基于課程標準的平方差公式教學思考

摘 要：數學教學中培養學生的創新意識、幾何直觀、符號意識是新課標的要求.平方差公式是數學教學的重要內容.在平方差公式教學中，教師要結合教學內容的特點、學生的數學認知能力與心理發展規律，有針對性地培養學生的創新意識、幾何直觀、符號意識.

關鍵詞：平方差公式；創新意識；幾何直觀；符號意識

伴隨經濟全球化、信息網絡化、科技現代化、人工智能化的不斷深入，知識經濟時代的來臨，世界人才競爭異常激烈，人才競爭的本質是教育的競爭，誰贏得教育，就意味著贏得世界的未來.為此世界各國都在創新發展本國的教育，以順應知識爆炸時代社會發展與個人發展的需要.我國的《義務教育數學課程標準 （2011年版）》 （以下簡稱 《標準》）明確指出：“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應時代發展對人才培養的需要，數學課程還要特別注重發展學生的應用意識和創新意識.”[1]5平方差公式是特殊多項式相乘的重要規律，是后續學習的公式法因式分解的基礎，也是進一步學習數學的重要基礎，在代數式的恒等變形中有廣泛的應用.平方差公式形成教學中，如何設計，才能實現提高學生的數學素養？本文就此結合平方差公式教學，談談筆者的思考.

一、教學設計

【A設計】

首先，創設情境，給出符合運用平方差公式計算的兩個多項式相乘問題.（1）（a +4）（ a-4）、（2）（2-a）（2+a）、（3）（x+5y）（x-5y）、（4）（2x+y ）（2x-y ）四個問題讓學生隨意指定一題，教師立即報出答案，激發學生的求知欲.并且指出，老師有什么法寶嗎？學完本節課，每個同學都能達到這個水平.其次，學生運用多項式與多項式相乘的法則，驗證教師的答案.再次，探究為什么教師能直接說出結果，學生交流探究，發現規律.最后，學生總結探究結果，得到平方差公式[（a+b）（a-b）=a2-b2]，并同時用自然語言與符號語言兩種方式表述平方差公式，并運用多項式與多項式相乘法則證明公式，運用如下圖形面積問題驗證公式.

如圖1，將邊長為 a 的大正方形剪去一個邊長為 b 的小正方形，并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成如圖2. 你能用這兩個圖來說明平方差公式嗎？

【B設計】

首先，要求學生做一個小小設計師，探究設計如下：如圖1，有一塊邊長為a的正方形草坪，一角損壞，邊長為b的正方形損壞，無法使用，請你設計一下，剪拼成一個長方形，并把面積表示出來.其次，學生運用準備好的正方形紙片，分組操作，并請同學展示操作結果.（如圖2）通過計算得出圖2面積為[（a+b）（a-b）]，圖1面積為[a2-b2]，因為圖1與圖2的面積相等，所以[（a+b）（a-b）=a2-b2].最后，運用多項式與多項式相乘推理得到平方差公式.

【C設計】

首先，教師引導學生復習[a+bm+n].其次，指出具有某種特征的兩個多項式相乘時，它們的乘積會有怎樣的特點，即此式中的[m=a、n=-b]時，則原式化為[a+ba-b].再次，運用多項式與多項式相乘推導公式[a+ba-b]=[a2-b2].最后，運用幾何圖形圖1與圖2加以驗證說明.

【D設計】

首先，教師給出兩道題目，[79×81]、[103×97]，讓學生搶答.要求學生不能用筆算.學生如果能夠快速答出，教師詢問其方法，如果學生不能答出，教師脫口說出“同學們，你知道是如何計算的嗎？”引入新課.其次，給出如下問題串，學生解答.一是現有兩個數，不知其大小，請你隨意用兩個字母來表示這兩個數.二是請把這兩個數的和與差分別表示出來.三是將所得的和與差相乘并化簡.四是兩個數的和與這兩個數的差的乘積等于什么？（讓學生用自己的語言描述出來）再次，把學生的答案進行歸納總結，抽象歸納出一般情況，獲得平方差公式，如：[a+ba-b=a2-b2]或[m+n][m-n][=m2-n2]或者[x+yx-y=][x2-y2]等雖然形式不同，但本質是一樣的，是兩個特殊多項式相乘，得出平方差公式. 最后，運用幾何圖形圖1與圖2加以驗證說明.

