法也是一種定性分析方法，有2種方式。

一是頻率統計法，可以用表層厚度值的統計參數值定性地衡量高速層界面、降速層界面與地形的相似程度，達到量化相關系數的目的，如標準方差、協方差等參數。

標準方差越大，說明離散程度越大，此時可用下式進行計算

式中：Dh—低降速帶厚度的標準方差，m；

hi—控制點的低降速帶厚度，m；

E—取低降速帶厚度的數學期望。

協方差越大，相關程度越高，此時可用下式進行計算

式中：地面高程與表層界面高程的協方差；

Hs,i-地面高程，m；

Hb,i-表層界面高程，m。

但這兩種數值均為有量綱的物理量，不能用于式（1）的計算[14]。

二是相關散布圖法，通過圖示法表示地表高程和表層界面高程相關性及聯系的模式，當相關散布圖分布呈線性分布時，相關性好；分布呈球形（或餅形）時，相關性差[14]。

1.2.3 公式計算法

公式計算法是一種定量分析方法，具體原理為：假設表層結構有m個界面（包括地表），每一個界面有n個控制點，每個控制點具有一個埋深（H），則原始數據可用相關矩陣表示為[14]

矩陣中的元素（i=1，2，···，m；j=1，2，···，n）為第i個界面的第j個控制點高程值，其中：m為表層速度界面的個數；n為每個界面控制點的個數。

利用以上原始數據，采用綜合相關系數來衡量兩個界面之間的相關程度[14-15]，可以從兩個方面來衡量：一方面是衡量兩個界面高程值之間的相關系數K1，K1越大，表示地形與低速帶底界的相關性越強。用下式進行計算

式中：Hl,j-低速帶底界面高程，m。

另一方面是從另一條途徑衡量兩個界面的相關程度，計算表層低降速帶厚度值與地表高程間的相關系數K2，其值指示是否存在高處厚、低處薄的規律，K2越大，表示地形與低速帶底界的相關性越差。用下式進行計算[15]

式中：h1—低降速帶厚度平均值，m。

綜上所述，人工經驗取值法受人為因素影響大，分布特征統計法不能取得相關系數的數值，兩種均為定性的方法，而公式法可以取得較準確的相關系數值。

2 松北地區表層相關系數分析

2.1 適用性分析

相關系數的應用條件和第四系沉積環境有關：一是地表要有起伏性；二是表層沉積要為連續沉積，具有繼承性[16，18]。

松北地區地形以高崗丘陵為主，高差10～40 m，地表起伏。從沉積環境來分析，整個松遼平原在更新世—中更新世時整體為一個古大湖，第四系屬于湖積沉積，在區域上沉積穩定，在一定范圍內橫向上連續穩定，變化較小。該區地下潛水層為第四系上更新統黃土狀粉質黏土微裂隙孔隙潛水，主要是受大氣降水影響，在巖性相同條件下，潛水面深度隨地形變化不大。由于后期的流水切割、侵蝕，形成局部的起伏地形，在一定程度上破壞了原來的沉積結構，造成局部表層厚度和地形的相關性減弱。因此，呈現表層整體相關性強，局部起伏區域相關性低的特征。

2.2 表層數據相關性分析

松北地區表層調查方法以微測井調查方式為主，按照0.5口/km的密度均勻布設，最終取得4條測線170個點的調查數據。分測線提取各個控制點的低降速帶總厚度、地表高程和高速頂界面高程，統計出各測線的均值、中值眾數和極差，利用式（2）、式（3）、式（5）和式（6）分別計算出標準差、協方差、地表與高速頂高程及地表高程與厚度的相關系數，分析數據見表1。

表1 松北地區二維測線表層厚度數據統計分析表Tab.1 Statistical analysis of surface layer thickness of 2D survey lines in Songbei Area

從統計數據分析（表1）可以看出，極差波動幅度大，ml-14-ew80測線標準差值最大，且協方差也最大，對相關性的評價出現矛盾，地表高程和高速頂高程的相關系數均大于0.900，為高度相關，和沉積特征分析不符。同時，兩種相關系數的計算結果存在矛盾，不同測線的地表高程與表層厚度的相關系數差值較大。存在這種差異的原因是什么？影響因素有哪些？這都需要進行系統分析。由于表層數據包含了不同的地形條件，整體分析針對性不強；同時，調查點的點距大、點位分散，數據分析的冗余度不夠，需要通過較高密度的調查點進行影響因素分析。

2.3 基于高密度微測井的影響因素分析

以典型的高崗丘陵區為目標區，選取兩段不同地形進行高密度微測井調查，長度各為2 km，點密度為1口/（80 m）。第1段為起伏型，相對高差在20 m左右；第2段為平緩型，相對高差基本在10 m之內。兩段各完成表層調查點26個，共計52個點，基于以上調查數據進行影響因素分析。

