考慮初始相位角影響的空間飛越發射窗口研究*

李人杰，陳楊，向開恒

( 北京電子工程總體研究所，北京 100854 )

0 引言

空間飛越是指運行在停泊軌道的航天器，接到指令后沿著設計的轉移軌道，從距離目標航天器或天體極近的空間一點(飛越點)掠過，進行短時間觀測并遠離的過程[1]。

對空間飛越的研究具有重要意義。首先，飛越探測是深空探測的一種重要方式，如嫦娥二號對4179 Toutatis小行星的飛越探測[2]和新視野號對冥王星的飛越探測[3]。其次，飛越可以為在軌服務提供信息。空間中有許多因故障而失效或廢棄的航天器，在進行在軌服務之前，對目標實施飛越可以對其進行快速有效地觀察，獲取目標運行狀況、故障類別等信息[4]。最后，飛越式接近還可以作為一種安全接近方法，使在軌服務航天器沿一條無碰撞路徑到達目標，且保證出現故障時也能安全撤離[5-6]。

飛越軌道的優化設計是實施空間飛越的基礎，然而，由于各種擾動和偏差的存在，航天器難以按照預先設計的最優軌道進行飛越，所以相對于最優軌道設計方法，更為關注的是在一定的初始條件下(即接收到指令時飛越航天器和目標航天器的初始軌道參數)，滿足燃料消耗和飛越時間約束的發射窗口的計算方法，但目前相關的研究較少。文獻[7]提出了基于發射窗口的天基發射方案，在給定初始條件下計算了發射窗口，研究了軌道規劃策略。在進行發射窗口的計算時，初始條件是一個重要影響因素，不同的初始條件下發射窗口不同，所以，有必要研究初始條件對發射窗口的影響。

本文針對空間飛越問題，基于Lambert軌道轉移方法，研究了空間飛越發射窗口的計算方法，并分析了不同的飛越航天器和目標航天器的初始軌道參數對發射窗口的影響。

1 普適變量法求解Lambert問題

空間飛越問題可以歸結為一個Lambert問題，如圖1所示。

該問題具體描述為：根據飛越航天器在變軌時刻的位置r1和速度v1、在飛越時刻的位置r2和速度v2、以及飛越航天器飛行時間Δt，可以確定出在變軌時刻飛越航天器的速度增量Δv以及飛越軌道。求解Lambert問題實質上就是求解高斯問題[8]，對于該問題有多種解法，如普適變量法[9-10]、Battin算法[11]、Thore算法[12]等。本文使用普適變量法進行求解，具體過程如下。

速度增量

Δv=|v1-v1t|，

(1)

式中：v1t為飛越航天器在變軌后瞬間的速度，即變軌時刻其在飛越軌道上的速度。

(2)

式中：

(3)

(4)

(5)

式中：r1和r2分別為位置矢量r1和r2的模；p為飛越軌道的半通徑；μ為引力常數；θ為r1和r2的夾角,即

(6)

引入普適變量χ，式(3)和式(4)可以表示為

(7)

(8)

(9)

式中：C，S，Z為普適變量χ的函數。

C，S，Z的具體表示為

(10)

(11)

(12)

式中：a為飛越軌道的半長軸。

通過式(3)和式(7)得

(13)

將式(13)代入式(9)可得

(14)

在式(14)兩側同時乘以r1r2，并定義2個新變量A，Y，式(14)可變為

(15)

式中：

(16)

(17)

由式(13)和式(17)可得

(18)

由式(4)和式(8)可得

(19)

A可由初始條件求出，根據式(11),(12)和(15)可知C,S和Y都是Z的函數，所以式(19)中只有一個未知變量Z，是一個一元超越方程，因此可以以Z為迭代變量進行迭代來求解。

對于飛越問題，在已知r1,v1,r2和Δt的情況下，使用普適變量法求解的具體流程如圖2所示。

2 考慮初始相位角的發射窗口計算

在本文的研究中作如下假設：

(1) 飛越航天器初始軌道與目標航天器軌道為共面圓軌道。共面飛越是空間飛越的基礎工況，并且異面飛越問題也可以通過虛交點[13]或穿越點[14]轉換為共面飛越問題，所以基于共面假設的研究有重大意義。

(2) 只考慮二體引力，忽略其他攝動力的影響。

(3) 速度增量的施加瞬間完成。

(4) 只考慮單圈Lambert轉移。

2.1 飛越任務流程

在實際情況中，由于燃料消耗的約束，飛越航天器接收到指令后，可能不會如圖1中一樣立即變軌，而是需要在初始軌道上繼續飛行一段時間之后再進行變軌，如圖3所示。圖中2條虛線為接收指令時飛越航天器和目標航天器的位置矢量r10，r20；定義初始相位角θ0為t0時刻飛越航天器與目標航天器的地心角[15]，θ0∈[-180°,180°]，當目標航天器沿軌道運行方向領先飛越航天器時為正，落后時為負。

根據圖3，從接收飛越任務指令到完成飛越任務的具體流程為：

(1)t0時刻接收指令，此時飛越航天器和目標航天器的位置分別為r10,r20。

(2) 接收飛越任務后，飛越航天器和目標航天器繼續飛行Δt0時間，到達t1時刻，t1=t0+Δt0。此時飛越航天器的位置為r1，目標航天器的位置為r2′(圖3中未顯示)。

(3) 在t1時刻，飛越航天器施加脈沖進行變軌。

(4) 飛越航天器變軌后，飛行Δt時間，到達t2時刻，t2=t1+Δt。此時飛越航天器到達飛越點，實現飛越。由于飛越點與目標航天器的距離和該點與地心的距離相比極小，可以忽略，所以假定此時飛越航天器和目標航天器的位置均為r2。

