巧用斜率求參數的范圍

◎朱帥

例1：［2014·山東理20］設函數（k為常數，e=2.718 28…是自然對數的底數）.

（1）當 k≤0時，求函數 f（x）的單調區間；

（2）若函數 f（x）在（0，2）內存在兩個極值點，求 k的取值范圍.

解析：本題問題（2）要求k的取值范圍，我們可以用斜率來解決問題：

若函數 f（x）在（0，2）內存在兩個極值點，則方程 f′（x）=0在（0，2）內有兩個不相等的實數根，∵x∈（0，2），∴x3＞0，x-2＜0，所以f′（x）=0等價于ex-kx=0，

從而方程ex-kx=0在（0，2）內有兩個不相等的實數根。∴表示函數y=ex在x∈（0，2）內圖像上的點P（x，ex）與坐標原點O（0，0）的連線l的斜率，由圖（1）知，l介于切線l1與割線l2之間，從而k介于切線k1與割線k2之間.

設切點為 （x0，y0），則 y′=ex，所以 k1=ex0，

例2：［2016·廣州二模理21］已知函數 f（x）=e-x-ax（x∈ R）.

（Ⅰ）當a=-1時，求函數f（x）的最小值；

（Ⅱ）若x≥0時，f（-x）+ln（x+1）≥1，求實數a的取值范圍；

（Ⅲ）求證：.

解析：本題問題（2）求a的取值范圍，我們可以用斜率來解決問題：

依題意，x≥0時，即 f（-x）+ln（x+1）≥1即 ex+ax+ln（x+1）-1≥0.

∴ ax≥1-ex-ln（x+1）

當x=0時，上式恒成立，此時a∈R

令，則k表示函數

g（x）=ex+ln（x+1）-1圖像上的點

P（x，ex+ln（x+1）-1）（x∈（0，+∞））與坐標原點O（0，0）的連線l的斜率，由圖（2）知，l介于切線 l1與 y軸之間，因為 g′（x）=ex+，∴函數g（x）在（0，+∞）遞增且遞增速度越來越快，又g（x）過原點 O（0，0），∴ k＞g′（0） =2，即，

從而a≥-2，綜上所述，a∈［-2，+∞）

例3：［2016·湛江一模理21］設函數 f（x）=（ax+1）e-x（a∈ R）.

（I）當 a＞0時，求 f（x）的單調遞增區間；

（II）對任意 x∈［0，+∞），f（x）≤x+1恒成立，求實數 a的取值范圍

解析：本題問題（2）求a的取值范圍，我們可以用斜率來解決問題：

f（x）=（ax+1）e-x≤x+1恒成立，x∈［0，+∞）

當x=0時，上式恒成立，此時a∈R

則 k表示函數g（x）=ex（x+1）-1圖像上的點P（x，ex（x+1）-1）（x∈（0，+∞））與坐標原點 O（0，0）的連線l的斜率，由圖（3）知，l介于切線 l1與 y軸之間。因為 g′（x）=（x+2）ex，∴函數 g（x）在 （0，+∞）遞增且遞增速度越來越快，又g（x）過原點O（0，0），∴ k＞g′（0）=2，即，從而a≤2，綜上所述，a∈（-∞，2］

點評：例1—例3中解法，不僅省去了復雜的計算過程，而且它的原理更貼近初等數學，學生也非常容易掌握.在高中數學中，有關函數的證明題，學生大都會首先想到構造函數，通過求導判斷函數的單調性來證明.經過多年的解題訓練，很多學生都形成了慣性思維，很難再有新的突破.但如果我們認真觀察，用心去想，很多問題是可以跳出慣性的約束，另外一種再平凡不過的方法或許會讓我們柳暗花明.特別是高等數學的方法用之于初等數學時，一定要抓住實質.導數離散化之后就是斜率，從這個意義上講，斜率更具有根本意義，而且在高中數學中斜率還是一個核心概念.

構造斜率只是解決恒成立問題中求參數的取值范圍的一種方法，并非適用于所有的問題，但是如果條件適合，構造斜率往往能讓我們變抽象為直觀，減少分類討論的麻煩，甚至簡化許多繁瑣的計算，達到事半功倍的效果。

［1］ 劉有良.構造解析幾何模型解代數問題［J］.數學教學通訊.2002，11（下），50-51.