彈載小衛星應急發射入軌方法設計與優化*

馬特,劉剛,何兵

(火箭軍工程大學 空間工程系,陜西 西安 710025)

0 引言

現代小衛星發源于20世紀80年代，是通信技術、測控技術、遙測技術以及小衛星的管理等相關關鍵技術大力發展的基礎上涌現的產物?，F代小衛星采用創新概念設計，在大型衛星涉及領域廣、技術復雜、研制周期較長、成本過高的背景下，小衛星因其“新、快、靈、省”的特點以及其巨大的發展潛能，出現井噴的態勢。隨著小衛星的蓬勃發展和廣泛應用，小衛星的各項關鍵技術已經成為航天裝備和空間應用領域關鍵技術的重要組成部分，其中小衛星發射技術則引起各個國家的廣泛關注。

小衛星發射方法可以分別為兩大類[1]。一是采用專用小型運載火箭發射；二是利用大型運載火箭搭載發射。后者發射周期長，發射點固定，不利于實現需要機動靈活的應急發射任務。而利用現有型號導彈經過改裝成為衛星發射不但可以節省衛星發射運載器的研制周期和經費，同時還可做到機動發射、應急組網。

目前，世界各國都對小衛星機動發射技術有所突破。例如，美國利用退役的“民兵-2”固體導彈一、二級和“飛馬座-KL”火箭末修級改造成的“人牛怪”運載火箭[2]，能把340 kg的有效載荷送入740 km的太陽同步軌道，并可較其他火箭節省30%的發射費用；同時俄羅斯也將RS-18導彈和SS-25導彈改造成為呼嘯號運載火箭[3]和起飛1號運載火箭[4]用于衛星發射。

本文研究的對象是彈載小衛星機動發射彈道設計與優化。以經典型號彈道導彈為例，通過改造導彈的末修艙，加裝高集成緊耦合微衛星，在傳統彈道導彈動力學模型的基礎上，設計導彈飛行程序，最終實現衛星發射入軌。

1 基礎力學模型

1.1 地球引力

地球引力場為有勢力場[5]，地球外質點引力位函數為

(1)

式中:fM為引力常數地球;m和r分別為質量和質點到地心距離。

于是，引力加速度為

(2)

1.2 發動機推力

火箭發送機雖有液體固體之分，但其產生機理相同，所以其基本推力計算公式相同。在不考慮控制的情況下，彈體系Ozy1和Ozz1軸方向的推力可以直接去零，由于存在大氣靜壓力，而發動機噴口上沒有大氣靜壓力，在燃氣靜壓力和大氣靜壓力的共同作用下，發動機推力[6]為

(3)

1.3 空氣動力

對于高速飛行的導彈來說，其空氣動力的產生機理與飛機機翼升力產生機理完全一樣，與導彈的外部形狀、姿態、速度、空氣密度和飛行高度有關。只是作用在導彈的空氣動力[7]是空間中的一個向量。其表達式為

R=CRqSm，

(4)

1.4 柯氏慣性力和牽連慣性力

柯氏慣性力[8]和牽連慣性力[9]是由于坐標系旋轉產生，對導彈的作用力也很小。

柯氏慣性力在發射坐標系下的分量為

(5)

式中:Fcx，Fcy，Fcz為柯氏慣性力在發射系下分量；m為導彈實時質量；acx，acy，acz為柯氏慣性力產生的加速度。

(6)

(7)

牽連慣性力在發射坐標系下的分量為

(8)

式中：Fex，Fey，Fez為牽連慣性力在發射系下分量；aex，aey，aez為牽連慣性力產生的加速度。

(9)

(10)

2 彈載小衛星發射彈道優化模型

以經典型號彈道導彈為例，小衛星發射彈道包括一級飛行段、二級飛行段和自由段，達到目標軌道后，利用末修級發動機施加推力最終達到入軌條件，在飛行過程中，導彈按標準彈道飛行，其姿態角根據優化的飛行程序角變化。

2.1 導彈飛行程序設計

(1) 一級飛行程序

導彈一級飛行程序又可以分為垂直上升、程序轉彎、跨聲速飛行和一級分離4段[10]。由于導彈一級飛行處于稠密的大氣層中，而且要經歷跨音速等復雜情況。一般對一級飛行不做太大改動。一級飛行程序如下：

(11)

式中：

(12)

t1為導彈垂直上升段的時間；t2為程序轉彎結束的時刻；t3為跨聲速飛行段飛行結束的時刻；tk1為一級結束時刻；α為二級飛行攻角，其中α和a控制彈道的轉彎速率；θ為彈道傾角。

(2) 二級飛行程序

本文中的二級飛行開始段已經飛至臨近空間中上層，空氣產生的阻力相對一級要小，控制也比一級容易，所以主要優化參數也都在二級段。將二級飛行分段線性化設計，具體如下：

(13)

(3) 自由段飛行程序

自由段飛行導彈已經飛出大氣層，彈體處于無控制飛行狀態，直至導彈達到目標軌道以及運動狀態要求，末修發動機點火，最終完成小衛星入軌任務。在此過程中，飛行程序角保持不變。

φcx(t)=φcx5，tk2

(14)

式中：φcx5為導彈二級飛行結束時的飛行程序角；tk3為自由段結束時刻即末修級點火時刻。

而后在末修級點火時刻tk3即彈道最高點，末修級點火實現微衛星增速入軌。

2.2 約束條件

衛星發射彈道優化的約束條件包含微分方程約束、路徑約束和自由端結束狀態約束等。

路徑約束包括動壓約束[11]和過載約束[12]等。具體表示如下：

(15)