二、教學思考

（一）創新意識

首先，《國家創新驅動發展戰略綱要》明確我國創新型國家建設分三步走.第一步，到2020年進入創新型國家行列.第二步，到2030年躋身創新型國家前列.第三步，到2050年建成世界科技創新強國.為實現這個宏偉的目標，教育要為現代社會的發展培養創新型人才，而創新人才的培養要從娃娃抓起.數學教學在培養學生創新意識方面具有不可替代的作用，《標準》指出：“創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，應體現在數學教與學的過程之中.學生自己發現和提出問題是創新的基礎；獨立思考、學會思考是創新的核心；歸納概括得到猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法.創新意識的培養應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終.”[1]5其次，以上四種教學設計，分別運用了不同的方法培養學生的創新意識.

A設計是讓學生在總結歸納中發現平方差公式，學生通過總結發現規律.這個過程，學生要經過分析、比較、抽象概括等思維活動，把一些特殊問題一般化，總結出兩個特殊多項式[（a+b）（a-b）=a2-b2]的一般規律.這個過程，具有一定的創新成分，既能培養學生的抽象概括能力，又能夠使學生在獨立思考中發現問題、提出問題、總結規律.

B設計中，讓學生在設計中發現平方差公式.通過設計，學生很自然地發現[（a+b）（a-b）=a2-b2].問題的探究過程，是學生對問題充分思考的過程.在此過程中，學生獨立思考問題，發現問題，并提出問題，充分發揮學生的創新意識.此外，數學發展的歷史也充分說明，在問題的探究過程中，是發現問題并提出問題創新思維的過程.歷史上費馬大定理的證明過程，也充分說明了在問題的探究過程中，能夠發現問題這一點.希爾伯特說：費馬大定理是“一只會下蛋的雞”.數學家在研究費馬大定理的過程中，發現很多新的數學規律.可見在探究過程中，發現問題是科學向前發展的重要途徑之一.

C設計中，讓學生運用已學過的知識，推理獲得平方差公式.推理論證是科學向前發展的非常重要的方法之一，平面幾何的發展歷程充分說明這一點.學生在推理的過程中，獨立思考的能力會得到充分的發展，對培養學生的思維能力、創新意識具有不可替代的作用.學生在學習平方差公式前，掌握了多項式與多項式相乘的法則，因此具備了運用推理獲得平方差公式的基礎，充分發揮個體的認知能力，通過推理獲得創新.

D設計中，運用問題串，讓學生通過問題的不斷深化，遞進式地獲得平方差公式.在此過程中，首先要求學生運用字母代替數，充分體現代數的思想.其次學生通過推理獲得表現形式不同的平方差公式，最后通過把不同的表現形式一般化，發現問題的本質，總結出公式.學生的思維活動一步一步深入，最后通過歸納總結獲得創新的體驗.

總之，創設的情境要有利于激活學生創新積極性.數學家的創新是在原生態的創新環境下進行的，學生的創新與數學家的創新有本質的區別，學生是在教師創設的情境下進行，因此情境的創設要有利于學生發現平方差公式.四種設計中，分別運用了歸納創新、推理創新、實驗操作創新情境，從教學效果上可以看出，分別達到目的.最后，對學生創新意識的培養，要充分考慮學生的年齡特點，要求不宜過高.我國教育家劉佛年教授指出：“只要有點新意思、新思想、新觀念、新設計、新意圖、新做法、新方法，就稱得上創造.我們要把創造的范圍看得廣一點，不要把它看得太神秘，非要有新的科學理論（不可）才叫創造，那就高不可攀了.”[2]因此，教學中要結合學生的特點，選擇恰當的方式方法，培養學生的創新意識.

（二）幾何直觀

《標準》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果.幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用.”[1]7《標準》對幾何直觀的內涵進行了描述性說明，運用幾何直觀可以使學生充分地理解數學.弗萊登塔爾認為：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦.”[3]數學家希爾伯特在其名著《直觀幾何》一書中談到：“圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結果，這就是幾何直觀帶給我們的好處.”[4]首都師范大學劉曉玫教授認為：“幾何直觀就是一種運用圖形認識事物的能力.”[5]東北師范大學孔凡哲教授認為：幾何直觀是指借助于見到的 （或想象出來的）幾何圖形的形象關系，對數學的研究對象 （空間形式和數量關系）進行直接感知、整體把握的能力[6]. 從以上的描述性定義不難發現，幾何直觀的本質是問題與幾何圖形之間建立聯系，并運用圖形發現問題、分析問題、解決問題從而使抽象問題直觀化，復雜問題簡單化，有利于問題解決.畢達哥拉斯發現勾股定理的過程充分說明這一點.因而運用幾何直觀包含三個要素：問題、圖形、聯系.如果沒有問題與圖形之間的聯系，就不可能運用圖形描述問題與分析問題.圖形為觀察到的圖形、表象表征的圖形、想象的圖形.教學中要提高學生運用幾何直觀解決問題的能力.

