高考概率統(tǒng)計(jì)熱點(diǎn)題型分析與對(duì)策

彭耿鋒

摘要分析考綱，解讀題型，通過(guò)近幾年的高考概率統(tǒng)計(jì)題分析，在題型中尋找規(guī)律，明確高頻考點(diǎn)，摸清考試規(guī)律，為高考題海戰(zhàn)術(shù)指明了方向，備考增加信心，通過(guò)最近幾年的高考試題分析，分析總結(jié)，明晰應(yīng)考策略。

關(guān)鍵詞概率統(tǒng)計(jì)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

通過(guò)近五年全國(guó)卷概率統(tǒng)計(jì)解答題分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，解答題多以抽樣問(wèn)題為背景，以頻數(shù)分布條形圖、頻率分布直方圖、莖葉圖、散點(diǎn)圖等統(tǒng)計(jì)圖表為載體，體現(xiàn)能力立意，將統(tǒng)計(jì)知識(shí)與概率知識(shí)、函數(shù)知識(shí)等相結(jié)合的綜合題。

下面舉例說(shuō)明2013年至2017年全國(guó)高考（理科）卷中出現(xiàn)的熱點(diǎn)解答題進(jìn)行分析與研究。

熱點(diǎn)題型一：獨(dú)立重復(fù)事件與二項(xiàng)分布

例題1.【2013全國(guó)1，理19】一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n。如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)。假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立。

（1）求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率。

（2）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。

【考點(diǎn)直擊】：獨(dú)立重復(fù)事件、二項(xiàng)分布、數(shù)學(xué)期望

【解答分析】：解決本題的關(guān)鍵在于取得產(chǎn)品的件數(shù)為4件優(yōu)質(zhì)品三件時(shí)，檢驗(yàn)費(fèi)用為800，對(duì)應(yīng)的發(fā)生概率為只算前四次產(chǎn)品檢驗(yàn)有三件優(yōu)質(zhì)的概率，也就是p(X=800)=C()3()=，后面4件檢驗(yàn)費(fèi)用必然發(fā)生，概率為1。

【試題點(diǎn)睛】：本題將檢驗(yàn)費(fèi)用與概率統(tǒng)計(jì)相結(jié)合，若忽視檢驗(yàn)費(fèi)用與抽檢概率之間的關(guān)系，很容易產(chǎn)生錯(cuò)誤，抽檢事件在高考中為常考題，背景很熟悉，但命題手法多變，如何解決此類問(wèn)題，理解是關(guān)鍵，模型的識(shí)別是核心。

熱點(diǎn)題型二：離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望

例題2.【2016年全國(guó)I，理19】某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元。在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù)。

（I）求X的分布列； （II）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；

（III）以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？

【考點(diǎn)直擊】：頻數(shù)分布條形圖，離散型隨機(jī)變量的分布列，獨(dú)立事件發(fā)生的概率。

【解答分析】能夠從頻數(shù)分布直方圖中讀出每一臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)更換的零件數(shù)分別為8、9、10、11，其次是兩臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)更換的零件數(shù)分別為16、17、18、19、20、21、22，獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算，互斥事件的概率計(jì)算；第二問(wèn)n=19也就是購(gòu)買19件配件，可以解決更換不大于19的所有事件發(fā)生的概率之和。

【試題點(diǎn)睛】：本題考查圖表理解能力，也考查了分類討論的思想以及具體問(wèn)題具體分析的能力，與 2013年全國(guó)II理19題大同小異，對(duì)此題型，應(yīng)多加重視。

熱點(diǎn)題型三：二項(xiàng)分布與正態(tài)分布混合型

例題3.【2017全國(guó)1，理19】為了抽檢某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，實(shí)驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(,2)。

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(3,+3)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3,+3)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查。

（I）試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性：（II）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

經(jīng)計(jì)算得

，

，

其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i=1，2，…，16。用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到0.01）．附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(,2)，則

P(3＜Z＜+3)=0.9974

0.997416≈0.9592，≈0.09.

【考點(diǎn)直擊】：二項(xiàng)分布；正態(tài)分布的3原則；均值、方差的計(jì)算。

【解答分析】一天內(nèi)1個(gè)零件尺寸落在(3，+3)之外的概率是1-0.9974=0.0026,16個(gè)零件落在(3，+3)之外的概率服從二項(xiàng)分布，X~B(16,0.0026)，弄清楚這個(gè)問(wèn)題，第一二問(wèn)不難解決，第三問(wèn)的計(jì)算較為復(fù)雜，耐心可解決，但是耗時(shí)較多，難以得分，考生應(yīng)靈活處理。

【試題點(diǎn)睛】：本題要求考生具有良好的閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力及模型識(shí)別能力，綜合能力要求高。

熱點(diǎn)題型四：線性回歸方程與非線性擬合

例題4.【2015全國(guó)1，理19】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)x1和年銷售量y1（i=1,2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值。（圖略）

表中w1 = ，

（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：

年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？

【考點(diǎn)直擊】：非線性擬合，線性回歸方程的求法，回歸方程分析。

【解答分析】本題源于課本，考查了非線性擬合及非線性回歸方程的求解，解決此類題型首先要利用換元法，將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題，注意計(jì)算時(shí)，變量已經(jīng)產(chǎn)生變化，考試時(shí)做到細(xì)心演算，公式正確，方能達(dá)到最后結(jié)果。

【試題點(diǎn)睛】：此題為近年來(lái)考試熱點(diǎn)，頻繁出現(xiàn)，此類題就是紙老虎，變量多，閱讀量大，計(jì)算量大，平時(shí)要養(yǎng)成一算到底的好習(xí)慣，面對(duì)高考，我們唯有回歸課本，以不變應(yīng)萬(wàn)變，才是根本之道。

總之，近年來(lái)全國(guó)高考卷中概率統(tǒng)計(jì)類解答題就是知識(shí)與能力的完美結(jié)合體，需要我們平時(shí)在面對(duì)字?jǐn)?shù)較多概率題型時(shí)應(yīng)當(dāng)多嘗試，閱讀理解的能力的提高非一日之功，計(jì)算能力的提高也非一日能就。

參考文獻(xiàn)

[1]吳平生.面向2016年全國(guó)高考的概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)備考研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2015(09).