數(shù)學(xué)建模在職業(yè)院校高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的應(yīng)用研究

[摘要]隨著職業(yè)教育改革的不斷深入，高職院校要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力、創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力，來(lái)滿足學(xué)生自我發(fā)展的需要。作為公共基礎(chǔ)課的高等數(shù)學(xué)，通過教學(xué)，既要為專業(yè)課程提供理論支撐、掌握運(yùn)算技能，又要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力，幫助解決實(shí)際問題。闡述數(shù)學(xué)建模的意義及開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)將“學(xué)數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤坝脭?shù)學(xué)”，探討將數(shù)學(xué)建模融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的方法，把培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力落到實(shí)處。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)建模;高等數(shù)學(xué);應(yīng)用

[中圖分類號(hào)] G712??????????? ??????? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A???????? ?????? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2018）34-0220-02

隨著科技進(jìn)步、經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整等國(guó)家戰(zhàn)略的變化，培養(yǎng)面向生產(chǎn)、管理、服務(wù)等一線應(yīng)用型人才的職業(yè)教育改革勢(shì)在必行。在職業(yè)教育改革發(fā)展的過程中必須樹立“兩觀”，即樹立正確的人才觀，努力培養(yǎng)出高素質(zhì)勞動(dòng)者和技術(shù)技能人才的人才觀;樹立教育發(fā)展觀，以提高教育質(zhì)量為核心的發(fā)展觀。要培養(yǎng)應(yīng)用型人才，高職院校必須加強(qiáng)專業(yè)課教學(xué)和實(shí)訓(xùn)，強(qiáng)化專業(yè)技能的培養(yǎng)。公共基礎(chǔ)課服務(wù)于專業(yè)課，公共基礎(chǔ)課的教學(xué)改革方向是要與專業(yè)課教學(xué)相融合，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力、創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力，以滿足學(xué)生就業(yè)和專業(yè)發(fā)展的需要。作為公共基礎(chǔ)課的高等數(shù)學(xué)，也要進(jìn)行教學(xué)改革和教學(xué)調(diào)整，努力做到通過的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，既為專業(yè)課程提供理論支撐、又要幫助掌握運(yùn)算技能。培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法解決專業(yè)學(xué)習(xí)中實(shí)際問題的應(yīng)用能力。將“為學(xué)數(shù)學(xué)而學(xué)數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤盀橛脭?shù)學(xué)而學(xué)數(shù)學(xué)”。

數(shù)學(xué)建模就是運(yùn)用數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際問題的重要手段和橋梁。將數(shù)學(xué)建模思想滲透到高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，教給學(xué)生怎樣用數(shù)學(xué)解決問題。

一、數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模（Mathematical modeling）是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)解決實(shí)際問題的過程，是利用數(shù)學(xué)原理、方法、語(yǔ)言給出實(shí)際問題一個(gè)抽象而簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)解決實(shí)際問題。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，開展數(shù)學(xué)建模的教學(xué)活動(dòng)，將改變傳統(tǒng)教學(xué)中過分強(qiáng)調(diào)知識(shí)的系統(tǒng)性，過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的計(jì)算、推理和證明的狀況，使教師學(xué)生重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用，重視數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)發(fā)展。開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)能夠把培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力落到實(shí)處。

數(shù)學(xué)建模一般經(jīng)過若干階段：從實(shí)際問題出發(fā)，通過假設(shè)、抽象、簡(jiǎn)化、確定變量參數(shù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)描述表達(dá)變量之間的關(guān)系組建數(shù)學(xué)模型，估計(jì)參數(shù)，運(yùn)行模型并使用問題實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)或有關(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠穹希绻希瑢⑦M(jìn)一步分析使用，如果不符則修正。

將實(shí)際問題通過組建數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步分析討論，使用代數(shù)的、分析的方法給出模型的解來(lái)達(dá)到解決實(shí)際問題的目的。

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法。數(shù)學(xué)建模是以“問題解決”為中心，是將應(yīng)用數(shù)學(xué)思想對(duì)原型進(jìn)行抽象、分析、求解的一系列過程，是根據(jù)實(shí)際問題組建數(shù)學(xué)模型的方法。

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)手段。通過抽象建立近似的數(shù)學(xué)模型能解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)手段。

數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用能力。數(shù)學(xué)建模活動(dòng)從實(shí)際問題或從專業(yè)課中選取的問題入手，將數(shù)學(xué)建模的思想

方法融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生養(yǎng)成把數(shù)學(xué)作為工具的意

識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心，促進(jìn)學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力，從而獲得必要的技能。