2.3.1 計算方法的影響

圖2為利用頻率統計法對表層總厚度統計分析的結果，第1段，表層厚度值統計的標準偏差為3.57，第2段為1.690，因此，第2段的相關性好。而從相關散布圖來看（圖3），第1段分布呈現線性，第2段為紡錘型，第2段相關性差，兩種圖示的定性評價方法存在矛盾。利用式（2）進行相關系數的定量計算，第1段相關系數0.660，第2段為0.703，兩段相關系數取值比較接近，是否正確？

在兩段各抽取具代表性的3個點的厚度成果，3個點間距800 m，采用不同的相關系數進行厚度內插，計算內插值和實際調查值的誤差。差值曲線分析（圖4），第1段采用0.600～0.700的相關系數總體誤差最小，和實際調查值接近，從平均誤差值計算可知（圖5），相關系數達到0.600～0.700的均差值最小；第2段相關系數為0.900的厚度誤差最小。和計算值相比，第1段相關系數值接近，而第2段相關系數值實際驗證值和計算值差異較大。

圖2 高密微測井表層厚度統計直方圖Fig.2 The histogram of surface thickness with high density micro logging

圖3 高密微測井表層相關散布圖Fig.3 The scatter diagram of surface thickness with high density micro logging

圖4 不同相關系數厚度插值與實際值的差值曲線Fig.4 The interpolation of the thickness of the correlation coefficient and the actual value with different cross-correlation

通過以上分析可以看出，無論是相關分布圖法，還是數學公式計算法基于變量進行統計分析，當即地形高程變化大時，計算結果符合實際，當地形高程變化范圍較小時，就不能精確地反映相關程度。

因此，需要對相關系數計算公式進行優化，改變衡量標準，將原來不同界面高程的相關性轉變為衡量表層厚度值的浮動程度，新公式為

式中：所選段的平均厚度，m。

利用式（7）對兩個高密度微測井段的相關系數重新計算，如表2所示，新計算值和實際驗證值相近，因此，用厚度值的變化衡量相關性更精確。

2.3.2 地形起伏程度的影響

兩段高密微測井的相關系數計算結果顯示，在平緩區域，表層厚度相對比較穩定，相關系數高；在地形起伏較大區域，存在高處較厚、低處變薄的情況，相關系數降低，以上兩段區域相對高差和表層厚度值接近。表3為在表層厚度值不變時，采用不同相對高差進行相關系數的計算結果。

圖5 不同相關系數內插值與實際值誤差平均值Fig.5 The average value of the error of interpolation and the actual value in the thickness with different cross-correlation

表2 新老相關系數公式計算結果對比Tab.2 Comparison of new and old correlation coefficient formula

從表3可以看出，高差遠大于表層厚度時，相關系數較大，說明地形高差和表層厚度的差越大，相關系數越大，也就不能準確地反映表層厚度的變化情況，因此，在相關系數的計算過程中，應根據高程變化情況分段進行計算，選擇合適的統計半徑。

2.3.3 統計半徑的影響

相關系數的準確、合理性也和統計范圍有關。對控制點密度為0.5個/km的測線段采用不同統計半徑計算，統計半徑為4 km時，相關系數值為0.600～0.990；統計半徑為10 km時，相關系數值為0.950～0.990。分別進行表層厚度內插計算，差異主要體現起伏劇烈區域，最大誤差達到12 m，平緩區域差異稍小。

采用擬合曲線對比進行分析。圖6a是10 km范圍內地表高程和控制點數據，其中，藍色曲線為地表高程線，紅色點為表層控制點高速頂界高程，分別對其進行擬合，求取擬合函數。可以看出，其擬合多項式均為6次，兩者變化非常相近，但兩個多項式的相關指數存在差異，高速層頂界高程較地表高程的擬合程度更高。圖6b為4 km范圍內地表高程、控制點數據及擬合曲線和擬合函數，從圖6b可以看出，二者的擬合函數接近，相關指數均達到0.900以上，擬合程度高，但兩條擬合曲線的形態出現差異，相關性變差。因此，當采用大的統計半徑時（圖6a），反映的是總體相關性，地形和高速頂高程的擬合曲線十分接近，因此相關性好，但對于局部插值計算誤差要大；而采用適當的統計半徑有利于反映局部的表層厚度變化特征，提高表層內插的精確性。

2.3.4 控制點密度的影響

當統計半徑一定時，增加控制點密度可提高該段相似系數的精度。根據兩段高密微測井的統計結果，在采用合適相關系數的前提下，平緩段采用800 m左右的控制點間距可保證表層厚度的內插精度；而在起伏地形，控制點間距要在200 m才能保證計算結果差異不大。該區表層控制點的布設要結合地形情況靈活布設，地形復雜區適當加密，平緩區適當抽稀。

