《大不列顛的海岸線有多長》的內容及思想探析

江 南，曲安京

(1.西北大學 科學史高等研究院，陜西 西安 710127;2.西安石油大學 理學院，陜西 西安 710065)

1967年,一篇題為《大不列顛的海岸線有多長》[1]的劃時代論文在權威期刊《Science》上發表,引起了數學家們極大的興趣,它是20世紀幾何學史上的又一次革命。作者是美籍法裔數學家芒德勃羅(B.B. Mandelbrot,1924—2010)。1924年,他出生在波蘭華沙的一個猶太人家庭,家庭學術氣氛濃厚,母親是一位牙科醫生,父親是一名服裝商人,叔叔芒德勃羅伊(S.Mandelbrojt, 1899—1983)是布爾巴基學派的一名數學家。芒德勃羅受叔叔的影響研究范圍廣泛,涉及數學、物理學和經濟學等領域,但他最大的成就則是創立了分形幾何。1975年,他用法文出版了第一本分形專著——《分形: 形式、機遇和維數》[2],第一次提出“分形”一詞,系統地給出了分形的內容、思想和方法,標志著分形幾何的誕生。隨后他又發現了芒德勃羅集,用于描述復雜的、無窮無盡的分形形狀。他一生獲得了很多學術榮譽和頭銜,其中包含著名的富蘭克林獎章和沃爾夫物理學獎。沃爾夫獎委員會對他的評語是“通過認識分形普遍存在和發展研究分形的數學工具,他改變了我們的自然觀。”

海岸線長度問題是一個地理測量問題,英國數學家里查遜(L.F.Richardson,1881—1953)考察了這一問題,發現西班牙、葡萄牙和比利時等國出版的百科全書中記錄的一些海岸線長度竟相差20%,大大超過了允許的誤差。為什么會產生如此大的誤差呢?里查遜經過深入研究,認為這跟測量海岸線的“尺度”有很大的關系,當測量海岸線的“尺度”越來越小時,所測海岸線的長度則會越來越長。那么,海岸線的長度應當如何測量?選取什么樣的“尺度”才能測得精確的海岸線長度?一般認為隨著選取“尺度”的減小,所測海岸線長度的值可能會收斂到代表海岸線“真正長度”的有限數。 然而,里查遜已經證明事實并非如此[3],而是當測量“尺度”的長度越來越小時,海岸線的長度以及其他自然特征的增長是沒有極限的。由于里查遜的研究主要集中在數學和物理方面,并且關于海岸線長度問題的研究在他死后才得以出版,所以這個研究被當時主流科學界所忽略,直到1967年,數學家芒德勃羅才敏銳地將這一研究引入他的《大不列顛的海岸線有多長》這篇劃時代的論文,引起了科學界的重視。

數學思想始終是數學史研究所應關注的主題,在很大程度上,數學史就是數學思想史[4，P55]。那么《大不列顛的海岸線有多長》這篇論文所蘊含的數學思想是什么?這些思想將對分形幾何產生什么樣的影響?既然《大不列顛的海岸線有多長》如此重要,通過它作者試圖解決什么問題?怎樣解決這些問題?國內外對這方面的研究已有所涉及[5-12],如林夏水在《分形的哲學漫步》[11]中指出這篇論文提出海岸線長度隨著量尺的不斷縮小而趨向無窮大,對于傳統的維數理論是一個巨大的挑戰。本文將在這些研究的基礎上對這上述問題進行深入探討和系統分析。

1 《大不列顛的海岸線有多長》的內容及思想

對于《大不列顛的海岸線有多長》這個標題,沒有讀過該論文的人還會誤認為作者的目的是去求大不列顛海岸線的長度,實際上大不列顛的海岸線有多長僅僅是論文的一個引子,而論文的主要內容卻在副標題——統計自相似性和分數維數展現。按照內容的編排秩序,論文可以分為四部分。第一部分是1-3段,主要指出用長度來描述海岸線是沒有意義的;第二部分為4-6段,主要介紹里查遜經驗法則;第三部分是7-9段,主要是驗證里查遜經驗法則,并引出分數維數;第四部分為最后3段,主要是論述統計自相似性,提出尚待解決的問題。