完整的飛越任務時序如圖4所示。定義從接收指令到施加脈沖前的時間Δt0為等待時間，從施加脈沖到完成飛越的時間Δt為轉移時間，總時間為飛越時間Δts= Δt0+Δt。

2.2 發射窗口計算

所有滿足燃料消耗約束和飛越時間約束的t1時刻的集合即為可行的發射窗口，發射窗口隨t0時刻初始條件的變化而變化。在共面圓軌道的假設下，初始條件的變化只與初始相位角θ0的變化有關。所以，只需研究初始相位角的變化對發射窗口的影響。研究步驟具體如下：

步驟1： 已知t0時刻飛越航天器和目標航天器的軌道根數，由于圓軌道假設，使用緯度幅角ω來表示航天器的位置，設飛越航天器的緯度幅角ωL為任意常數，設目標航天器的緯度幅角ωT=0。

步驟2：ωT=ωT+ωTstep，ωTstep為目標航天器緯度幅角的步長，初始相位角θ0=ωT-ωL，如果θ0>180°，則令θ0=θ0-360°；設等待時間Δt0=Δt0 min，Δt0 min為最小等待時間。

步驟3： Δt0=Δt0+Δt0step，Δt0step為等待時間的步長；計算t1=t0+Δt0。設轉移時間Δt=Δtmin，Δtmin為最小轉移時間。

步驟4： Δt=Δt+Δtstep，Δtstep為轉移時間的步長。

步驟5： 根據初始軌道根數和Δt0,Δt，計算出r1，v1，r2，使用普適變量法求解Lambert問題得到Δv；計算飛越時間Δts=Δt0+Δt；如果Δv<Δvmax且Δts<Δtsmax，則t1時刻屬于初始相位角為θ0時的發射窗口，其中Δvmax和Δtsmax分別為速度增量和飛越時間的最大允許值。

步驟6： 如果Δt<Δtmax，返回步驟4，其中Δtmax為最大轉移時間；否則進行步驟7。

步驟7： 如果Δt0<Δt0max，返回步驟3，其中Δt0max為最大等待時間；否則進行步驟8。

步驟8： 如果ωT<360°，返回步驟2；否則結束。

研究過程由ωT，Δt0和Δt3個變量的循環嵌套組成，如圖5所示。

3 仿真與分析

3.1 仿真條件

t0時刻飛越航天器和目標航天器的軌道根數如表1所示。

表1 t0時刻軌道根數

循環變量的取值范圍和步長如表2所示。其中，為了具備普遍適用性，令等待時間Δt0和轉移時間Δt分別按照飛越航天器和目標航天器軌道周期TL,TT的百分比取值。

表2 循環變量取值范圍與步長

燃料消耗約束Δvmax=500 m/s，飛越時間約束Δtsmax= 7 200 s。

3.2 結果分析

經仿真，發射窗口長度TW與初始相位角θ0的關系如圖6所示。可以看出，當初始相位角θ0∈[-11°, 91°]時，存在可行的發射窗口，且隨著初始相位角的增加，發射窗口長度先增大后減小，在θ0=32°時達到最大值TW=2 691.1 s。

發射窗口區間與初始相位角的關系如圖7所示，為了使表示直觀，圖中發射窗口區間使用t1時刻與t0時刻的時間差(即等待時間)來表示。可以看出，當初始相位角θ0∈[-11°, 32°]時，發射窗口從t0時刻開始，即在接收到指令后，飛越航天器可以無需等待，直接施加脈沖進行變軌，如當θ0=32°時發射窗口為t1∈[t0,t0+2 691.1]s。而當θ0∈[33°, 91°]時，發射窗口不能從t0時刻開始，而是在接收到指令后，飛越航天器需等待一段時間再施加脈沖進行變軌，如當θ0=60°時發射窗口為t1∈[t0+2 087.0,t0+3 899.4]s。

上述仿真說明本文提出的方法能夠得到初始相位角與發射窗口的對應關系，從而可以適當的初始相位角來獲得較好的發射窗口。由于在上述仿真條件下，當θ0=32°時發射窗口長度最長，所以以θ0=32°為例進行仿真。

速度增量等高線圖如圖8所示。圖中封閉的曲線為燃料消耗約束Δvmax=500 m/s，曲線內部滿足約束；傾斜的虛線為飛越時間約束Δtsmax= 7 200 s，虛線的左下方滿足約束。可以看出，發射窗口為t1∈[t0+0,t0+2 691.1]s，與圖7的分析結果相同。

速度增量與飛越時間的關系如圖9所示。可以看出，相同的飛越時間對應多個不同的速度增量，這是因為Δts= Δt0+Δt，同一個飛越時間Δts可以由不同的等待時間Δt0和轉移時間Δt相加而成，所以對應著不同的速度增量。同樣，相同的速度增量也對應多個不同的飛越時間，但隨著速度增量的減小，可行的飛越時間的區間逐漸減小，當速度增量取最小值Δv=285.6 m/s時，對應唯一的飛越時間Δts=4 090.3 s，此時等待時間Δt0=988.6 s，轉移時間Δt=3 101.7 s。

4 結束語

本文基于Lambert轉移的普適變量解法，在空間飛越問題中，提出了一種研究初始相位角對發射窗口的影響的方法，能夠分析發射窗口長度、發射窗口區間與初始相位角的對應關系。仿真結果表明，初始相位角對發射窗口的影響很大，只在一個較小的初始相位角區間內存在可行的發射窗口。利用本文的方法能夠有效地選出合適的初始相位角，為空間飛越任務的實施提供參考。

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