全景式教育之數學歷史和文化課程的重建(上)

北京亦莊實驗小學(101102)

張宏偉 (特級教師)

一、綜述

數學史是研究數學的歷史，不僅追溯數學內容、思想方法的演變和發展過程，而且探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數學科學的發展對人類文明所帶來的影響。它研究的對象不僅包括具體的數學內容，而且涉及歷史、哲學、宗教等社會科學與人文科學內容。

數學文化從廣義上講，研究的內容不僅包括數學的思想、精神、方法、觀點、語言以及它們的形成和發展過程，還包含數學家、數學史、數學美、數學教育及數學發展中的人文成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的關系，等等。

與小學數學內容相關的數學歷史和文化，在小學數學教育中具有獨特的、重要的課程價值。在當前的信息化時代，我們可以輕而易舉地檢索、收集到很多數學歷史和文化相關的資料，但是這些現成的資料并不等于課程。目前，小學數學還沒有對數學歷史與文化進行系統、科學的梳理，更沒有構建成融合數學歷史和文化內容的小學數學課程。

全景式數學教育認為：“就像不能脫離中國的歷史和文化學習漢語一樣，也不可能脫離數學歷史和文化去學習數學。如果把某一數學知識比喻成一棵樹的話，那么數學歷史和文化就是養育它的土壤、水、空氣與陽光。”全景式數學教育一直致力于把數學知識還原到數學歷史和文化之中進行學習與研究，著力構建數學知識和數學歷史與文化和諧統一、全景、完整的數學課程與數學教學。

那么，如何從發展學生數學素養、促進學生發展的角度，搜索、篩選出學生成長所必需而又可學、能學的數學內容呢？如何將這些數學內容系統化編排、構建成適合學生學習的數學課程？如何系統地引導和組織學生自主、完整地研究這些課程……多年來，我一直在思考這些問題，并帶領全景式數學教育團隊在課程建設和教學中進行系統的嘗試與實踐，積累了一定的實踐經驗，此文便是我們的思考和實踐的總結。

二、緣起——從一節跨年級的公開課談起

2003年，我在山東濟寧喬羽學校任教，該校是九年一貫制學校。我在小學低年級、高年級和八年級都曾經嘗試上同樣的一節數學課——“數學符號的秘密”，本節課有以下教學目標：一是引導學生認識到對一些符號，乃至對任何事物進行追根溯源，都是深刻理解和認識這些符號或事物的重要途徑；二是改變和增強學生的問題意識，讓學生認識到日常生活中司空見慣的、通常認為已經沒有問題的地方往往隱藏著更深刻、更重要、更有價值的問題；三是引發學生探究數學歷史和文化的興趣，讓學生受到數學歷史和文化的潤澤。當然，同一課程，面對不同學段的學生，其教學目標、難易程度以及教學容量等都是有所不同的。

課堂教學：

(課始呈現下面常用的數學符號)

+ - ÷ : = ≈ <> % ∏ ( ) mg kg T mm cm m km m2∥1 2 3 4 5 6 7 8 9 0……

⌒ ± ∑ ≤ ≥ log ∈ ∞ ∝ ∪ ∩ ∽ ≌ ∴ ∵ sin cos tin ≠ △ ⊥ || ……

當然，面對小學生和初中生，我呈現的符號是不一樣的。面對小學生，我只呈現第一段中的符號，面對初中生則全部呈現上述符號。但是，接下來的活動都是一樣的，即要求學生“挑選出你認為已經了解得非常清楚，感覺已經沒有任何問題的符號”。無論是小學低年級學生、高年級學生，還是初中生，他們最先挑選出來的幾個符號竟然出奇的一致，都是1、2、3、4、5、6、7、8、9、0這十個阿拉伯數字，理由很簡單，因為父母從小就開始教他們識數了，而且有的學生還認為自己已經了解了阿拉伯數字的“前世今生”(始于印度，通過阿拉伯流傳到中國)。