1.1 海岸線長度

在第一部分,論文一開始就通過海岸線的形狀來引出副標題所提及的統計自相似性定義:

“統計自相似性是指對于曲線的每一部分都可以認為是其整體統計意義上縮小的像,而描述海岸線形狀的曲線正是與這類曲線密切相關的一個例子。”[1，P636]

定義結束后,芒德勃羅指出對于這樣一些特殊形狀的曲線用長度來描述通常是沒有意義的。但是為什么會沒有意義呢?他引用了施坦因豪斯(H.Steinhaus,1887—1972)在1954年的一個短評:

“隨著測量精確度的提高,維斯瓦河左河畔的長度可以比從學校地圖上讀取的長度大10倍、100倍、甚至1000倍。”[13，P8]

在短評中,維斯瓦河左河畔的長度隨著測量精度的不同而改變,自然將導致芒德勃羅對長度這個量客觀存在性的懷疑。一般認為海岸線長度是一個是客觀存在的數值,它為什么會隨著測量精度的提高而增加呢?通過芒德勃羅的陳述,可知這與海岸線的復雜結構有關,那么海岸線的結構復雜程度又應該用什么來描述?在論文第二段,芒德勃羅指出描述一條地理曲線的復雜程度可以用一個量但不是長度來描述區分。如果曲線是自相似時,它可以通過相似指數D來刻畫,這個相似指數擁有維數的許多性質,對于曲線來說,這個指數通常是比1大的分數。緊接著,芒德勃羅在第三段指出在研究地質統計學、經濟學和物理學等的機會現象問題中,自相似方法是一個有效的工具。事實上,許多噪音的維數包含在0和1之間,因此數學家將維數考慮為零到無窮之間連續的數。

1.2 里查遜經驗法則

在第二部分,為了能更好地引入分數維數,芒德勃羅首先回顧了曾經試圖用來測量海岸線長度的方法。他寫到:

“因為微小的細節對地形幾乎沒有影響,可以選取正標度G作為地理意義上特征長度的下限,并在內陸上作一條最短的曲線來連接AB,這條曲線和大海之間保持一個距離G,然后估計海岸線上A和B點之間的長度。另外,可以用一些長度不超過G的直線段來繪制這條最短的曲線,這些直線段的頂點都在包含有A和B點的海岸線上。”[1，P636]

實際上,對于這個曾經試圖用來測量海岸線長度的方法還有一些別的釋義,海岸線的長度也可以通過移動地圖上兩腳規來測量,在G足夠小的情況下,利用移動兩腳規來數出頂點在曲線上邊長為G的開放等邊多邊形(依據測量情況所確定的不封閉等邊多變形)的邊數,便能計算出海岸線的長度L(G)。然而不幸的是,地理學者們在G值的選取上存在很大的分歧,而L(G)的值在很大程度上取決于G的值。那么這個問題應當怎樣解決呢?芒德勃羅在第五段分析到:

“了解由不同的G所確定的L(G)的值是有必要的,更好的是需要在L(G)和G之間建立一個分析規則。里查遜提出了一個完全根據經驗特征的法則:L(G)=MG1-D,遺憾是沒有引起人的注意。這里M是一個正常數,D至少是一個等于單位1的常數,這個邊界特征D可能會使一個人對不規則邊界的視覺感知產生積極的聯系。”[1，P636]

根據這個經驗法則,當D=1時,地圖上的邊界看起來應該是筆直的;世界上最不規則的大不列顛西海岸線的特征D=1.25;德國陸地邊界線的特征D=1.15;西班牙和葡萄牙邊界線的特征D=1.14;地圖集中最光滑的海岸線之一的南非海岸線的特征D=1.02。然而這些邊界線與普通的光滑曲線有著顯著的區別,因為光滑曲線可以通過長度來進行描述,并稱為是“可求長的。”換句話說,里查遜所描述的那些邊界線則是“不可求長的。”如同施坦因豪斯在1954年的短評中敘述道:

“如果認為自然中所遇到的大部分的弧都是不可求長的,那么我們就是在接近真實的情況。這個結論與不可求長的弧是數學家創造出來的以及大自然的弧都是可求長的這一信念相反,而這個相反的結論是正確的。”[13，P8]