數(shù)學(xué)建模可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在建模的過程中，以學(xué)生感興趣的問題入手，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī);當(dāng)自己所掌握的知識(shí)不能夠解決問題時(shí)，會(huì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的欲望;在整個(gè)活動(dòng)的過程中體驗(yàn)“用數(shù)學(xué)”的快樂，享受成功的快感，從而激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、數(shù)學(xué)建模融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)

（一）適當(dāng)刪減和增加教學(xué)內(nèi)容

在高職院校，按照傳統(tǒng)教學(xué)會(huì)重點(diǎn)講授概念、定理、推論及定理的推導(dǎo)，公式的演算，定理公式的應(yīng)用，體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、完整性。通常是按照函數(shù)、極限、連續(xù)、極限的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、微分、拉格朗日中值定理、中值定理應(yīng)用、不定積分、定積分、定積分的應(yīng)用等這樣的知識(shí)體系來(lái)授課。是本科院校高等數(shù)學(xué)教學(xué)的縮小版。由于近年來(lái)高職院校的人才培養(yǎng)方案不斷調(diào)整，公共基礎(chǔ)課的課程教學(xué)時(shí)數(shù)不斷壓縮。代課教師要重新考慮每一章課時(shí)的安排、內(nèi)容的取舍。

在沒有統(tǒng)一的教學(xué)計(jì)劃指導(dǎo)的情況下，往往會(huì)出現(xiàn)機(jī)械地

將每一章內(nèi)容都減少教學(xué)時(shí)數(shù)，這樣高等數(shù)學(xué)這門課會(huì)存在知

識(shí)點(diǎn)多、范圍廣、深度淺的問題，教師在教學(xué)中就會(huì)出現(xiàn)重經(jīng)典輕應(yīng)用，重推導(dǎo)輕計(jì)算，重運(yùn)算技巧輕數(shù)學(xué)思想方法等。教師過分強(qiáng)調(diào)高等數(shù)學(xué)的完整性、系統(tǒng)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性，沒有將自成體系的每一章內(nèi)容的聯(lián)系告訴學(xué)生，使學(xué)生覺得上一章的“極限”與這一章的“導(dǎo)數(shù)”沒有聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)一章，忘一章。

在教學(xué)實(shí)踐中，針對(duì)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容做一些調(diào)整，刪減一些定理的證明和分析：例如在講授極限時(shí)，直接給出數(shù)列和函數(shù)極限的定義，刪除證明及相關(guān)驗(yàn)證數(shù)列和函數(shù)極限的例題和習(xí)題，介紹收斂及發(fā)散的主要性質(zhì)，刪除證明，直接給出極限四則運(yùn)算法則，講解怎樣使用，達(dá)到運(yùn)用法則會(huì)做題，刪除證明。在講授函數(shù)連續(xù)性時(shí)，重點(diǎn)講分段函數(shù)的連續(xù)性的判斷，利用函數(shù)連續(xù)性解極限，會(huì)判斷可去間斷點(diǎn)，介紹閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用零值定理驗(yàn)證根的存在。

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，極限概念的理解對(duì)教學(xué)非常重要。怎樣去理解趨近、無(wú)窮等詞語(yǔ)，可以引入我國(guó)古代數(shù)學(xué)中“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”的例子，來(lái)理解1/2，1/4，1/8，1/16…的數(shù)列的極限，深刻理解趨近和極限的概念，對(duì)后面的導(dǎo)數(shù)和定積分概念理解是大有益處的。

加大導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和定積分應(yīng)用這兩部分章節(jié)知識(shí)的講解和練習(xí)。用數(shù)學(xué)建模思想學(xué)習(xí)最值、曲面面積、旋轉(zhuǎn)體體積。

（二）改變教學(xué)方式

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，教師比較頭痛的是學(xué)生基本掌握概念、計(jì)算、定理，但用定理、概念去解決實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，就變得毫無(wú)頭緒的“抓瞎”，無(wú)從下手。為了改變這種狀況，教師可以嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想解決到實(shí)際問題。例如在講拉格朗日中值定理的應(yīng)用時(shí)，涉及最優(yōu)化問題，即面積最大、容積最大、材料最省、最大利潤(rùn)等。用數(shù)學(xué)建模思想方法能夠很好地去解決這類問題。從問題入手，弄清問題背景，收集數(shù)據(jù)，即模型準(zhǔn)備;然后定性分析，研究對(duì)象的因素，即模型假設(shè);根據(jù)因素特性和建模目的，運(yùn)用知識(shí)建立數(shù)學(xué)關(guān)系，即模型建立;運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解，即模型求解;建立數(shù)學(xué)模型需要能對(duì)具體的現(xiàn)象進(jìn)行合理解釋，即模型驗(yàn)證。在數(shù)學(xué)建模時(shí)注意結(jié)合實(shí)際問題定性和定量地驗(yàn)證模型的有效性。