于是，我激勵和點撥學生：“你認為最沒有問題的事物，往往存在著更大、更難、更重要、更需要進一步解決的問題。”“在大家都認為沒有問題的地方發現問題，才是最牛的事情。”“在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數字中，還有重大的問題你們沒有發現！”這時學生個個滿臉疑惑，因為他們不認為這些數字有問題，反倒認為“老師的腦袋出了問題”。我繼續引導學生思考：“人類為什么用2這樣一個字符表示兩個數量？用這個字符表示3個物體可以嗎？這是沒有理由的硬性規定，還是始于無意的約定俗成？這些數字之所以這樣寫，最初的構造邏輯到底是什么……”這些問題，很多教師可能也沒有思考和追問過，但讓我倍感意外的是，很多學生竟紛紛表示自己知道數字的“前世今生”。如有學生說：“數字0的產生源于原始人的狩獵活動。”古人捕捉到獵物后都是把它們放在一個圈里，當圈里有三只獵物時，就用數字3表示；當圈里有兩只獵物時，就用數字2表示；當圈里有一只獵物時，就用數字1表示；當圈里一個獵物都沒有時，就只剩下一個空空的圈了，于是就畫一個這樣空空的圈，也就是0來表示。”學生的回答讓我想起了自己曾經聽過的一節課——“0的認識”，在這節課上，執教教師所展示的0的由來與學生的解釋一模一樣，但數字1的構造邏輯真的是這樣嗎？

我的聯想和反思：

關于0，成人也有以下三種觀點：(1)認為0的寫法源于人們以前用空格的習慣，即空的地方用筆隨手一圈比較方便，于是就有了0的寫法；(2)與學生對0的解釋一樣，認為應用空無一物的獵物圈表示；(3)認為就是一個符號而已，追問這個問題沒有意義。

其實，阿拉伯數字的構造邏輯如下。

緊接著，我又對數學的其他符號、概念、法則、規律等進行同樣的調查和訪問。如：“km、dm、cm、mm、m2、m3的構造邏輯是什么？”“一天為什么要規定為24小時？”“為什么三角形不叫三邊形，四邊形不叫四角形，而長方形為什么叫長方形，正方形為什么叫正方形？”“為什么先乘除后加減？”……通過調查，我發現了一個讓人擔憂的現象：很多學生甚至很多數學教師，并不了解我們生活中時時使用的數學符號、數學概念的由來，不了解它的真正歷史和其蘊含的文化。如“長方形為什么叫長方形，正方形為什么叫正方形”的問題，我們班共有30位學生，卻有22位學生都在單元猜想中提出想了解長方形和正方形名字由來的要求。我上網沒有查找到答案，于是咨詢了很多教師和數學教授，他們竟然也不能說出長方形和正方形名字的由來，更有甚者，他們所“明白”的竟然是沒有求證過的、想當然的臆想或來自于以訛傳訛的“數學野史”。

我們的師生為什么會出現這樣的現象？問題出在哪里？我認為，是我們的課程資源、教學目標和教學過程都存在相應的不足與問題。

三、小學數學歷史和文化課程、教學現狀與課程研發價值

(一)小學數學歷史和文化課程、教學現狀

第一，現行的很多數學教材都以知識窗的方式，碎片化、背景式地給學生呈現一些數學歷史和文化，編輯的內容也相對隨意，既少又零散，對學生文化滋養的厚度、廣度不夠，有的甚至缺失。

第二，數學歷史和文化的編排與學習目標存在不明確、不完整、不重視的現象。教材對數學歷史和文化的編排與學習目標主要局限于知識的了解，既沒有安排相應的常規課時，又不納入教學質量評價范圍，屬于“正餐”之外偶爾添加的一點“零食”。

第三，數學歷史和文化教學到何種程度完全依賴于教師與學生的自覺。雖然有些教師能自覺搜集、整理數學歷史和文化，并將部分內容轉化為課程，但往往不系統、不完整，有的可能根本不是歷史和文化的源本狀態，甚至出現知識性的錯誤。