論文標題所提出的問題實際上在此就能作出回答,大不列顛海岸線的長度是隨著測量精度的增加而不斷增長的(直至無限)。

1.3 分數維數

在第三部分,芒德勃羅一開篇就指出第二部分中引用里查遜經驗法則的目的是為了反對曲線的維數大于1是由數學家發明的觀點。但是實際問題出現后,數學家們一般是不會袖手旁觀的,況且維數還是數學中一個非常重要的概念。那么維數概念最原始的特征是什么?分數維數在數學中又是怎樣推導出來的呢?芒德勃羅分析到:

那么以此類推,當N1/D是一個正整數時,一個D維形體就可以被分割為N個與它的相似比率為r(N)=1/N1/D的更小D維形體。因此,此時的維數D可以通過D=-logN/logr(N)這樣的對數關系式來表示。通過以上分析,我們知道維數D可以用來表征更一般的復雜形體。只要這個形體可以精確地分割為N個與整體相似比為r(N)的小形體,那么它的維數就滿足D=-logN/logr(N)的關系式。為了證明這樣的形體存在,芒德勃羅詳細展示一些變異的連續不可微的科赫曲線的構造。具體構造如下:第一步,首先畫一條(0,1)線段,長度為1;第二步,在第一步的基礎上,畫一些如圖1所示的扭結曲線段,每條曲線段均由N個首尾相接的長度為1/4的區間組成。第三步,用第二步所選取曲線段比率為r(N)=1/4的曲線段來替代第二步中每一個小的曲線段(共N個),得到N2個首尾相接的長度為1/16的區間。按此類推,當無限重復上述步驟時,可以得到一條自相似的連續多結的曲線。因為這條曲線也可以精確地分割為N個與整體相似比為r(N)=1/4的曲線段,那么這條曲線的維數D=-logN/logr(N)=logN/log4。芒德勃羅為什么要選取變異的科赫曲線作為例子?變異的科赫曲線到底有什么特別之處?通過它的構造不難發現它與海岸線有很多相似的地方,或者從某種程度上說它就是一條特殊的海岸線。它的近似長度又應當怎樣來測量呢?根據上述曲線的構造可知在第s+1步時,曲線由Ns個長度為G=(1/4)s的線段構成,所以此時曲線的近似長度L=(N/4)s=G1-D。細心的讀者一定會發現這個關系式實際上就是里查遜經驗特征法則中常數M=1的情形。

圖1 扭結曲線段[1，P637]Fig.1 Kinked curves

1.4 統計自相似性

在后3段中,論文指出自相似圖形在大自然界中也是很少見的,而統計意義上的自相似性圖形卻經常碰到,而要把這個問題描述清楚就需要引入概率、隨機性以及相似維數等一些數學概念。正如芒德勃羅在第十段寫到:

“一個平面圖形的隨機選擇隱含著幾種定義。首先必須先選取出一族可能的形狀,通常用Ω來表示。當這族圖形包含有限個成員時,隨機選擇的規則是通過每一個圖形可能被選取的明確概率來指定。然而,當Ω在無限的情況下每一個圖形被選取的概率是0。”[1，P637]

如果要求是自相似的,對于上述族Ω與事件的定義和概率一起需要滿足兩個條件:第一是每一個可能的圖形必須通過N個與其相似比是r的小圖形以某種方式的串接來構造;第二是概率應該特別指定,不管是一下子選取整個圖形,還是分別選取小圖形所得到概率值都一樣。這樣如果r的值是通過選取N來指定,那么可以將-logN/logr考慮為該圖形的一個相似維數。因為相似維數在當時是一個比較新的數學概念,所以芒德勃羅在文末也說道:

“為相似維數的存在規定數學條件是一個并沒有完全解決的問題。”[1，P638]

事實上,從論文第三部分可以看出地理曲線的隨機思想升華了一些其他隨機應用領域的概念性問題。由于論文的寫作靈感得益于里查遜的遺稿,所以芒德勃羅最后指出里查遜的經驗法則是隨機自相似的地理曲線和分數維數D思想兼容最完美的表現形式,再一次肯定了里查遜的開創性工作。

