淺談高中數學中導數的應用

◎方國飛

引言：從現階段的高中數學教學情況來看，學生們學習數學的興趣并不高，其重要原因就在于高中數學知識比較復雜，學生理解起來比較困難。很多高中學生對數學學習都產生了一種恐懼心理，不知道怎樣去學，經常以“依葫蘆畫瓢”的方法去解答數學題，因此所取得的效果并不理想。所以對于高中學生來說，可以對他們的數學解題思想進行改變，通過導數對相關問題進行解決，利用數形結合的思想，提升他們的做題速度與做題質量，進而提高他們的數學成績。

一、通過導數解決函數問題

利用導數可以對函數圖像的變化規律進行研究，進而對它的單調性進行準確判斷。如果f（x）在區間M內可導，并且對于定義域內?x∈M，都有 f′（x）≥0，那么 f（x）在該區間內為單調遞增函數；反之如果 f（x）在區間M內可導，并且對于定義域內?x∈M，都有 f′（x）≤0，那么 f（x）在該區間內為單調遞減函數。另外，通過導數，也可以對函數最值問題進行有效解決。函數最值指的是在某區間M內的最大值以及最小值，利用導數的思想，借助函數圖像，就可以對函數最值問題進行有效研究［1］。

二、通過導數解決不等式問題

根據最近幾年的高考情況來看，不等式問題具有思維量大以及綜合性強等特點，屬于歷年高考的重點與難點。通過導數對不等式進行證明，實際上就是通過函數和不等式之間的關系，在等價變形之后，按照不等式的特征，對相應函數進行構造，在導數運算的基礎上，對函數單調性進行判斷，將不等式問題轉化成函數問題，進而對其進行有效解決［2］。比如對于下面這道不等式問題：

證明：ex＞1+x（x＞0）

在這道數學題中，我們可以根據函數單調性和導數之間的關系，將不等式和導數進行有效結合。首先需要對函數f（x）進行構造，即f（x）=ex-1-x，然后再對函數 f（x）進行求導，進而得到 f′（x），對其圖像進行觀察，當x＞0時，其導數圖像在x軸上方，也就是說函數在（0，+∞）上為單調遞增函數，進而得知當x＞0時，函數f（x）＞f（0）=0，最后得到ex＞1+x。

三、通過導數解決數列問題

高中數學數列問題也是高考必考內容，并且占有較大分值。在對數列問題進行解答時，我們可以將數列當成一種特殊函數，其特殊性主要體現在自變量是正整數，因此可以在函數與數列之間關系的基礎上，通過導數對數列問題進行快速解決［3］，比如對于下面這道數列問題：

求數列：1+2a+3a2+4a3+··· +nan-1的和。（其中a≠0，a≠1）

在這道數學題當中，我們可以知道nan-1為an的導數，也就是說（an）′=nan-1，我們可以設數列bn=an，那么可以對數列{b}n的前n項和進行計算，即，之后再將等式兩邊對a進行求導，就會得到：

四、通過導數解決實際問題

對于導數而言，不僅可以對函數問題、不等式以及數列等問題進行解決，同時也可以對實際問題進行有效解決。對于學生來說，學習數學的最主要目的是通過數學知識對一些生活當中的問題進行有效解決，所以教師在教學過程中，需要對學生解題意識、解題能力以及解題方法等進行培養，如此一來，不僅可以提高學生的數學成績，同時也鍛煉了他們的數學應用能力［4］。比如對于下面這道數學題：

某企業在對產品進行生產時，已知每天所生產的次品數m是關于每天產量n的函數，當n≤100時，，當 n＞100時，m=n，如果該企業每賣出一件正品，那么就會獲利L元，如果生產一件次品，那么就會損失元，當企業想要獲得最大利潤時，那么每天的產量應該是多少？

在這道數學題當中，我們首先需要對日產量、正品數以及次品數等進行明確，然后再對利潤目標函數進行建立，最后對日產量進行計算。

由題意我們可知，m屬于次品數，那么在n件產品中，正品數應為n-m，設每日獲利總數是 D（n），那么，則，設 D′（n）=0，我們可以得到，再根據n≤100時，，當 n＞100時，m=n，我們可以知道，當n＞100時，所有的產品都屬于次品，企業就會產生損失，因此，只有在n≤100的范圍內對最佳日產量進行計算，根據，可以得到n約等于89.4，又因為n應該為正整數，因此n的值應為89或者是90，但是由于 D（89）=79.11L，D（90）=70.09L，因此當 n的值為89的時候，D（n）取得最大值，也就是說當企業的日產量為89時，所獲利潤最大。

結論：總而言之，對于導數而言，不僅是一種數學知識，同時也是一種解題工具、解題思想，解題方法，具有一定的數學價值，為學生提供了新的解題思路，對學生數學學習具有重要意義。因此對于高中數學教師而言，在日常教學中，應該更多從函數問題、不等式問題、數列問題以及實際問題等方面對導數進行合理應用，培養學生的導數思想，進而提高他們做數學題的速度與質量，為他們后續的數學學習奠定基礎。

［1］陳展潘.基于導數及其應用淺析高中數學教學［J］.數理化學習（教研版），2017（7）.

［2］許楚濱.基于高等數學指導的高中數學教學實踐與思考——以高中《導數及其應用》為例［J］.考試周刊，2017（42）：131-132.

［3］曹云輝.淺談高中數學中導數的應用［J］.小品文選刊：下，2015（6）：107-107.

［4］陳展潘.基于導數及其應用淺析高中數學教學［J］.數理化學習（教研版），2017（7）.