第四，注重縱向的數學發展過程，較少編排橫向的數學歷史和文化的介紹與對比。

第五，數學歷史和文化的課程價值沒有得到充分的重視與開發。

第六，存在脫離數學歷史和文化教學數學知識的現象，不能對數學概念、名詞追根溯源，導致很多數學內容學生雖知其然，卻不知其所以然。

(二)重新審視構建小學數學歷史和文化課程的意義與價值

除了拓展學生的知識視野外，數學歷史和文化還有以下幾個方面更為重要的課程價值。

第一，進一步認識和理解學習數學的價值，明確數學內部和數學外部之間的聯系。“數學源于生活，用于生活”，所以學生要了解其產生、發展和形成的過程，必然需要了解每一階段引發數學變化的內因和外因，這樣可使學生從中感悟知識間的內在關聯，明晰數學與其他學科以及社會現象之間的聯系，進一步體會到數學的價值。

第二，引導學生以發展、變化、辯證的眼光看數學。學生長期進行系統的數學歷史和文化的學習，了解數學知識的產生和發展過程中各個階段不同的形態，逐步形成以變化、生長、思辨的眼光看待數學的意識和能力，甚至感悟到“現在的數學知識也很可能不是固定的”，促使學生不斷深入探究數學。

第三，預見、理解和悅納數學學習過程中出現的障礙。數學歷史和文化的學習，讓師生均能在知識逐漸進階、升級、簡化、優化的過程中，預見、理解、悅納出現的障礙，客觀、辯證地認識自己的數學學習，并能從源頭找到自己出現學習障礙的原因和突破學習障礙的方法，認識到這些障礙的突破是人類探索數學必然經歷的過程。

第四，對數學歷史和文化的了解、學習與研究，是實現跨學科整合的一個極其重要的路徑。

第五，學習數學歷史和文化能開闊學生的眼界與視野，豐富學生的知識儲備，促進學生成長為完整發展的人。學生在數學歷史和文化的研究中無疑能得到更多的文化浸潤，更有利于他們立體和完整地認識數學、認識歷史、認識萬物、認識自己所處的世界，繼而促進學生完整地認識自己，成長為完整發展的人。

第六，找到更適合學生當下學習水平的學習路徑和方式。人類研究數學的進階程度與人腦的進化、人類對自然和社會的整體認識水平是相匹配的，在這個不斷進階的數學研究歷史中，總會存在“這樣一個階段”：那個階段的人研究數學的心智水平，與當下正在學習這部分內容的小學生的心智水平相匹配。那么，這個階段人類研究數學的路徑和方式，也就很可能是學生學習當下數學內容最合適的路徑和方式。

第七，改變和完善學生的數學觀，培養更深刻的數學學習情感。數學歷史和文化中有很多內容是直接記載表現數學與眾不同的形式美、簡潔美、奇異美、理性美，很多內容超出學生的生活常識，富有獨特的思維挑戰性，能滿足學生的好奇心。同時，很多數學歷史和文化的內容浸入藝術、體育等學科之中，讓學生認識到數學在這些學科上的價值，促使學生更喜歡上數學、熱愛上數學。另外，數學歷史和文化的內容還涉及社會、生活、人物、歷史史實等領域的各個方面，讓學生認識到數學生動活潑的一面，使學生多維度地看待數學、認識數學、理解數學，豐富和完善自己的數學觀，培養良好的數學學習情感。

第八，數學歷史和文化課程對培養學生的數學思維具有極其重要的價值。完整、簡約的數學文化史本身就是數學思考的過程、數學研究的過程、數學問題解決和數學創造的過程，對培養學生的數學思維及使學生學會數學學習、學會數學創新有著極其重要的促進作用。

第九，培養學生的數學精神。數學歷史和文化完整地呈現了人類認識從具體到抽象、從現象到本質、從煩瑣到簡約、從模糊到精確、從感性到理性的發展過程，使學生深刻地認識和感受到數學學習的趣向與追求——客觀、精確、理性的精神內核，并逐漸形成自己做人、做事的態度。