第一，培養學生問題圖形轉化的意識.一是要學生有這方面的經歷，如在列方程解應用題中，可運用線段圖描述問題，從而使抽象問題直觀形象化，幫助學生分析問題解決問題.二是幾何問題解決過程中，引導學生把已知條件圖形化，引導學生運用幾何直觀中的直觀解決問題，久而久之，學生自然會形成一種意識，運用幾何圖形可幫助理解數學問題.例如：如圖3，已知點B，E，C三點在一條直線上，AB=DC，點E是線段BC的中點，AE=DE，求證：AD∥BC.如圖3、4所示，把已知條件圖形化，運用幾何直觀分析問題解決問題.三是幾何命題證明過程中，要學生學會依據自然語言，正確畫出幾何圖形，進而培養畫圖意識.

第二，培養學生理解問題的能力.顯然學生要理解數學問題，這樣才能夠把抽象的數學問題轉化為直觀問題，否則也就無從談幾何直觀了.

第三，培養學生的畫圖能力.對學生的畫圖能力（包括畫函數圖象能力）的培養要高度重視，從而提高學生運用幾何直觀解決數學問題的能力.

第四，要為學生運用幾何圖形理解數學問題搭建必要的平臺.眾所周之，學生要積累用幾何圖形理解非直觀數學問題的經驗.經驗經過內化也是學生認知結構的一部分，可以成為同化新知識的固著點，這樣才能提高學生的問題圖形轉化能力.

第五，培養學生運用函數圖象解決問題的能力.函數是數形結合的典范，一是要學生深刻理解平面直角坐標系.平面直角坐標系是數形結合的橋梁，只有理解，才能在數與形之間建構起自然的聯系.二是要學生理解函數圖象.初中生理解圖象的能力不強，很多同學觀察圖象時，觀察不出函數性質，要靠教師歸納的形象語言來死記，不能通過觀察理解圖象得到函數性質.當進行數形結合時，不理解幾何直觀與代數問題的對應關系，進而不會運用幾何與代數的聯系解決問題.因此學生觀察理解圖象能力要加以培養.把平方差公式與幾何圖形的面積聯系起來，運用幾何圖形的面積問題說明平方差公式，本節課設計A、B、C、D分別運用幾何直觀，說明或推導平方差公式，充分培養學生的幾何直觀意識與能力.

（三）符號意識

《標準》指出：“符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性.建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式.”[1]5數學是抽象的科學，由具體實物抽象出數，是數學的第一次抽象.用字母表示數是數學的第二次抽象，學生要經歷由字母表示數，再到用字母表示代數式的過程，對初中生來說，要經歷這一過程，才能體會代數的基本思想.本節平方差公式具有一般性的規律，是運用數學語言與符號語言來表達的，在公式的獲得過程中，要充分培養學生的符號意識.設計A由學生通過四個具體的例子，分析、比較、抽象、歸納、概括得到平方差公式，而這個公式如何表達，可以運用自然語言表達，可以運用字母表達，這個過程就是培養學生符號意識的過程.D設計，首先提出問題，須用字母表示數，然后不同的學生運用的字母可能是不同的，因此得到的式子表面上是有區別的，如：[a+ba-b][=a2-b2]，[x+yx-y=x2-y2]，[m+nm-n][=m2-n2]，最后進行歸納總結，得出平方差公式.這個過程，要求學生對代數的思想有深刻理解，才能形成統一的符號化表示.總之，要求學生通過歸納概括抽象出公式的一般形式，這個過程就是一個符號化的過程，有利于培養學生的符號意識以及提高學生的抽象能力.

綜上，一是四種教學設計各具特色，雖然獲得平方差公式的過程略有不同，但都能從提高學生的創新意識、幾何直觀、符號意識視角進行設計.二是四種設計都從學生現有的數學認知結構出發，創設認知情境，讓學生同化新知識.三是學生創新意識、幾何直觀、符號意識的培養是一個系統工程，不是一朝一夕就可以完成的，需要長期運用各種方法、多角度對學生進行培養，這樣學生的數學素養才能得到提高.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]劉海濤.當前初中數學概念形成教學須關注的兩大問題[J].中小學教材教學，2016（2）：61-65.

[3]劉海濤.基于數學認識結構的相似三角形教學思考[J].教學月刊·中學版（教學參考），2017（7/8）：32-35.

[4]劉海濤.初中數學綜合題的教學難點分析及對策[J].中學數學（初中版），2015（9）：81.

[5]劉曉玫.對“幾何直觀”及其培養的認識與分析[J].中國數學教育（初中版），2012（1/2）：23-25.

[6]孔凡哲，史寧中. 關于幾何直觀的含義與表現形式——對 《義務教育數學課程標準 （2011年版）》的一點認識[J].課程·教材·教法，2012（7）：92-97.