壓氣機特性曲線多項式回歸擬合方法

代 星，趙元松，岳永威，吳 垚

（1. 91054部隊，上海 200235；2. 中國航空綜合技術研究所，北京 100028；3. 92602部隊，上海 201900）

0 引言

艦用燃氣輪機作為艦船動力系統的核心裝置，其起動、調節、變速的特性在很大程度上影響著艦船的運行。壓氣機是燃氣輪機的主要部件，其特性對于仿真結果有顯著影響。在實際使用過程中，壓氣機不可能固定在額定工況下工作，艦船運行時復雜的變化（如負荷降低、溫度或壓力變化、葉片結垢或磨損導致的零部件性能變化等）都會造成壓氣機偏離原穩定工況，因此了解壓氣機關鍵參數的變化規律對于把握壓氣機的性能十分重要。但是，通過試驗獲取壓氣機特性的方法不僅費用較高，而且難以全面反映所有轉速特性；實際中僅能夠獲得部分工況的數據，且這些數據多以離散點或者曲線圖的形式存在。如何由有限的數據和圖表模擬及預測壓氣機未知運行狀態成為了一個難點。

由于壓氣機特性表現出較強的非線性，采用常規的線性插值方法模擬往往導致模擬結果精度較差，因此，國內外學者提出了一些模擬壓氣機特性的方法，如神經網絡算法[1-3]、模糊辨識法[4]、滑動最小二乘法[5]和偏最小二乘法[6]等。這些算法能夠較好地逼近壓氣機特性曲線，但仍存在一些不足。神經網絡法能夠在理論上與實測值高效逼近，但在插值效果上始終存在問題；模糊辨識法相較神經網格法擬合精度較差，對于未知數據的插值能力仍需進一步研究驗證；滑動最小二乘法和偏最小二乘法能夠控制壓氣機特性曲線的精度，但計算量較大、算法復雜度高。

本文首先對壓氣機特性進行理論分析，對同一轉速下的試驗數據分別進行線性插值擬合，通過分析擬合效果，再對不同轉速下的擬合系數進行線性插值擬合，結合兩部分擬合函數，最終獲得壓氣機特性曲線函數。

1 壓氣機的插值計算

壓氣機特性曲線包括轉速（n）、效率（η）、流量（G）和壓比（π）四個參數量。壓比和效率用流量和轉速可以表示為

壓氣機出廠前通常會對其進行測試，記錄某些轉速下的壓比、流量和效率的數據點，如圖1所示。若僅有壓氣機曲線圖，則需要作輔助線來獲取數據，如圖2所示。記錄壓氣機的各轉速曲線（如圖2中的n1～n4），做若干條輔助線（如圖2中L1～L4）與轉速曲線相交，記錄各輔助線與轉速曲線相交點的增壓比、流量和效率。

圖1 壓氣機特性曲線離散數據點

圖2 通過輔助線獲取特征數據

由于這些數據不可能涉及所有運行中的轉速，因此需要在工作中根據已有數據推算其他未知轉速下的壓氣機特性。基于已有試驗數據進行壓氣機特性曲線擬合就是結合已有的數據條件推測未知的數據條件，而目標轉速值在已知數據的轉速范圍內。由公式（1）和公式（2）可知：壓氣機的壓比和效率都需要雙變量參數表達，因此需要通過進行兩次插值計算才能確定，本文選用π/η-G，G-n的插值方式。

2 壓氣機特性曲線逼近方式

對于相同轉速的曲線點，可以直接用高次冪的多項式進行擬合。由于不同轉速曲線形狀相似，且各個曲線隨轉速漸進變化的規律也是近似的，所以可以用同一多項式逼近。以壓比作為因變量，轉速和流量作為自變量，先做某一轉速下關于流量的多項式曲線擬合，用最小二乘法進行精度逼近[7]，擬合多項式為

式中：iπ為轉速ni(i=1,2,3,…,p)下的壓比因變量；aji(j=0,1,2,3,…,q)為轉速ni下的多項式系數。通過比較不同多項式的擬合殘差獲得最佳的多項式，從而固定q值。之后做多項式系數aji(j=1,2,3,…,q)關于轉速ni(i=1,2,3, …,p)的多項式擬合，擬合代數多項式為

式中：bji(j=1,2,3,…,k)為多項式系數。結合公式（3）和公式（4），即可得到壓比關于轉速和流量的表達式。

3 壓氣機特性曲線擬合過程分析

本文選取文獻[8]附錄中壓氣特性數據做壓氣機曲線擬合，其中轉速、增壓比、流量均為相對轉換值（為保證相同轉速下壓比、效率取值的唯一性，刪除表格中部分同轉速下不同流量值對應的數值相同的壓比、效率列，以保證合理性），具體數據如表1所示。

表1 壓氣機相對速度、相對壓比、相對流量和效率數據值表

首先應用R函數工具箱和公式（1）對固定轉速下的壓比和流量進行第一步曲線擬合，通過重復對比不同次數下的多項式擬合精度，發現q=3時，擬合精度足夠，擬合誤差小，得到的結果與原數據最接近、殘差最小，因此根據公式（3）固定第一步壓比-流量多項式的次數為3。然后將第一步擬合的多項式不同轉速下的系數取出，以轉速ni(i=1,2,3,…,p)為自變量參照公式（4）進行第二步擬合，在擬合的過程中，通過R函數工具箱對系數的擬合殘差進行檢驗，與第一步擬合需要固定多項式次數不同，第二步擬合各系數的多項式次數可以不同，以擬合的精度最低為標準進行選取。參照公式（4），系數與轉速的多項式形式與精度的檢驗結果如表2所示。

表2 系數多項式擬合評估表

由表 2可以看出：系數多項式擬合的殘差絕對值基本都在0.1以內，說明系數多項式擬合效果較好。參照表2，通過兩步多項式擬合，壓比與流量、轉速的多項式擬合的最終結果為

在表1中同轉速列上取三個點，經擬合公式（5）計算得到壓比，與表 1中同轉速下相同流量對應的壓比進行比較，結果如表3所示。

表3 壓比擬合對照表

由表 3可以看出：壓比擬合相對誤差最多不超過3%。圖3為壓比擬合對照圖，原壓比-流量曲線與擬合出的壓比-流量曲線基本貼合，曲率誤差較小、精度較高。同理，效率與流量、轉速的多項式擬合的最終結果為

在表1等轉速列上取三個點，經擬合公式（6）擬合得到效率，與原表1在相同流量下對應效率進行比較，結果如表4所示。由表4可以看出：效率擬合誤差最多不超過5%。圖4為效率擬合對照圖，原流量-效率曲線與擬合流量-效率曲線基本貼合，曲率基本保持一致，貼合精度較高，能夠反映不同速度下流量與效率的變化狀況。

圖3 壓比擬合對照圖

表4 效率擬合對照表

圖4 效率擬合對照圖

4 結論

本文研究的壓氣機特性曲線擬合方法原理簡單、易于編程，擬合后的多項式可直接用于仿真程序，計算速度快、誤差小，且符合精度要求。驗證結果表明：該方法在擬合效果上是合理可行的，可為燃氣輪機整機的仿真模擬提供堅實的基礎。

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