于是，我開始陪著學生一起去研究和追溯數學符號的來源、相關文化的淵源，開始對不知道的數學概念的歷史和文化進行糾正、完善。在和學生一起不斷探究中，我的教育教學思想也逐漸明晰，產生了放大知識研究過程的構想，開始系統地梳理與編輯相應的數學歷史和文化內容，并設計相應的數學學習活動，確立了“歷史文化課程的全景建設”的基本主張。它旨在讓學生經歷更多數學知識的學習和研究過程的同時，嘗試把每個知識點進行還原，穿越古今，跨越領域，追根溯源，相對完整地呈現數學知識產生、衍化和發展的過程。同時，我嘗試構建完整而又簡約的全景式數學歷史和文化課程，讓學生全面、完整地了解相關數學知識的文化背景，多維度地認識數學、理解數學、刻畫數學、應用數學，使學生對數學的認識和理解更立體、更豐富、更深刻，從而獲得更為充分的情感體驗，積淀更為厚重的文化底蘊與人文精神。

四、課程檢索和編輯的三個維度

數學歷史和文化課程的全景建設，首先研究的是課程內容的搜索、確定和編輯，主要從縱、橫、越三個維度進行建設。

(一)縱

數學歷史和文化課程的全景建設中的縱，是指數學教育要引導和鼓勵師生對每一個數學符號與每一個數學知識點都刨根問底、追根溯源，嘗試從它的歷史源頭開始研究，了解其產生、形成、發展的縱向變遷的全部過程。

案例：“全課程”數學讀本第一冊(數學的認識課程)

2013年，我主編“全課程”數學讀本第一冊(2014～2015年度第一學期使用)，在編寫“認識1～5”的內容時，設計了以下兩個活動：一是在新學習階段，先讓學生用數手指的方式對同樣數量的不同物體進行計數，再擺棋子，然后過渡到自創符號表示數，最后抽象出數；二是進行識數活動“讓我來”(如下)。

學生完成上述兩個活動，其實就相當于簡約地經歷了人類計數衍化、發展的歷史過程，了解了數字基于使用、方便、簡潔的需要創造的動因、方法和過程：身體計數→以石計數→結繩計數→刻痕畫圈代替→各種符號計數。然后我出示下圖，讓學生觀察和思考：“每個國家(地區)都各自用不同的符號來表示數字1，為什么唯有阿拉伯數字的1成為全世界通用的數字？”通過問題，讓學生認識和理解人類對符號的進一步精簡，并最終約定使用一種統一性的符號(阿拉伯數字)。接著，我讓學生觀看阿拉伯數字由來的視頻，引導學生進一步了解阿拉伯數字的構造邏輯，感悟其內在本質，體驗人類的思維、創造之美。最后，在學習0～10后，我又安排了以下兩個活動：一是閱讀課外繪本，了解完整的數數過程；二是和戲劇進行整合，讓學生排演《數的產生》大型戲劇。這樣就使學生對人類抽象、創造、改進10個數字的過程有了一個全景、完整的了解，激活和發展了學生的思維。

這樣的經歷多了，學生自然會慢慢感悟到每個數學知識點都能從不同的角度，用不同的方式進行刻畫、建模和表達，使學生的理解更為充分、深刻。更重要的是，學生還能從中積累發現、思考和創造數學的間接經驗及策略，感受到學習數學的價值。

(二)橫

數學歷史和文化課程的全景建設中的橫，指了解和研究某個數學知識在同一時期、不同地域的情況。通過對不同地域數學的創造進行對比，加深學生對數學本質的理解，獲得不同地區數學歷史和文化的潤澤。

數學語言是人類語言的重要組成部分。同理，數學中的名詞、符號(概念)和固定的語句(命題等)也是數學文化意識的結晶，是人類對數學本質的感知、抽象和概括。而且，數學名詞、符號和固定語句蘊含著數學知識本身，是研究數學的基礎，它們的內涵和外延又決定了這個概念(命題)構造的方式、構造的單位(字)和構造的邏輯本身。另外，同樣的數學名詞、符號和固定語句，東西方使用了不同的字和詞，按照不同的邏輯去構造，這其中也必然凝聚著東西方各自的不同文化。

不止于此，由于東西方字、詞的寫法蘊含著不同的構造邏輯與文化背景，所以我在教學中有計劃、系統地針對不同的內容呈現不同地域(國家)、不同民族(人種)創造的不同表達數量的方式——不同符號(數字、圖形等)，先讓學生猜測這樣構造的想法，再加深學生對概念理解、認識和背后文化的感悟。因此，對東西方表達數學概念的詞匯的由來追根溯源和對比，是了解東西方不同數學文化不可或缺的方法和路徑。

