繩索式3D打印機驅動裝置的設計與分析

王樹國，楊一通，嚴衛慶，張駿杰，趙 輝

（東北林業大學機電工程學院，黑龍江哈爾濱 150040）

0 引言

3D打印是一種增材制造技術，屬于快速成型技術，根據零部件或者物體的三維模型數據，利用3D打印設備以材料堆積的方式制造實體的技術。隨著該技術的不斷創新發展，配套設備的不斷升級更新，3D打印技術逐漸的被用于日常生活中。世界上第一臺售價100美元的3D打印機在加拿大薩斯喀徹溫省問世。2014年8月21日，蘇州盈創建筑材料公司使用1臺大型1的3D打印機，利用1 d時間建造了10棟200 m2的毛坯房；這臺3D打印機長150 m，寬10 m，深6 m，打印出房屋的結構組件，再運到現場進行房屋的組裝搭建[1-2]。

隨著3D打印技術產業的不斷發展，打印設備的大型化、輕型化，將是未來發展趨勢之一[3]。為了實現3D打印設備的大型化、輕型化，設計了一種利用繩索作為傳動機構的驅動裝置。

1 繩索驅動裝置描述

所設計的驅動裝置主要結構由定平臺、動平臺和3根立柱—電機—繩索組成：繩索的一端與立柱底部的電機相連，通過立柱頂端的萬向輪，從頂端繞出與動平臺相連（圖1、圖 2）。

裝置的工作流程：①步進電機旋轉帶動繩索；②繩索運動牽制工作平臺進行運動；③通過控制電機轉軸的旋轉使工作平臺按指定軌跡進行運動。

圖1 驅動機構

2 運動學分析

圖2 實物

2.1 運動學反解分析

驅動裝置動平臺的空間運動是通過電機的轉動來控制的，對于動平臺在空間中到達的任意位姿，3個電機均有特定的角位移與之對應。運動學反解就是當工作平臺的位姿給定時，可以根據機構的運動學關系，求解各個電機旋轉所收放繩索的長度、速度和加速度[4]。

建立坐標系，以定平臺上表面幾何中心為原點建立坐標系O—XYZ，以動平臺上表面幾何中心為原點建立坐標系O'—X'Y'Z'（圖3）。其中，Ci（i=1,2,3）為三立柱頂端的位置，用向量表示為（1）式。

圖3 機構坐標分布

其中，?i為OCi與坐標系O—XYZ中X軸正方向之間的夾角i=1,2,3；R為三角形定平臺的外接圓半徑；h為立柱頂端到平面坐標系O—XY的垂直距離。

坐標系O'—X'Y'Z'中，繩索與動平臺的連接點Bi，用向量可以表示為（2）式。

其中，αi為OBi與坐標系O'—X'Y'Z'中X'正方向的夾角，i=1,2,3；r為三角形動平臺外接圓的半徑。

設[XYZ]T為動平臺中心點O'在坐標系O-XYZ下的位置向量，在坐標系O-XYZ中點Bi用向量可表示為（3）式。

由于?i=αi（i=1，2，3）下列公式中統一選用?i。則向量CiBi可表示為（4）式。

由此可得到向量CiBi的模li滿足CiBi2=li2。將CiBi帶入，得到式（5）。[X+（r-R）cos?i]2+[Y+（r-R）sin?i]2+（Z-h）2=li2。即

將繩索從電機連接到工作平臺的總長度設計為固定值L，電機軸上纏繞的繩索長度為Δli則L=li+h+Δli，即Δli=L-li-h。將li帶入，即可得到電機軸上纏繞繩索的長度即電機軸外表面上一點 的 線 位 移 為 ：Δli=L-h-至此，只需給出某時刻動平臺幾何中心的坐標，由Δli的計算公式即可求得電機軸上繩索的纏繞量即繩索收放的改變量[5，6]。在后續的Adams仿真實驗中，將對推出的逆解進行仿真驗證，仿真的結果將對系統的可控性、平穩性提供分析依據[7]。

