矩形區域內清掃機器人的運動學分析*

高天蘭 周穎華

(1.西南大學附屬中學,重慶 400715;2.西南大學電子信息工程學院,重慶 400715)

隨著機器人技術的迅猛發展,越來越多的智能機器人產品走進了人們的日常生活[1][2]。一般來說,家庭智能機器人主要分成三種類型:應用型機器人、社交陪伴型機器人以及仿生機器人。應用型機器人的基本功能是自主完成人類所需的家庭作業,如掃地、擦窗等。社交陪伴型機器人的基本功能是能夠和人類互相交流,陪伴用戶一起成長,如目前已經上市的阿爾法機器人、小優等。仿生機器人,可以模仿人類的兩腿運動,完成許多非常復雜的動作(如Asimo機器人);或者根據人類的語言來呈現不同的表情(如美國的索亞菲情感機器人)。目前,由于市場對清掃機器人有巨大的需求潛力,所以不斷優化和升級清掃機器人的性能在激烈的市場競爭中顯得尤為迫切[3][4]。

清掃機器人需要在特定環境下獨立移動并完成清掃任務,這就需要為機器人規劃運動路線。目前,針對清掃機器人的路徑規劃算法,國內外許多學者都進行了大量的研究,并提出了一系列的規劃算法。比如:人工勢場法[5]、柵格法[6]、快速擴展隨機樹法(RRT)[7]、遺傳算法[8]、蟻群算法[9]、神經網絡算法[10][11]等。這些算法都是針對不規則作業區域或者有障礙作業區域而展開的分析,由于考慮的因素過多而不可避免地存在缺點,比如出現死鎖現象、搜索時間較長、或者重復作業過多等問題。而對于規則的作業區域,比如住宅的窗玻璃、高層建筑的玻璃幕墻等,人們也設計出了一些專用清掃機器人,如北京航空航天大學機器人研究所開發的藍天潔士系列機器人[12]。研究表明,當作業區域為規則的平面區域(比如矩形區域)時,可采用簡單易行的迂回式路徑規劃或者回字形路徑規劃來實現機器人的清掃任務。

本文將為矩形區域內采用迂回式路徑規劃和回字形路徑規劃的機器人建立運動學模型,并進行求解。

1 機器人的運動學模型

為了方便,我們首先做如下的基本假設:

(H1)清掃機器人的作業區域是邊長分別為A和B的矩形區域;

(H2)清掃機器人底部的有效清掃區域為邊長分別為a和b的矩形區域;

(H3)機器人可以原地向左和向右轉彎90°;

(H4)機器人在直線運動時保持速度為v0的勻速運動;

(H5)機器人初始位置位于作業區域的左下角,其中心坐標為(a/2,b/2)。

1.1 采用迂回式路徑規劃機器人的運動學模型

圖1 迂回式路徑規劃示意圖

圖2 迂回式運動中三個子系統(S1)、(S2)和(S3)的切換規則

采用迂回式路徑規劃。機器人的運動路線如下:機器人向前行走,到達邊界后右轉90°;向前行走a/2米,再右轉90°;向前行走,到達邊界后右轉90°;向前行走a/2米,再右轉90°。不斷循環以上行走路線,迂回地遍歷作業區域,如圖1所示。

建立如圖1所示的坐標系,則機器人在時刻t的位置坐標為(x(t),y(t))。在如上運動路線情況下,機器人的運動方向有三種:向上運動、向下運動、向右運動。三個方向上機器人的運動可分別由下列微分方程描述:

向上運動 向右運動 向下運動dxt dt S dyt v■■■■■ =0（）（）■ =0■ =■■■■（）■■■■0（）（）1（）2（）dxt v dt S dyt 3（）=-■■dt■■0=■■dt dt =0 dxt dt S dyt v（）0

因此,機器人的運動動力學可以建模為由上述三個子系統(S1)、(S2)和(S3)所組成的一個切換系統,其切換規則如圖2所示。

1.2 采用回字形路徑規劃的機器人的運動學模型

采用回字形路徑規劃。機器人的運動路線如下:機器人向前行走,到達邊界后右轉90°;向前行走直到另一邊界,再右轉90°;向前行走,到達距離邊界a米后右轉90°;向前行走,到達距離邊界b米,再右轉90°。不斷循環以上行走路線,迂回地遍歷作業區域,如圖2所示。

圖3 回字形路徑規劃示意圖

圖 4 迂回式運動中四個子系統(D1)、(D2)、(D3)和(D4)的切換規則

在這種情況下,機器人的運動方向有四種:向上運動、向下運動、向左運動、向右運動。為建立數學模型,建立如圖3所示的坐標系,則機器人在時刻t的位置坐標為(x(t),y(t))。四個方向上機器人的運動可分別由下列微分方程描述:

