幾何直觀在二年級除法意義教學中的應用研究

浙江省義烏市大陳鎮云溪小學 虞園園

幾何直觀，既是一個過程又是一個結果，具有動態性、模型性。教學中我們要利用幾何直觀，引領學生從抽象走向直觀再走向抽象，幫助學生建立數學模型，培養學生幾何直觀能力。

在教學中我們應該培養學生幾何直觀的意識，引導學生在主動嘗試中感受利用幾何直觀幫助抽象意義理解的價值，不斷積累幾何直觀的經驗，實現除法意義的深度理解和靈活應用。

一、幾何直觀在除法意義教學中的兩種形式

筆者認為，幾何直觀在二年級除法意義的教學中具體表現為如下二種表現形式：

一是實物直觀。二年級學生以具體形象思維為主，借助實際存在物（實物或直觀圖）進行簡捷、形象的思考和判斷。如右圖，在將“12個蘋果平均分成3堆”的操作活動中，借助蘋果或學具這樣的實際存在物進行平均分的活動，幫助學生理解平均分的含義、過程和方法，并為除法意義的學習奠定基礎。所以，無論是實物（圖）還是借助學具圖經歷操作演示，都是把復雜、抽象的平均分問題變得直觀、簡單，易于學生理解。

又如右圖，利用直觀圖，為學生想商提供形象上的支撐，并讓學生體會乘除法算式之間的聯系，最終幫助理解用乘法口訣求商的道理，初步形成算法。所以，這樣的實物圖能激發學生的直觀稟賦，讓學生獲得直接的感知，并且讓學生在“數”與“形”的一一對應中，獲得更深刻的理解。

二是簡約符號模型直觀。對于二年級的學生，在實物直觀的基礎上，可以進行一定程度的抽象，建立圖式表象。如右圖，已經從具體的直觀圖過渡為較抽象的點子圖。可以讓學生在圖上圈一圈、畫一畫來加強對平均分的認識。還可以讓學生說說小圓點代表什么？這幅圖又表示什么，為學生用畫圖的方式來分析數量關系作好準備。

另外，在解決問題中，可以利用線段圖將具體問題和運算的意義聯系起來，使復雜的數量關系直觀化、形象化、簡單化。如“打一個這樣的結需要2分鐘，10分鐘可以打幾個結？”在線段圖中學生就很容易理解：本題就是求10里面有幾個2，用除法計算。

幾何直觀在二年級除法意義的教學中應用相當廣泛。對于二年級學生來說，幾何直觀簡明、形象地展現了數學知識和問題的實質，為他們創造了一個自己主動思考的機會，有助于數學的理解和思維能力、解決實際問題能力的提高。所以，幾何直觀的有效培養對于他們來說是相當必要的。

二、除法意義的理解引入幾何直觀

課標中特別強調：重視從學生的已有知識中學習數學和理解數學。可見，學生學習數學中的理解實質上也是學生原有認知結構與所學新內容相互作用的結果。這就要求我們重新關注到計算教學的原點，從乘、除法的意義著手借助幾何直觀來提高理解的深度和寬度。

1.“回潮”知識原點，“叩問”乘除關系

以右圖為例，

讓學生在三次動手擺一擺、動口說一說的過程中理解：乘法結構是在加法結構的基礎上形成的高層次的數學認知結構。加法的結構是幾部分合起來求整體。而乘法的結構是要求同樣的幾部分合起來求總，這個求“總”就是幾個幾的和（如圖①）。

圖①

圖②

圖③

除法可以從乘法結構中體現，它就是把“總”平均“分”，要求分得的結果每個部分一樣多，于是就有了除法的兩種不同情況（如圖②、③）。

乘法是合的過程，除法是分的過程。借助實物演示，能幫助學生初步感知乘除法的關系，為學生建立合理的認知結構提供機會與條件，提高學生對除法意義認知的層次，引領學生思維向縱深發展。

所以，在除法意義的教學中，我們要重視培養學生的幾何直觀意識和運用能力——當遇到抽象理性的問題時，能主動地退到適合的直觀層面上去推動思維的開展。

2.“感悟”乘除互逆，“明晰”乘除算法

仍以右圖為例，請學生寫出乘除法算式，討論算式中的3、4、12在圖中分別表示什么？由具體數所表示的意義和它們在乘除法算式中的位置，溝通乘除法之間的關系，理解算理，形成算法。進一步把這3個數放到乘除法的結構圖中去感悟，利用直觀模型，讓學生感受三個“□”中的數在乘除法算式中的位置，理解乘法中的積就相當于除法中的被除數，乘法中的乘數就相當于除法中的除數和商。通過數與圖的一一對應關系，幫助學生體會乘除法之間的互逆關系，并在“表格”形式的訓練中，使學生對乘法算式中三個數之間的關系以及除法算式中三個數之間的關系有更深刻的認識，同時溝通乘除法之間的關系。以5÷？=5為例，可以想乘法算式5×1=5，也可以想除法算式5÷5=1等。

回歸乘除法的知識實質，借助幾何直觀，我們既要看到乘除法的不同，更要看到它們相同的地方，在對比中提升對乘除法概念本質的認識，溝通乘除法的聯系。因此，在教學中，要讓學生學會用幾何直觀來幫助概念的理解，并學會利用幾何直觀溝通知識的本質，比較知識組織學生交流、比較直觀圖的異同，最終在數學理解方面實現質的飛越。

總之，對于許多數學問題，必須在直觀的基礎上進行分析與思考。因此，在我們的教學中，要根據學生的實際情況與教學內容，靈活地引入幾何直觀，讓學生經歷獨立嘗試、交流共享、碰撞完善的過程，并從中獲得直觀的、深刻的數學理解。但是，幾何直觀并不是必備過程與目的，適合學生學習的方法就是最好的方法。