2.2 運動學正解分析

運動學正解是指，已知驅動電機的電機軸外表面上某點線位移，求解平臺末端的位置坐標[8]。現采用幾何解析法進行運動學正解的求解[9]。可寫成式（6）形式：

其中，ai=（r-R）cos?i，bi=（r-R）sin?i；i=（1,2,3）。整理得到式（7）。

其中，di=li-ai-bi-h，將L=li+h+Δli帶入得di=（L-h-Δli）2-，i=（1,2,3）。整理得式（8）。

解式（9）一元二次方程，得

因為工作平臺一直位于O-XY坐標平面的上方，所以Z≥0。即

綜上所述，該機構的運動學正解為式（3）和式（11）。

2.3 機械結構雅克比矩陣的推導和速度分析

該驅動機構輸入運動是由3個電機的轉動轉化為運動平臺的三維運動。構建該驅動機構的雅可比矩陣可以對其運動特性進行分析，即對輸入運動和輸出運動之間的關系進行分析[10]。對式（5）進行整理得到式（12）。

其中，vx，vy，vz表示動平臺幾何中心在坐標系O-XYZ中X，Y，Z3個方向的速度大小，v1，v2，v3表示繩子收放速度即電機軸外徑的線速度。

對式（13）進行整理得（14）：

將式（13）整理成矩陣得：

J=B-1A，則矩陣式（15）的矩陣可寫成其中，˙為動平臺的速度向量；q˙為繩索速度的向量。所以該驅動機構的雅可比矩陣為（16）：反映了該機構的輸入速度與輸出速度之間的映射關系，J稱為該機構的雅可比（Jacobian）矩陣，A，B分別稱為正、逆雅可比矩陣。在并聯機構中如果矩陣A，B其中之一或同時為0時，則并聯機構出現奇異點。通過對該機構的雅可比矩陣的計算分析，得出機構的工作空間內不存在奇異點[11]。這一結論將在仿真分析中進行驗證。

3 仿真實驗及分析

3.13D模型的建立與仿真

由于該機構有些復雜，所以先利用solidworks對該驅動裝置進行3D建模。建模完成后再導入到Adams中[12，13]（圖4）。這里將繩索與滑塊相連，用滑塊的位移代替電機旋轉的角位移與其電機軸半徑相乘所得的線位移。

將建好的3D模型導入到Adams中后，需要添加運動副和驅動在構件上。運動副和驅動添加完成后，對運動學的仿真參數進行設置。仿真步數為5000步；仿真時間為5 s；將Mark點設置在動平臺的中心，動平臺的一些相關參數可通過測量Mark點的位置、速度得到。

根據3D打印的工作原理，選取一個平行于O-XY平面的水平面，即給定空間坐標值Z，在O-XY的平面內讓動平臺按照圓形軌跡進行運動。圓形的參數方程在這里設為：

其中，t表示時間。將式（17）帶入到Δli=L-h-即該機構的運動學反解中，可求得滑塊的運動方程，即滑塊的位移函數：

圖4 機構3D模型

將式（17）變換成Adams認可的形式代入，即可得到驅動3個滑塊運動的驅動函數[14]。

其中，t表示時間。將式 （17） 帶入到Δli=L-h-

3.2 仿真結果分析

在相應的驅動上添加變換后的驅動函數，添加完成后進行仿真。仿真結束后動平臺中心點即Mark點在X軸、Y軸、Z軸的位移以及3個滑塊位移的曲線如圖5、圖6所示。

從動平臺位移曲線圖中可以看到，在運動初始階段3條曲線均有躍變情況。之后，X軸、Y軸、Z軸方向上的曲線，與將函數導入到MATLAB中輸出的曲線圖基本一致，滿足理論結果，驗證了上文中位置反解結果的正確性[15-17]。滑塊位移曲線圖較為平滑，說明運動過程較為平穩[18]。

初始階段出現曲線躍變情況經理論分析之后，發現是因為動平臺初始位置所在的水平面與動平臺運動所在的平面存在高度差，動平臺在從初始平面運動到運動所在平面的過程中，有一個較大的運動速度，致使動平臺在進入運動平面時產生慣性，從而導致了平臺的震動，才出現了圖中曲線的躍變。該種情況可通過優化驅動函數、合理規劃運動路徑進行改善。平臺的速度曲線如圖7所示。

從速度曲線圖可以看出，除了平臺從初始位置到運動平面過渡過程中由于慣性產生的曲線躍變外，平臺的運動速度曲線比較平穩[18]。圖中速度曲線中的波浪線，也是由于運動剛開始階段慣性導致震動產生的。該種情況上文已提出改善辦法，這里不再陳述。