2 《大不列顛的海岸線有多長》對分形幾何的影響

分形幾何是繼隨機數學、模糊數學和渾沌學后,又一門研究事物連續非光滑規整形態的數學分支。用通俗的方法講,它是研究自相似復雜圖形和結構的幾何學。自相似性和分數維是它的兩個基本思想,分數維是刻畫分形最關鍵的特征量。分形一般具有以下性質[14]:具有精細的結構,即在任意小尺度它總具有復雜的細節;太不規則,以至于它的整體和局部難以用傳統歐氏幾何的語言來描述;具有某種自相似性,可能是近似的或是統計的;它的分形維數(以某種方式定義)一般會大于拓撲維數;以非常簡單的方法定義,可能由迭代來產生。

論文中芒德勃羅以統計自相似性和分數維數這兩個分形幾何學中的重要概念作為副標題,接著通過對海岸線及地理曲線的研究引進第一類分形,即維數大于1的連通曲線。在逐階計算變異的科赫曲線的近似長度時,驚訝的發現近似長度值的解析式是里查遜關于海岸線的經驗法則的解析式L(G)=MG1-D中M=1的情形。主要區別是這里D不再是一個要通過經驗估計的物理量,而是一個數學常數,通過它可以定義相似維數,即分形維數的一種新的表達方式。正如芒德勃羅回憶時說:

“解釋1-D是我在此領域的第一個貢獻,在《大不列顛的海岸線有多長》這篇論文中我挖掘出了里查遜可能被永遠埋沒的論文,并將D解釋為分形維數。”[2，P33]

事實上早在1918年,豪斯多夫(F.Hausdorff,1868—1942)在他的《維數和外測度》這篇論文中已經對分數維數有詳細的研究[15],不過當時是純數學的角度來引出分數維數,還未在大自然中找到與之相對應的實體。而在《大不列顛的海岸線有多長》這篇論文中,芒德勃羅以海岸線問題為突破口,在大自然中實現了維數由整數到分數的飛躍,因而分形幾何又稱為大自然中的幾何。論文還介紹了與大自然密切相關的統計自相似性,為1982年出版的分形名著——《大自然的分形幾何》[5]提供了重要素材,也為第一部分形著作——《分形、機遇和維數》的出版作出了鋪墊,進而為分形幾何的最終誕生奠定了基礎。通觀全文,無處不滲透著分形的思想,它的發表標志著分形理論的萌芽。

3 結 語

海岸線長度問題是芒德勃羅最初在里查遜遺稿中的一篇鮮為人知的論文中發現的問題,這個問題引起了他極大的興趣,并進行了潛心的研究,《大不列顛的海岸線有多長》就是他的研究成果之一。海岸線長度的測量取決于測量海岸線尺子的精度,經驗證據表明測量的尺度越精細,測出的海岸線就越長。當測量的尺度趨于零時,海岸線的長度將趨于無窮。里查遜通過觀察發現許多國家邊界線測量出來的長度L(G)是測量尺度G的一個函數,并搜集了幾個不同的例子,然后猜想出L(G)可以通過以下形式的一個函數來估計:L(G)=MG1-D。解釋這個關系式中字母“D”的含義正是《大不列顛的海岸線有多長》需要解決的問題。芒德勃羅用數學建模的方式,通過類比的方法,最終證明了海岸線的近似長度確為L(G)=MG1-D中M=1的情形,并且將D解釋為相似維數,并給出了計算相似維數的辦法。

在論文接近尾聲時,芒德勃羅論述了大自然中的統計自相似性,指出里查遜的經驗法則是隨機自相似的地理曲線和分數維數D思想兼容最完美的表現形式。這篇論文既顯示了芒德勃羅早期的分形思想,同時又是數學與大自然緊密聯系的一個例子。但因為分形幾何的建立還需要一套系統的理論來支撐,而論文涉及的只是其中的一個方面,并且論文中芒德勃羅沒有將相似維數明確為分形維數,也未抽象出“分形”這一概念,所以本篇論文不能作為分形幾何誕生的標志。同時論文也提出了一些尚待解決的問題。如相似維數存在的嚴格數學條件是什么?里查遜經驗法則中常數M的值如何來確定?這些問題自然也成了芒德勃羅以后工作的主題。

致謝:衷心感謝南京農業大學惠富平教授在本文寫作過程中的悉心指導。

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