為了更好地說明，下面舉“最大利潤(rùn)”的例子。某一廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件的總成本函數(shù)C（q）=1200+2q（萬(wàn)元），有需求函數(shù)為

p=■，其中p為產(chǎn)品的價(jià)格，若需求量等于產(chǎn)量，那么產(chǎn)量q為多少時(shí)總利潤(rùn)最大？并求最大總利潤(rùn)。

【問題分析】先了解什么是收益、利潤(rùn)，它們之間的相關(guān)聯(lián)系及所需的條件，準(zhǔn)備好總利潤(rùn)模型;分析收益和利潤(rùn)間的關(guān)系，根據(jù)收益和利潤(rùn)求總利潤(rùn)，建立總利潤(rùn)函數(shù)模型;利用函數(shù)極值求法的第二充分條件，用導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)，并令一階導(dǎo)等于零求出件數(shù)（極值點(diǎn)），利用二階導(dǎo)判斷存在最大利潤(rùn)，在這一步驗(yàn)證去掉不合理因素;最后利用函數(shù)式求最大利潤(rùn)。

【模型建立】用L（q）表示利潤(rùn)函數(shù)，則設(shè)總利潤(rùn)函數(shù)

令L（q）=0得q=625（件），表示生產(chǎn)625件時(shí)的有可能總利潤(rùn)最大;又因?yàn)長(zhǎng)（635）<0，L（625）=50（萬(wàn)元），所以當(dāng)產(chǎn)量為625件時(shí)總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為50萬(wàn)元。

三、可以借助數(shù)學(xué)軟件Matlab

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，適當(dāng)引入計(jì)算機(jī)技術(shù)，可以使數(shù)學(xué)建模思想更好融入教學(xué)中。現(xiàn)今比較流行的是數(shù)學(xué)軟件Matlab。數(shù)學(xué)軟件Matlab是1984年美國(guó)Math Works公司推出的教學(xué)軟件，其具有優(yōu)秀的數(shù)值計(jì)算和可視化能力，可以解決數(shù)值計(jì)算、符號(hào)演算，還可以繪出各種函數(shù)圖象。在數(shù)學(xué)建模過程中，對(duì)所建立的有些復(fù)雜的模型，它的求解過程復(fù)雜繁瑣，用手工完成太耗時(shí)，準(zhǔn)確率低，而教學(xué)過程中，教學(xué)課時(shí)有限，建模的計(jì)算過程不影響教學(xué)效果。通過數(shù)學(xué)軟件Matlab可以突出數(shù)學(xué)建模解決問題的重點(diǎn)難點(diǎn)，借助Matlab軟件，可以避免在解決問題中繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計(jì)算，而繪制出準(zhǔn)確、復(fù)雜抽象的函數(shù)圖形，讓學(xué)生切身感受“看得見”的高數(shù)，化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化抽象為具體。

四、組建課外數(shù)學(xué)建模興趣小組

用數(shù)學(xué)建模的方法可以解決實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建

模問題的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)建模中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)面十分寬廣，包括數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、概率論與概率統(tǒng)計(jì)、最優(yōu)化理論、圖論、微分方程求解及穩(wěn)定性分析等數(shù)學(xué)知識(shí)。而職業(yè)院校高等數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)數(shù)安排是一學(xué)期，課時(shí)少、內(nèi)容多，且高數(shù)涉及的數(shù)學(xué)建模的問題也有限，這對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模感興趣學(xué)生來(lái)說“吃不飽”。為了滿足學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模知識(shí)的愿望和想法，組建課外數(shù)

學(xué)建模興趣小組。

利用課余時(shí)間組織活動(dòng)。發(fā)現(xiàn)生活中的實(shí)際問題，學(xué)生根據(jù)問題組織提煉成數(shù)學(xué)問題，討論模型假設(shè)、模型建立、分析求解然后拿到現(xiàn)實(shí)中驗(yàn)證，解決實(shí)際問題。關(guān)注歷屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽，學(xué)習(xí)探討獲獎(jiǎng)隊(duì)的方案。解讀優(yōu)秀的數(shù)學(xué)建模論文，鍛煉學(xué)生分析問題和研究問題的能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想和方法，可以將數(shù)學(xué)用于實(shí)踐，體現(xiàn)數(shù)學(xué)科學(xué)功能和社會(huì)功能。通過適當(dāng)增加刪減高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，改變教學(xué)方式，將數(shù)學(xué)軟件Matlab引入課堂，組建課外興趣小組等做法，提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效率，體現(xiàn)其價(jià)值。

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◎編輯 陳鮮艷