關于調和Fibonacci數的一類特殊矩陣的譜范數

賀美美

(西北大學 數學學院, 陜西 西安 710127)

矩陣作為一種基本的數學工具,在數值分析、優化領域和概率統計等眾多學科都有著極其廣泛的應用。而在矩陣的理論研究中,有關矩陣的歐幾里得范數、譜范數的研究是非常重要的。近年來，多名學者針對Teoplitz矩陣、循環矩陣Hankel矩陣等一些特殊矩陣的譜范數作了相應的探究[1-10]。例如,文獻[1]給出了一種包含Fibonacci和Lucas數的特殊矩陣的譜范數的上下界。文獻[3]給出了包含Fibonacci和Lucas數的r-Teoplitz矩陣的譜范數的上下界。文獻[5]給出了包含k-Fibonacci和k-Lucas數的r循環矩陣的譜范數的上下界。

1 預備知識

定義1定義Fn為第n個Fibonacci數,對任意的非負整數n,Fibonacci數具有如下的遞推公式

(1)

定義2[11]定義Fn為第n個調和Fibonacci數,即Fibonacci數的前n項倒數和。如下

(2)

(3)

(4)

定義4設A=[aij]是一個n×n階矩陣,AH表示A的共軛轉置,λi表示AAH的特征值,則矩陣A的歐幾里得范數和譜范數分別為

(5)

(6)

定義5定義矩陣A的最大行范數r1(A)和最大列范數c1(A)分別為

(7)

(8)

定義6[12]設B=[bij],C=[cij]都是n×n階矩陣,定義矩陣B和C的Hadamard乘積為

(9)

性質1[13-14]u(x)的微分算子定義為Δu(x)=u(x+1)-u(x),則有

(10)

性質2[12，15]關于矩陣的兩種范數有如下性質

‖A‖2≤r1(B)c1(C),

(11)

其中矩陣A，B，C滿足A=B°C，

(12)

2 主要結果及證明

證明對式(3)作初等行變換得到

|F|=

于是

引理1設A是一個n×n階可逆矩陣,B是一個n×1階矩陣,c是任意實數。若

則M的逆是

其中λ=c-BTA-1B。

證明根據矩陣逆的定義，很容易驗證MM-1=En+1。

定理2設F是形如式(3)的n×n階矩陣,則F是可逆矩陣,并且它的逆是一個對稱三角矩陣。矩陣F的逆為

F-1=

證明由定理1可知矩陣F是可逆的。為了證明這個定理,本文采用數學歸納法。當n=2時,結論成立;此時

即對(n+1)×(n+1)階矩陣結論仍成立，從而證明了定理。

定理3設F是形如式(3)的n×n階矩陣,則矩陣F的歐幾里得范數是

其中

證明由式(5)得到

其中

從而

定理4設F是形如式(3)的n×n階矩陣,我們可以得到矩陣F譜范數的上下界,即

其中ki,j=min(i,j)+1，則有F=A°B。

根據r1(A)和c1(B)的定義，得到

根據式(11)可得到

‖F‖2≤r1(A)c1(B)=

證明由定理1得到

則

從而結論(i)成立;由結論(i)得到

則結論(ii)成立;為了證明結論(iii),我們用數學歸納法。當n=2時,結論成立;此時

假設結論(iii)對n成立,即

則有

即結論(iii)對n+1也成立,從而證明了定理。

定理6設e°F是形如式(4)中的n×n階矩陣,則有

證明對上述矩陣作初等行變換得到

det(e°F)=

從而

令式(10)中的u(i)=Fi且Δv(i)=1,便得到Δu(i)=1/Fi+1,v(i)=i和Ev(i)=i+1。于是有

從而便證明了定理。

定理7設e°F是形如式(4)中的n×n階矩陣,則它的逆是

(e°F)-1=

證明與定理2類似,用數學歸納法便可以證明結論。

定理8設e°F是形如式(4)中的n×n階矩陣,則可以得到矩陣e°F的譜范數的上界是

證明設

則有e°F=A°B。再根據r1(A)和c1(B)的定義,可以得到

最后根據式(11)，有

‖e°F‖2≤r1(A)c1(B)=

定理9設e°F是形如式(4)的n×n階矩陣,Dn表示矩陣e°F的順序主子式。即

Dn=det(e°F)。

則有

證明由定理6可知

則

從而證明了結論。

參考文獻：

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