圖5 Mark點3軸位移曲線

通過仿真結果發現該，驅動機構的位移、速度曲線較為平滑，無躍變，因此該機構在運動的過程中無奇異點，驗證了對雅克比矩陣的分析結果；保證了機構能夠平穩的進行工作[19]。

4 結論

提出一種繩索驅動裝置，通過繩索作為傳動裝置，解決傳統裝置以桿件作為傳動裝置而產生的機構造價昂貴、設備笨重、無法大型化制造的問題。

對該機構的運動學正反解和速度雅克比矩陣進行了推導，建立了機構的運動學模型，為該機構的設計和分析提供了理論基礎。應用SolidWorks軟件對該機構進行3D建模并導入到Adams軟件中進行運動學仿真。仿真結果驗證了該推導的運動學反解的正確性。通過對仿真得到的位移、速度曲線的分析可知，當工作平臺在其工作空間內進行運動時，其運動軌跡是滿足要求的，工作性能穩定，在所需的工作空間內不存在奇異點。

圖6 3個滑塊1Z軸方向位移曲線

圖7 Mark點3軸方向的速度

［1］郭日陽.3D 打印技術及產業前景［J］.自動化儀表，2015，36（3）：5-8.

［2］王子明，劉瑋.3D打印技術及其在建筑領域的應用［J］.科技導航，2015，67（1）：50-57.

［3］Bose S，Vahabzadeh S，Bandyopadhyay A.Bone tissue engineering using 3D printing［J］.Materials Today，2013，16（12）：496-504.

［4］ Robert L，Williams II，Paolo Gallina.Planar Cable-Direct-Driven Robots，Part I：Kinematics and Statics［C］.ASME Design Technical Conferences，2001：30-43.

［5］梁松松.并聯結構3D打印機的運動學分析與精度研究［D］.廣州：廣州大學，2016：24-25.

［6］于靖軍，劉辛軍，丁希侖，等.機器人機構學的數學基礎［M］.北京：機械工業出版社，2008.

［7］閆述，王旭永，陶建峰，等.三自由度搖擺臺姿態逆解及ADAMS仿真［J］.系統仿真學報，2008，20（2）：325-327.

［8］徐呈藝，李業農，張佳興，等.基于AutoCAD的PUMA560機器人運動學正解分析［J］.煤礦機械，2012，33（11）：97-99.

［9］周金鵬.3T三自由度繩牽引并聯機器人研究與設計［D］.洛陽：河南科技大學，2012：7-15.

［10］曾達幸，張星，樊明洲，等.3-CUR解耦并聯3D打印機結構優化與動力學分析［J］.中國機械工程，2017，28（12）：1413-1418.

［11］徐宗剛，郝秀清，董敏，等.3-PCR并聯機構的奇異性分析［J］.山東理工大學學報，2009，23（1）：17-20.

［12］張志良.三自由度3-PSP并聯機構運動性能與仿真研究［D］.太原：中北大學，2014.

［13］余軒，鄭銀環.3D打印系統執行機構仿真分析［J］.現代機械，2016（4）：48-52.

［14］李江濱.基于并聯機構的3D打印關鍵技術研究［D］.秦皇島：燕山大學，2015：25-40.

［15］王丹，楊蘭松，郭輝.3-RPS型并聯機器人的運動學及動力學分析［J］.機械設計與制造，2007（3）：120-122.

［16］高峻巖，鄭亞青，林麒等.立面1R2T三自由度繩牽引并聯機構的位姿運動學分析［J］.廈門大學學報，2006，45（6）：771-774.

［17］王丹，郭輝，孫志禮.基于ADAMS的3-RPS型并聯機器人位姿的正解與逆解［J］.東北大學學報，2005，26（12）：1185-1187.

［18］高峻巖，林麒，鄭亞青.立面1R2T三自由度繩牽引并聯機構的速度、加速度運動學分析［J］.暨南大學學報，2007，28（5）：440-444.

［19］鄭亞青，劉雄偉，林麒.繩牽引并聯機構奇異性分析及無奇異機構設計［J］.機械工程學報，2006，42（2）：57-62.