1.圖形與幾何課程案例——概念構造和界定的橫向對比

第二個環節，我和學生一起猜測中國定義“周長”的邏輯。先猜測“周”的含義，學生的回答為“周圍、一周、四周”；再猜測“長”的含義，學生立即猜到“長度”，這樣組合起來的“周長”就是指“周圍一周的長度”。這樣教學，通過對東西方兩個詞匯構造邏輯的探尋和追溯，實現引導學生對“周長”這個概念的初步理解和認識。

第三個環節，我引導學生把英文單詞perimeter表達的意思和中文“周長”表達的意思進行對比，學生立刻認識到環繞周圍測量的米數就是周圍一周的長度，感悟到東西方雖然語言和地域不同，但是對事物的數學認識竟然是那么出奇的一致。我接著出示“數學是人類共同的語言”，學生馬上從心底認同這一說法。

這個課程的設計，讓學生從東西方不同的文化中全景地看待和理解“周長”這個數學概念，深化了學生對數學語言的認識。

2.數與代數課程案例

如“分數的初步認識”一課的教學，我與學生一起完成分數寫法和讀法的橫向對比與研究。

活動(1)：學生通過上網、查資料、咨詢等途徑進行自主研究。

活動(2)：共同交流分數寫法之“橫”。

我把學生調查到的各國不同的分數寫法進行甄別、篩選和匯總，并通過多媒體呈現出來，然后引導學生猜測古代各地使用這種方式表示分數的想法。這樣教學，引導學生對分數的意義進行初步的猜測、理解和感悟，同時也是對不同地域文化認識的點滴積累。

活動(3)：交流和研究分數讀法之“橫”。

以分數3/4為例，中文讀“四分之三”，日本讀“四分の三”，英文讀“3 over 4 ”。通過對比，學生立刻就能意識到日本對分數的讀法源自中國。接下來，我引導學生對比、猜想、搜索中英文對分數讀法的含義和內在的邏輯。中文對分數3/4的讀法為“四分之三”，其語句由“四分”“之”和“三”這三部分構成，我讓學生感悟其構造邏輯的過程如下：①先猜測“四分”的含義——分(平均)成4份。②再猜測“之”的含義，學生的理解為“其中”“的”“拿”等。在學生充分猜想的基礎，我現場上網用漢典查找“之”的含義，使學生了解到“之”是會意字：之，出也，象艸過屮，枝莖益大，有所之。因此，這里的“之”是從“四份”中衍生出來的，取“出來”之意。③猜測“三”的含義，就是其中的3份。④最后，讓學生綜合起來猜測“四分之三”的意思，幾乎所有的學生都能明白是“平均分成4份后取出其中3份”的意思。

學生課后和家長一起調查，回到課上與同學交流和分享，又弄明白了英文對分數讀法的構造邏輯和含義。分數3/4，英文讀法為“3 over 4 ”，也是由三部分構成，其中over的含義有兩種：一是“在……上面”；二是數學中的“除以”。因此，分數3/4，英文讀法的構造邏輯是兩種會意的統一：一是3寫在4的上面；二是表示3除以4。這是分數產生的源頭和動因，即在整數除法中，兩個數相除，有時不能得到整數商，為了使除法運算可以進行，需要引進一種新的數——分數。

中英文對分數的讀法分別從“實際度量與均分”和“計算封閉的需要”兩個角度解釋了分數產生的根源，并互為補充，促進了學生對分數意義的理解，完善了學生對分數的認識。如果長期堅持追溯數學詞匯、符號、固定語句由來的研究，學生不僅會從一個新的視角和渠道加深對數學知識本身的理解，還會從東西方的概念構造邏輯中感悟到構造概念、創造概念的一般方式和方法，感受到東西方文化的不同和統一，豐富了學生的文化積淀。

(三)越

這里的越，是指發現和建設超越課本數學知識的數學文化內容(包括與課本數學知識相關的社會文化背景，以及與其有關的歷史故事和數學家的故事等)，及人文精神、思想意識和思維方式等。

