小議思想方法視角下的一道最值問題的探索

☉江蘇省蘇州市蘇苑高級中學 劉寒冰

眾所周知，數學學習從基本概念入手到知識的綜合運用歷經多個學習階段，學習的能力也在這一過程中不斷積累和提升，要達到更高的問題解決能力，需要合適的思想方法作為指引，而恰恰在這一環節中教師的教和學生的學出現了一定的缺失.大量調查研究發現，教師對思想方法在學生解題的指導中并不重視，特別在解決困難問題中，往往注重的是技巧和訓練，導致學生遇到新的難題時缺乏思考，只能在重復性的問題中有一定的經驗.這種現象也往往稱之為難題背景下的“懂而不會”，即無法獨立尋求問題的解決，只能聽教師分析，獨立解決較為困難，這是不少學生在學習到一定程度時會遇到的問題，從高層次解題分析即對思想方法解題指導的缺失是造成這一困難的主要原因.

從整個中學數學的框架來看，筆者以為整個數學問題的解決依賴兩大“武器”——代數方式和幾何方式，這兩種方式在問題的解決過程各有作用，代數呈現的是嚴密的邏輯性、思維的完整性和證明的嚴密性，而幾何呈現的恰恰是思維的靈活性、證明的簡潔性和圖形的美觀性.在中學數學的學習過程中，兩者交替前進，是解題探索的重要方式.在兩者之下，呈現的是一定的數學思想方法，其中諸如大家熟悉的數形結合思想是兩種方式的結合體，其一部分是以數解形，代表章節是解析幾何，體現了運算的力量；另一部分是以形輔數，代表章節如函數、向量等，體現了形的魅力等等.本文以典型的思想方法視角談一談一道最值問題的探索突破，不當之處請批評指正.

一、以形輔數的思考

作為中學數學最重要的知識型思想方法，數形結合思想中的以形輔數存在著重要的解題作用，其使用有兩個難點，其一是如何轉化，其二是是否有發現可以轉化為“形”的眼光.看兩個典型的問題.

問題：若實數x，y滿足x2+y2≤1，求|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值.

分析：一般中學數學中的問題形態往往以代數形式給出，能否挖掘其背后的幾何本質，則是需要解題中不斷摸索和挖掘的.看問題1，不難發現其給出的條件從幾何結構顯然是單位圓及其內部，但是對結論需要求解的部分則明顯較為復雜，一般學生能思考的方向是分類討論思想的介入下的線性規劃問題，不妨試一試.

途徑1：求解本題的難點是如何去掉絕對值符號，首先我們發現當x2+y2≤1時，6-x-3y≥0，所以|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y，為了求F的最小值，不妨按照2x+y-2＞0與2x+y-2≤0分類，把問題轉化為約束條件（x2+y2≤1及2x+y-2＞0或2x+y-2≤0）下，求F的最小值.如圖1，直線l：2x+y-2=0將單位圓面x2+y2≤1分為兩部分：

（1）當2x+y-2＞0時，F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，即問題轉化為求目標函數z=x-2y+4在陰影區域及其邊界的最小值，由線性規劃知識可求得F＞3；

（2）當2x+y-2≤0時，F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=-3x-4y+8，即問題轉化為求目標函數z=-3x-4y+8在直線l下方與單位圓面所圍區域（包括邊界）的最小值，由線性規劃知識可求得F在點A （，）時取得最小值3.

圖2

圖1

思考：不難發現，分類討論思想下的以形輔數，將問題的本質剖析處理——可以視為一定范圍內的直線截距問題，對兩部分進行比較，可以求得最小值.可以這么說，這是數形結合思想視角下的解題第一層次的思考，對目標函數進一步分析，學生能想到什么呢？這就需要教師的引導和提煉：二元變量x，y滿足關系式x2+y2≤1，其從距離的視角來看，另一層幾何意義也非常明顯，即點（x，y）在以x2+y2=1為邊界的圓及其內部的圓盤上，而可視為點（x，y）到直線l1：2x+y-2=0，l2：x+3y-6=0的距離.因此，以形輔數的另一種視角躍然紙上：

12線間的夾角記為θ，則tan

思考：相比第一層次的幾何視角，顯然第二層次的幾何意義挖掘顯得更有意義，從思考上來說，為了避免分類因此進行了一定的長度轉化，這樣的好處在于進一步體現了幾何的味道，以形輔數的魅力，其實途徑1的思考稍顯不足，若能進一步思考可以優化運算：可以，此式子可看成x2+y2≤1所表示的平面區域內一點P（x，y）到直線l3：3x+4y-8=0的距離，設圓心O（0，0）到l3的距離為d，從而F≥5（d-2≤0.這樣的處理顯得更為簡潔.

二、以數解形的探索

數學問題的雙重性表明了問題一定也有代數的視角，當然需要從結構上進行分析，代數方式最大的優點在于完整的邏輯思維性以及證明的嚴密性.可以這么說，以數解形可以將我們思維方式中想象不到的部分也能展示出來，這種展示往往令我們有時目瞪口呆，這也是代數方式的獨特魅力，嚴密性和完整性無可非議.從代數視角來問題：

途徑3：由三角不等式可知，對于任意實數a，b，當且僅當ab≥0取等號；|a|+|b|≥|a-b|，當且僅當ab≤0取等號.因此，我們有：（1）當x2+y2≤1時，易知6-x-3y＞0.當2x+y-2＞0時，F=|2x+y-2|+|6-x-3y|≥|（2x+y-2）+（6-x-3y）|=|x-2y+4|，①由于x2+y2≤1，不妨令x=rcosθ，y=rsinθ，其中0≤r≤1，0≤θ≤2π.

（2）當2x+y-2≤0時，F=|2x+y-2|+|6-x-3y|≥（|2x+y-2）-（6-x-3y）|=|3x+4y-8|. ②因為3x+4y=r（3cosθ+4sinθ）=5rsin（θ+φ），其中sinφ=，cosφ=.從而3x+ 4y=5rsin（θ+φ）≤5，即F≥3，當且僅當cosθ=，sinθ=， r=1，即x=，y=時取等，其滿足（2x+y-2）（6-x-3y）≤0，從而F≥3.

思考：考慮到問題結論的結構，因此選擇三角不等式是一種形態上對比之后的自然思路，但是在選用|a|+|b|≥|a+b|還是用|a|+|b|≥|a-b|時，需要我們對其進行分類，還要值得注意的是三角不等式的選用必須關注等號成立的條件.在求解①②的最小值時，由x2+y2≤1的條件進行三角代換，是非常自然的思路，但求解時易忽視對2x+y-2＞0時F＞3的證明.在進一步處理問題時候，其實方式方法還有很多，為了繞開三角換元，我們也可以思考待定系數法和不等式的配湊，由基本不等式，可以有x2+a2≥2ax，y2+b2≥2bx，（這里a，b是待定的正常數）從

從而F≥3，顯然這樣的方式需要不斷的積累和總結.

總之，數學問題的解決往往是有兩面性的.當下的數學教學過于追求了速度，而沒有在深度和廣度上做出一定的思考和延伸，這樣的數學教學對于學生思維的發展和素養的提高是不利的，因此教學需要從思想視角引導學生解題，從深度上思考為什么可以這樣做，久而久之對于學生正確使用思想來解決數學難題是有幫助的.

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2.沈紅.巧用化歸思想求函數最值［J］.數學教學通訊，2016（12）.

3.張玉萍.2015年高考“函數”專題分析［J］.中國數學教育高中版，2015（7）.J