式中：的q和ny分別為動壓和過載；qmax和nymax分別為動壓約束最大值和法向過載約束最大值。

自由段結束狀態約束即末修級點火時刻約束，指的是末修級點火時衛星及末修級的位置與速度狀態約束。形式如下：

(16)

式中：Θtk3為tk3時刻即末修級點火時刻導彈的當地彈道傾角；Θmax為當地彈道傾角的限定值；Htk3為tk3的軌道高度；Htar為目標軌道的軌道高度；Dev為軌道高度偏差限定值。

2.3 優化變量設計

本文研究的是利用經典型號的導彈改裝后搭載發射小型衛星的彈道優化問題，整體設計彈道時需要優化的變量多，直接得到滿足所有內點約束的全局最優解難度較大，因此合理的設計目標函數至關重要，本文對目標函數的設計主要包括以下幾步：

由2.1節分析可得，衛星發射彈道優化的變量為

X= (x1,x2,x3,x4,x5,x6)T=

(17)

式中：x1，x2對應的是一級飛行程序轉彎控制參數；x3，x4，x5，x6對應的是二級飛行轉彎控制參數。

2.4 目標函數的設計

選擇末修級發動機點火時刻的速度vf作為發射彈道優化的目標函數，即

F(X)=min{1/vf(X)}.

(18)

3 優化算法設計

遺傳算法(genetic algorithms，GA)是一種基于基因遺傳機制和自然選擇的尋優算法[13]，其具體步驟包括：初代群體確立、求解適應度、依照適者生存原則和一定概率選擇優良個體、在優良個體中隨機交叉和變異后生成下一代群體，按照此法，群體逐代進化直至達到適應度要求或者滿足進化代數要求便終止。

該算法的基本步驟如下：

(1) 種群初始化

(2) 適應度評價

運行彈道程序，計算各個種群的適應度值，使用輪盤賭法作為選擇算子對這些個體進行排序篩選。

(3) 交叉

用A，B和A′，B′分別代表父代和子代的個體，運用下列方法進行交叉操作：

(19)

如果A′(B′)R，則A′(B′)=R。

(4) 變異過程

用C和C′分別表示父代和子代的個體，γ為(0,1)上均勻分布的隨機數，k∈[0,1]為變異系數，U(0,1)為隨機產生的整數0或1。

(5) 生成新一代種群

若滿足迭代次數要求便輸出最優解，否則繼續上面的操作。

該算法的優化流程如圖1所示。

4 仿真計算與結果分析

以經典型號導彈為例，利用遺傳算法研究小衛星發射彈道優化設計問題。

(1) 參數設置

取發射點的大地經度Lf等于110.27°，取發射點的大地經度Bf等于33.04°，發射點高程為500 m；發射方位角10.425 8°。目標軌道定位450 km，當地彈道傾角限定值Θmax為1°。種群規模取40，進化代數取100，交叉概率取0.6，變異概率取0.01。

(2) 結果分析

給定后話變量的取值范圍即滿足其控制約束和過載約束，基于遺傳算法進行彈道優化，最終得到優化變量的準最優結果，如表1所示。

表1 優化變量的結果

地心大地直角坐標系下衛星發射導彈彈道如圖2所示。導彈飛行的高度隨時間變化曲線如圖3所示。導彈當地彈道傾角隨時間變化曲線如圖4所示。飛行程序角隨時間變化曲線如圖5所示。導彈速度隨時間變化曲線如圖6所示。仿真100代其適應度函數收斂曲線如圖7所示。

由圖1所示彈載衛星發射的軌道。由圖7可見其適應度收斂曲線，遺傳算法平均耗時2 782 s，搜索時間較快。

由圖5所示彈載衛星發射的主動段的程序角。與傳統的彈道導彈的主動段程序角[14]相比轉彎速率更快，但并沒有很大的差別而且滿足其過載約束，進一步論證了將現有彈道導彈改裝成為衛星發射運載器的可行性。

由圖3,4,6可見，導彈的飛行的姿態和速度隨時間變化而變化，主動段按照優化結果程序轉彎，在主動段結束時達到速度最大值，而后進入自由段飛行，軌道高度不斷增高，自由段開始當地彈道傾角隨速度和位置變化而變化，本文優化目標為當地彈道傾角為零時的速度最大即當地彈道傾角為0時的速度最大。案例現實當地彈道傾角為0時速度達到6 000多m/s，處于臨界入軌狀態，而后末修發動機點火補充差速度，差速度計算方法由文獻[15]提供，最終將小衛星推達入軌條件。

如圖8所示，設定不同目標軌道高度下的末速度，隨著目標軌道高度的不同能夠達到的末速度也不同，在目標軌道高度設置為300～400 km時末速度為5 400 m/s左右；在目標軌道450 km左右達到末速度最大值6 100 m/s 左右，而后末速度隨目標軌道的高度變高而變小。

5 結論

本文針對彈載入軌小衛星的彈道優化計問題，主要工作和研究結論如下：

(1) 本文建立了利用彈道導彈改裝后發射小衛星的彈道優化模型?；趶椀纼灮Ｐ停疚脑O計了衛星發射的彈道飛行程序。

(2) 在多約束、多階段彈道飛行程序的基礎上，以衛星能夠精確入軌作為目標，利用遺傳算法對模型進行求解，得出路徑約束和末端約束下的優化變量最優解。

(3) 根據優化變量最優解，仿真得出衛星發射的發射軌道以及衛星入軌后的空間軌道。

(4) 本文論證了將末型號廢舊導彈加裝小衛星和末修級能夠發射衛星的可行性，并提出彈載衛星發射的基礎方案。

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