“一魚三吃法”

李銀國

摘要數學課程標準提出：數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用。而例題的“二次開發”就能在培養學生思維能力和創新能力方面起到顯著的作用。課程標準同時也提出不同的人在數學上得到不同的發展，就要求我們在基于教材教同時，還要超越教材。

關鍵詞例題二次開發策略研究課程標準提出問題數學思想

中圖分類號：G622 文獻標識碼：A

在當前素質教育的背景下，知識內容與以前的教材有所不同。當前的數學教材更加強調基礎知識、基本技能。重視知識的發展與認識的過程。以前教材中一些難以理解，深層次的知識和定理變成了探索知識，教材在編寫中經常含沙射影中提出，有些教師一旦對教材研究不夠透徹，就容易錯過。就達不到課程內容的層次性和多樣性，更不能提高學生的思維能力和創新能力。

1《課程標準》的要求

《課程標準》給出了10個數學課程核心概念，其中應用意識和創新意識決定了一節課的深度和廣度。《標準》給出的說明是：學生自己發現和提出問題是創新的基礎；獨立思考、學會思考是創新的核心；歸納概括得到的猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法。

1.1培養學生數學思想、解題能力和數學知識拓展

例題的“二次開發”就能很好地達到這種效果。因此對例題、“二次開發”也是成為教材“二次開發”的重要部分，例題的“二次開發”重點對題目的背景、題目的條件與結論、題目的解法、題目中的基本圖形進行“二次開發”。

【案例1】如圖2-43，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，∠CAD=∠ABC，判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由。（蘇教版《數學》九（上）P67頁例題2）

這個例題考查直線與圓相切的判定條件：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。如果教師只看到這一點,那么教師對教材研究不夠透徹，如若把“AB是⊙O的直徑”改成“AB是⊙O的弦”這個題目就變成：

【變式】如圖2-43，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的弦，∠CAD=∠ABC，判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由。

解析：連結AO并延長交⊙O與點E，再連結CE。根據∠ABC=∠AEC，題目就轉化成例2了。

［教學效果1］鞏固和加深了圓中直徑輔助線的認識：通過直徑“構造直角”。

［教學效果2］解題方法與數學思想的培養：例2中“AB是⊙O的直徑”到變式中“AB是⊙O的弦”是“特殊”到“一般”的過程。解決這一類題我們通常用“類比”的數學思想來解決。通過添直徑輔助線，把變式就轉化成我們已經解決的例題。

1.2深度挖掘題目實質，提高教師教學能力

平時的教學過程中，教師對教材例題“二次開發”往往意識不夠，在備課中不能對例題進行深層的挖掘、拓展、再創造，在授課時也往往出現一筆帶過、草草了事的教學現狀，根本沒有很好的利用例題所潛在的價值，而教材例題的“二次開發”能促使學生的學習方式由“重結論輕過程”向“過程與結論”并重的方向發展，使學生挖掘隱含問題的本質屬性，從而達到“做一題，通一類，會一片”的解題境界。

【案例2】如圖2-44，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E。DE與AC有怎樣的位置關系？為什么？（蘇教版《數學》九（上）P67頁例題3）

題目分析：題目中已知DE是切線，根據切線的性質學生不難想到添輔助線：連結半徑OD。則OD⊥DE，圖中很明顯DE和AC的關系是垂直，即是要我們證DE⊥AC，也就是要證AC‖OD，已知題目中有AD是角平分線，△AOD是等腰三角形，那么這個題目的本質就是考查學生對“角平分線、平行線、等腰三角形”知二求一這個模型是否掌握。為了鞏固學生對這個模型的理解，課上我們就可以對這個例題進行“二次開發”。

【變式1】如圖2-44，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足為E。試說明DE是⊙O的切線？

題目分析：“AD平分∠BAC”具備角平分線；“AO=DO”具備等腰三角形。

根據：“知二求一”我們可以得到AC‖OD再由兩直線平行同旁內角互補，就可以得到∠EDO=90埃就DE是⊙O的切線。

【變式2】如圖2-44，AB是⊙O的直徑， DE⊥AC，垂足為E。DE是⊙O的切線，試說明弦AD平分∠BAC。

三個條件“知二求一”，例題+變式1，我們還可以如何來變式呢？第三個變式可以拋給學生，讓學生自己來出題，做自己的題目。讓他們進一步理解“發現和提出問題，分析和解決問題”。從解決問題內涵上看，變得更豐富：增加了發現問題的能力；從問題來源上看，視角更寬廣：增加了從數學知識之間的聯系出發發現、提出問題的要求。

2例題“二次開發”的一些困惑

數學教材例題的“二次開發”，一方面教師的自身素養會在研究的過程中不斷提高，數學課堂的效果會更加有效。另一方面在這樣的教學模式下能充分激起學生學習數學的興趣，并能主動地、自覺地去探究數學問題，有利于促進學生的發展。

總而言之，新課改背景下的數學課堂不是封閉的知識集中訓練場地，而是學生自主學習、合作探究、實踐操作的學習陣地。我們要利用課堂教學這個實施素質教育的主陣地，培養學生解題能力和數學思維，只要堅持不懈、持之以恒，我們就會培養出具有創新意識和創新能力的適應社會發展的所需的人才。

參考文獻

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