基于桁架支撐的光學載荷的模態分析

李 行，賀 帥，王曉明,2，于 鵬

（1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100039）

0 引言

隨著空間光學的發展，空間相機的分辨率要求越來越高，要求空間相機具有大的相對孔徑和越來越長的焦距，這給相機支撐提出了越來越嚴格的要求。桁架式結構能夠使各支桿在多種約束條件下均能最大限度地承受載荷，易于合理有效地分配各桿的承載能力，實現消熱設計，且具有剛度大、整體性好、抗振能力強、結構簡單、方便拆裝等諸多優點，因此越來越多的應用在大型空間相機中[1～4]。

要實現整機的高結構尺寸穩定性和高剛度，實現良好成像，需要計算其固有頻率[5～7]。計算固有頻率時可以采用有限元進行分析[8]，但建立系統有限元模型往往比較耗時且不便于桁架的優化處理。本文以某桁架支撐結構的光學載荷為研究對象[9]，推導了桁架支撐結構下的大質量載荷的模態計算公式，接著將公式用于光學載荷的模態計算并對分析結果進行了仿真驗證。

1 桁架支撐結構

整個系統由光學載荷、桁架桿（6根）、安裝基座等構成，三維模型如圖1所示。光學載荷的剛度遠大于桁架桿剛度時，光學載荷可以看做剛體，而桁架桿為變形體，可以采用梁單元等效。為了提高系統的剛度，桁架桿通過鈦合金預埋件與其兩端剛性聯接。

圖1 桁架支撐結構及光學載荷三維模型

系統定坐標系B-OXYZ原點與光學載荷質心重合，Y軸方向平行于安裝基座且平分B1與B6連接點，Z軸沿著光軸方向，具體方向如圖1所示（為方便顯示，坐標系顯示在模型外面）。6根桁架桿上下連接點在定坐標系B-OXYZ的位置如表1所示。

表1 桁架桿位置

桁架支撐桿為圓柱梁，圓柱梁半徑為2mm，其材料為鋁合金7A09（彈性模量71000MPa，泊松比0.33）。光學載荷質量為14.38645kg，載荷相對坐標系B-OXYZ的轉動慣量如表2所示。

表2 載荷相對坐標系B-OXYZ的轉動慣量（kg.m2)

2 理論建模

本文光學載荷不是主要研究對象，可以采用大質量載荷模擬。為了使討論更具一般性，本文先對一般的桁架支撐結構進行理論建模，如圖3所示。

圖2 桁架支撐結構圖

建立定坐標系0-OXYZ與載荷質心坐標系C-OXYZ，其中定坐標是整個系統的慣性坐標系，動坐標系初始方向與定坐標系相同。桁架桿1等效為梁單元，梁單元坐標系X軸方向沿著桁架桿的軸向，其1i端固定時其剛度矩陣K1為：

上平臺位移0XO=[x,y,z,rx,ry,rz]，則上平臺與桁架桿1相連的P1點位移為：

其中Rp1為質心位移與P1點位移之間的變換矩陣，其值為：

Rp1計算過程如下：

圖3 質心繞Y軸轉動對A點位移影響

圖4中OA為剛體桿，其中O點在坐標系原點，A點坐標為（m,n,l）。OA在O-x-y平面上的投影如圖4右所示，其中A點投影到a（m,l）點。其中：

當OA繞Y軸轉動ry角度時，a點移動距離dxy為：

則a點在x軸位移，也即A點在x軸方向的位移dxry為：

同理可以得到OA繞x與z軸轉動時A點在x向的位移分別為：

因此當O點發生[x,y,z,rx,ry,rz]位移時，A點在x軸向的位移dAx為：

同理可得：

剛體運動時各點的轉動角度都一樣，即：

寫成矩陣形式即

在坐標系1j-OXYZ下的描述為：

其中是坐標系0-OXYZ相對坐標系1j-OXYZ的變換矩陣。因此桁架桿1在 P1處的作用力：

其在坐標系0-OXYZ下的描述為：

根據公式將P1點處的作用力向載荷質心等效后的作用力Pf1為：

類似可以得到其余腿在上平臺發生位移后對上平臺的作用力，因此上平臺受到的合力：

其中m是上平臺質量，I3×3為單位矩陣，J3×3為上平臺繞質心坐標系C-OXYZ的轉動慣量。因此系統的總剛度矩陣K與質量矩陣M分別為：由K和M即可求得系統的桁架支撐結構的前6階固有頻率，即：

3 仿真驗證

為驗證固有頻率計算公式的準確性，采用有限單元法對基于桁架支撐的光學載荷進行模態分析，并比較有限單元法分析結果與理論計算值的差別。整體有限元模型如圖4所示。

圖4 整機有限元模型

利用Nastran分析得到的固有頻率及通過理論計算得到的結果如表3所示，系統的前六階振型如圖6所示，理論分析得到的特征向量如表4所示。

表3 理論分析結果與有限元分析結果

圖5 前6階振型圖

表4 前6階特征向量

表3可知，理論分析得到的前六階固有頻率與利用有限單元法分析得到的結果比較接近，最大誤差為2.14%，最小誤差為1.06%。圖4中1階振型主要是光學載荷質心繞X軸轉動與沿Y軸平動的耦合振動，第2階振型是繞Y軸轉動與沿X軸平動的耦合振動，第3、4階振型分別繞X軸轉動和Y軸振動，第5階是光學載荷繞Z軸轉動，第6階是光學載荷Z向平動，由表4中所示的特征向量也可以得到相同結果。

4 結論

本文推導了基于桁架支撐結構的光學載荷的模態計算公式。理論分析與有限元分析的前6階固有頻率最大誤差為2.14%，理論分析的振型與有限元分析的振型一致，說明本文推導的模態計算公式的合理性。本文推導的公式具有一般性，將梁的剛度矩陣換成柔性結構的等效剛度矩陣可以適合柔性支撐結構系統的基頻計算。

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