圖6 高速層頂界高程與地表高程的相關性分析Fig.6 The correlation analysis of the elevation of bottom of LVL and surface

2.3.5 異常點的影響

3個控制點的間距800 m，選擇兩組進行對比，兩組數據差異在C點，第2組的C點是一個異常點（在低處厚度突然增加）。相關系數的計算結果顯示（表4）：第1組選擇點位合理，其計算結果和相關系數最佳值基本相同（最佳值為0.680）；而第2組由于C點厚度值增加，3個點的厚度變化幅度變小，相關系數提高。

表4 異常點對相關系數的影響Tab.4 The influence of abnormal points on correlation coefficient

因此，在相關系數計算時，要驗證參與計算表層控制點數據的合理性和有效性，對異常點位進行正確處理，保證相關系數精確。

根據松北地區表層沉積規律和相關系數影響因素的分析，該區相關系數的取值應遵循以下原則：

（1）合理布點 摒棄均勻布點的傳統方式，根據地形特征布設控制點，利于統計計算數據準確；

（2）綜合分析 根據地形、數據變化情況采用多種計算方法對比，做到取值合理；

（3）分段計算 根據地形高低、起伏劇烈程度及沉積類型分段計算相關系數值；

（4）精選點位 基于第四系沉積規律，分析控制點成果的代表性，避免突變點影響。

3 應用效果

通過對松北地區表層沉積規律研究和表層數據的統計分析，發現松北地區表層結構呈現出表層速度界面高程隨地形增高而增高的趨勢，整體相似系數在0.600以上。在平緩區表層厚度比較穩定，相似系數在0.900以上；在一般起伏區，存在高處表層厚度大，低處厚度薄得特征，但也呈現隨地形起伏而起伏的形態，只是起伏程度較小，相似系數在0.600以上；在起伏劇烈區，相對高差達到表層總厚度的2倍以上，相似系數高，對局部厚度的變化不能有效控制，對總體厚度有一定的控制作用。

根據以上認識，求取了不同測線段的相關系數值，改變了起始階段認為該區高速層頂界和地形高程變化無關的錯誤認識，修正了相關系數，使表層厚度的內插值更加合理、精確，建立了精確的表層厚度模型。圖7是1080線表層速度界面模型修正前后對比，圖7a在全測線采用了相同的相關系數（0.500），圖7b為根據研究成果對測線進行分段求取相關系數后建立的表層模型，第1段和第5段地形起伏相對劇烈，高差遠大于表層厚度，相關系數在0.900左右；第3段為一般起伏區，地形高差接近表層總厚度，相關系數在0.600～0.800；第4段相對比較平緩，相關系數為0.850；而第2段地形平坦，修正前后基本沒有變化。

圖7 1080測線表層厚度模型Fig.7 The model of surface thickness of Line 1080

為驗證應用效果，在以上所劃分的5個區域內，對比了根據模型修正前后設計井深的單炮（圖8）。

圖8 單炮對比（30～60 Hz）Fig.8 Comparison of shot gather（30 ～ 60 Hz）

從圖8可以看出，第1段修正后的單炮雖然井深變淺，但分頻顯示的地震同相軸更加清晰，第2段因修正前后差異不大，單炮品質差異也不大；第3段修正后井深變淺，但淺層地震反射更加清晰；第4段和第5段因相關系數提高、地處低凹處，井深適當增加，淺層和深層的有效地震反射得到明顯改善。

圖9是新采集和以往采集的成果剖面對比（兩條測線相距2 km），可以看出，新采集剖面的成像效果和信噪比明顯提高，地震反射同相軸連續清晰，波組特征明顯，構造形態刻畫清晰，尤其是斷陷層的資料品質較以往有較大改善。

圖9 新老剖面對比Fig.9 Comparison of the new section and the old one

4 結 論

（1）松北地區第四系具有繼承性和連續性，地表高程起伏程度適當，具備相關系數的應用條件，通過相關系數的合理應用，提高了建模精度，改善了單炮激發效果。

（2）計算和選擇松北地區合理的相關系數，要綜合統計分析、近地表沉積規律及地形高差等3個方面，采用合理布點、分段統計計算、去偽存真等方法的綜合應用，有利于取得準確的相關系數，提高表層建模精度。

（3）松北地區表層結構呈現出表層速度界面高程隨地形增高而增高的趨勢，整體相似系數在0.600以上。平緩區表層厚度比較穩定，相似系數在0.900以上；一般起伏區，地形相對高差和表層總厚度接近時，相似系數在0.600以上；起伏劇烈區，相對高差達到表層總厚度的2倍以上，相似系數可達0.800～0.900，對局部厚度的變化不能有效控制，對總體厚度有一定的控制作用。

（4）通過相關系數的合理選取，可以提高總體精度，但具體到某一個點，仍可能存在較大誤差，因此，其使用具有一定的局限性，需要進行人機交互以提高精度。

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