向上運動 向右運動 向下運動 向左運動■ =0■■■■（）（）■=0（）dxt dt dyt v dt D1■ =■■■■（）（）■=0 0（ ）dxt v dt dyt dt D2■ =0■■■■（）=-■dxt dt dyt v dt D3（）0（ ）■ =-■■■■（）0（）■=0（ ）dxt v dt dyt dt D4

因此,機器人的運動動力學可以建模為由上述四個子系統(D1)、(D2)、(D3)和(D4)所組成的一個切換系統,其切換規則如圖4所示。

2 運動學模型求解

2.1 采用迂回式路徑規劃的機器人的運動方程求解

為了方便表示,記:0,1t =t =>t =t =。機器人的每一次的向上運動、向右運動、向下運動、向左運動為一個迂回周期。則,容易得到第一個迂回周期內四個階段的運動方程、初始值以及解析解(見表1),而且易見在第k個迂回周期內,四個階段的運動方程及其初始值(見表2)。

根據表2中所列的微分方程及相應的初始條件,分別求解四個運動階段中的運動方程,可以得到如下解析解:

2.2 采用回字形路徑規劃的機器人的運動方程求解

類似地,機器人的每一次的向上運動、向右運動、向下運動、向左運動視為一個運動周期,容易得到第一個運動周期內四個階段的運動方程、初始值以及解析解(見表3),而且易見在第k個運動周期內,四個階段的運動方程及其初始值(見表4)。為了方便表示,記Tk（k = 1 ,2,3,…） 表示機器人在第k個運動周期所花費的時間,則：

表1 在第一個迂回周期內,四個階段的運動方程及其初始值和解析解

表2 在第k個迂回周期內,四個階段的運動方程及其初始值( k = 1 ,2,3,…)

根據表4中所列的初始條件,分別求解四個運動階段中的運動方程,可以得到如下解析解:

表3 在第一個運動周期內,四個階段的運動方程及其初始值和解析解

表4 在第k個運動周期內,四個階段的運動方程及其初始值( k = 2,3,…)

3 結語與討論

自動清掃機器人是當今應用型機器人領域的熱門產品。隨著消費者對其智能化和多功能化要求越來越來高,這種機器人的結構和功能也在不斷地進化和升級。其中,消費者關注機器人的智能性主要集中于機器人的遍歷性、低重復性以及避障性能。從技術層面上看,這些智能性在很大程度上依賴于機器人的路徑規劃算法。本文對無障矩形區域的迂回式路徑規劃以及回字形路徑規劃算法進行了數學建模,分別得到了由四個子系統組成的切換微分系統,并給出了它們的解析解。在實際的應用中,機器人的位置可以通過深度照相機等技術獲得,而機器人期望軌跡可通過實際環境中路標的真實布局加以設計,進而提高本文方法的普適性。

[1]楊熾.走入家庭的機器人[J].上海科學生活,2003,(5):10-13.

[2]肖婷婷,劉明哲,柳炳琦,王磊,成毅,楊劍波.一種蛇形機器人的結構設計與研制[J].測控技術,2016,35(6):75-78.

[3]梁文莉.競爭激烈的掃地機器人市場[J].機器人技術與應用,2015,(2):21-23.

[4]徐勝華,宋樹祥,佘果.一種掃地機器人路徑規劃的改進算法[J].測控技術,2017,36(2):120-123.

[5]張建英,趙志萍,劉暾.基于人工勢場法的機器人路徑規劃[J].哈爾濱工業大學學報,2006,38.(8):1306-1309.

[6]梁嘉俊,曾碧,何元烈.基于改進勢場柵格法的清潔機器人路徑規劃算法研究[J].廣東工業大學學報,2016,33(4):30-36.

[7]馮楠.自主移動機器人路徑規劃的RRT算法研究[D].大連:大連理工大學碩士學位論文,2014.

[8]郝博,秦麗娟,姜明洋.基于改進遺傳算法的移動機器人路徑規劃方法研究[J].計算機工程與科學,2010,32(7):104-107.

[9]劉鍇,游曉明,劉升.復雜環境移動機器人路徑規劃的改進蟻群算法[J].計算機工程與應用,2016,52(13):60-63.

[10]樊長虹,陳衛東,席裕庚.動態未知環境下一種Hopfield神經網絡路徑規劃方法[J].控制理論與應用,2004,21(3):345-350.

[11]楊志成,馮豫韜,張利霞,齊華山,倪景秀.基于神經網絡前饋補償的欠驅動機器人越障控制[J].測控技術,2017,36(11):89-92.

[12]張厚祥,唐伯雁,王巍,賈明,宗光華.擦窗機器人控制系統研究[J].制造業自動化,2002,24(6):5-9.