投資中的收益與風險問題分析

胡格寧

【摘要】投資者在投資過程中，既要考慮到既得利益，又要承擔投資失誤的風險。而組合投資是當前權衡利益和風險采用的主要投資方式。為了定量分析如何對多種投資項目進行投資額度分配，本文通過建立數學模型，給出了組合投資的收益-風險模型，并根據現實情況以及投資者的偏好，對模型進行處理，得到三種簡化模型。

【關鍵詞】投資 風險 數學模型

一、背景介紹

隨著市場經濟的快速發展，投資成為人們密切關注的話題，普通市民也都熱衷于投資于各類股票、基金，而對于各種大小企業來說更是如此。但是這樣的投資又存在著一定的風險。不是每一次投資都能百分之百獲得利潤，所以怎樣緩解與解決贏利與風險之間的矛盾，是每一個投資者亟待解決的問題。

一般說來，在現代商業、金融投資中，投資者總是希望實現收益最大化，關注于采用什么樣的投資方式可以使總收益最大。然而投資是要承擔風險的，而且高收益總是伴隨著高風險，收益與風險之間存在著難以調和的矛盾。如何能使同一時期內所得利潤最大？如何應對風險，或在利潤和風險同時較大的情況下如何合理安排投資？這成了人們越來越關注的問題。

二、問題提出

市場上有n種資產（股票，債券等）可以選擇作為投資項目，某公司有有數額為M的一筆資金可作一個時期的投資。公司財務分析對這n種資產進行了評估，估算出在一時期內購買si的平均收益率為ri，風險損失率為qi。當投資越分散時，總體風險越小，公司確定，在進行若干種資產投資時，總體風險可用投資的si中風險最大的一種風險來衡量。

購買si要支付交易費，若購買額xi超過額定值ui時，交易費率為pi，否則按ui計算。假設同期銀行利率為ro，且既無風險又無交易費。（r0=5%）。根據n種資產的相關數據，提出一個投資組合方案，用給定資金M投資這n種資產或存入銀行，使凈收益盡可能大且風險盡可能小。

三、組合投資模型的建立

為了簡化問題，首先作下列假設：

第一，投資數額十分巨大，為了便于計算，令M=1；

第二，將總體風險用si中最大風險表示；

第三，相對而言，piui太小可忽略不計，即不考慮交易定額；

第四，要使凈收益盡可能大，總體風險盡可能小。

（一）組合投資通用模型

組合投資將兩種或多種收益與風險水平有所區別的資產組合起來，通過分配不同資金投資，將多種資金的優勢集中發揮以填補諸多不足之處，從而使投資者用一定資金獲得最大的收益的同時降低風險。

該問題需設計一個投資組合方案，這是一個優化問題。要確定各種投資資產的額度，要求目標滿足：凈收益盡達到最大，而總風險達到最小，因此，這是一個多目標優化問題。

設投資si的投資資金為xi，其收益為fi（xi），則

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交易費用與其購買資金有關，設投資si的資金xi，所需支付的交易費為Ci（xi），則

■

其中C0（X0）=0。

投資si的凈收益Ri（Xi）為投資的收益與交易費之差，即

■

由于交易費ci（xi）是分段函數，使得問題討論起來比較復雜，難于計算。一般來說，若投資項目si，其投資額xi都會超過ui，根據假設3，piui相對于總的投資額M很小，可以忽略不計。因此，在下面的模型建立中，不考慮各投資的定額。

設投資Si的風險為

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其中q0=0。

投資凈收益總額為

■

投資總風險為

■

組合投資的約束條件為所有投資所需（購買費用與所需手續費之和）為M，即

■

在實際計算時，可設M=1，從而上述約束為

■

因此，總收益最大，總風險最小的多目標優化模型為

■

（二）組合投資簡化模型

一般情況下，通用模型中的兩個目標是不可能同時達到，因為凈收益越大則風險也會隨著增加，反之也是一樣的。因此，不可能提出同時滿足這兩個目標的最優決策方案，只能在一定的前提下，滿足一個目標：在風險一定的情況下，使得凈收益達到最大，或者在總收益一定的情況下，使得總風險達到最小，或者在收益和風險按固定偏好比例分配的情況下，達到最優決策方案。基于上述思路，可以將多目標優化模型，簡化為單目標優化模型，便于計算。

設該投資者能承受的最大風險度不超過K（qiXi≤k），追求風險度k以下的總盈利最大值，可以有相應的投資方式。而這樣就將多目標規劃模型轉變成單一目標線性規劃模型。市場中，投資者能承受的最大風險不同，這就有了不同的投資組合方式選擇。市場上常見的投資風格大體可概括為三種：激進型、穩健型和保守型。

激進型投資是指通過獲得股票價格產生的價差為目的的投資。激進型投資者多將資金投放于價格波動幅度大的股票種類，如熱門股、投機股等，并頻繁買賣，以承擔較大風險來獲取利益。穩健型投資是指風險居中的投資方式，穩健型投資者多有一定風險承受能力，但仍希望獲得穩定的較高收益。保守型投資方式是指風險較低的投資方式，保守型投資者大多只適量投資自己熟悉的或者已獲利的資產，不輕易投資新項目。

下面分別對三種投資風格建立模型。

模型1：激進型投資模型

投資者選擇更多高收益的資產，其風險承受度較高。假設投資的風險水平是，即要求投資總風險限制在以內，即

■

此時，通用模型中總風險目標就轉化為了約束條件，從而得到簡化模型1：

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模型2：保守型投資模型

假設投資者希望總凈收益在水平l以上，即

■

在此前提下，滿足投資總風險要達到最小，從而得到簡化模型。

■

該問題是極小極大規劃問題，不便宜計算，因此，引入變量x■= ■q■x■，將其轉化為線性規劃問題

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模型3：穩健型投資模型

若投資者既要考慮凈收益最大，又要考慮總風險最小，可以設置一個投資偏好參數■，則通用模型可以簡化為

■

類似模型2，引入變量■，將模型3改為線性規劃模型

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四、總結

本文討論組合投資的收益與風險，建立以總凈收益和總風險為目標的多目標優化模型，結合實際投資情況，對模型進行簡化，通過控制風險使凈收益達到最大，保證凈收益使得風險最小，以及引入投資偏好系數，兼顧了收益與風險，將多目標規劃模型轉化為單目標模型。

上述建立的簡化模型，正好對應了投資的三張風格：激進型、保守型和穩健型。在本文中，大多數穩健型的投資者總能在追求收益的同時降低投資風險過高所帶來的損失，因此在實際問題中，考慮到投資者的偏好，穩健型投資方式達到了最優組合投資的標準。在現實生活中，穩健型的投資總是為人們所青睞，正是因為它能夠使投資者的投資最有目的。

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