1.發現和建設超越課本數學知識的數學文化內容

在數學課程建設和教學中，我會適時、適量地引入一些超越課本的數學知識，甚至超越數學本身的歷史和文化內容。如教學圓錐的內容時，我把學生帶到沙道上，研究自然形成的圓錐形沙堆的母線與地面的夾角，使學生發現所有自然形成的圓錐形沙堆、土球的共同規律——母線與地面的夾角為51度左右。然后我讓學生閱讀數學漫畫中關于埃及金字塔的介紹，感受古代埃及人的智慧和文明。

2.發現和建設超越數學知識本身的人文精神、思想意識和思維方式等

課程案例：長方形和正方形

長方形和正方形中“正與方”的屬性，以及作圖和測量的工具“矩”，關系著人成長所必需的品格和傳統的道德文化。三年級學生是規則意識深度建立的重要階段，正是基于這種思考，思想品德和社會課專門設置了養成課程。如人教版思想品德和社會教材專門設計《我和規則交朋友》(含自己制定規則)這個學習單元，幫助三年級學生建立規則意識，這不僅僅是思想品德和社會課教學的任務，而且是所有學科教師都要自覺實現的重要的公共教育目標。為此，我特意和身兼班主任、語文學科教學的教師設計了一節超越數學本身的“圖形中的文化課”。課也是從萬物有形開啟，從象形字開始。課上我先讓學生展示自己搜索和研究的成果，如與矩、方形有關的成語、名言、典故等，然后出示奧巴馬最喜歡的、掛在白宮里的唯一的一幅名畫，與學生一起討論奧巴馬珍視這幅畫的原因，引導學生和日常行為規范進行聯系，對學生進行文化滲透和品格培養。

又如，教學質量單位時，引導學生了解桿秤上蘊含的數學、天文知識和中國古代的人文精神；教學長度單位時，引導學生了解與長度單位有關的國內外文學、歷史、哲學等知識。

課程案例：用“2×5-9”編題

二年級上學期，學習乘減法之后，我讓學生聯系實際生活，用“2×5-9”編題。生1：“有2輛汽車，每輛車上坐5個人，撞死了9個人，還剩下幾個人？”我評價道：“符合要求，但是同學們對這樣的題有什么感覺？”學生都皺著眉頭說：“太可怕了，太悲慘了。”“對！我們要想一些美好的事情。”生2馬上舉手說：“2輛汽車，每輛車上坐5個新娘子，被新郎領走了9個，還剩下幾個新娘子？”學生聽后哈哈大笑。“喜慶的婚禮是挺美好的。大家能不能說說發生在我們自己身邊的事？”生3：“我爸爸昨天買了2盒桃子，每盒5個，我送給對門的老爺爺9個，我留下了幾個？”“你懂得尊敬老人、關愛老人，非常好！這件事是真的嗎，孩子？”他羞愧地回答道：“不是。”“我建議大家講一些真實的事情。”生4：“我畫了一幅畫，每行畫5個三角形，畫了2行，被我劃掉9個，還剩下幾個？”他的編題贏得了大家的掌聲。最后，我讓學生課后再到生活中去尋找用“2 ×5-9”來解決的真實問題和事情。

學生的回答從知識訓練的角度看是沒問題的，但細心的數學教師會發現，學生在編題中存在說謊和涉及暴力等不良現象。如果我們教師能在關注知識傳授的同時，使學生形成向善、尚美的品格，特別是求真的心，不是更好嗎？所以，我利用這樣一個小小的契機進行引導，最終讓學生的思維和情感趨向真善，對學生進行了超越學科的人文精神和情懷的文化滋養。

這里需要特別注意的是，歷史和文化課程素材的收集需要長期堅持：第一，堅持和學生一起探究，且以學生自己搜集、研究的素材為主。只有這樣，學生的學習和研究才會真正發生，學生自主學習和研究的能力才會逐步得到培養與提升。第二，堅持和其他學科教師及家長協同進行。第三，堅持引導學生對搜集的資料進行縱、橫的分類和整理，嘗試厘清其中的邏輯關系。第四，堅持根據學生當下學習和生活的實際情況合理安排，防止加重學生的負擔，耽誤正式課時的學習。(未完，待續)