數感實驗引發的思考

安徽合肥師范學院數學與統計學院 張嘉文

從廣義上講，我們生活在一個被數字包圍的世界，從童年到成年，從家中到街上，無論是學習還是工作，數字和數量已經成為我們生活的一部分。在我們的計劃或者決定中都會有數字的身影，因此為了計劃更有效或者決定更正確，我們通常需要進行一番數字計算。能夠在各種情況下定量地思考，能夠使用數學進行有效的表示，并理解這些情形中數學概念中的邏輯規則，這是我們在做計算時需要掌握的能力，而這些能力通常與數感有關。

一、數感

數感是一個易于理解但是難以定義的概念，這里給出關于數感的一些認識。

數感可以看作是對數字和運算的一種理解，它幫助個體進行信息處理和應用適當的解決策略，并進行有根據的反饋和交流。同樣，數感是理解問題情境中涉及的數學關系的能力，這種理解需要靈活，因為相同的策略不適用于所有的情況。

數感是一種認知能力，它允許個體與環境提供的各種資源成功地交互，以便能夠產生適當的解決方案來處理涉及數學使用的日?；顒印Ｋ梢员豢醋魇菙底衷谟猛?、意義和關系的等方面的一種良好直覺，這種直覺能夠幫助個體以有效而靈活的方式處理涉及數字和數量的情況。

二、數感實驗

與任何其他數學知識或能力一樣，數感源于每天在最不同的社會情境中進行的活動，例如在家里、在學校或者是街道上和工作場所中。從社會經濟層面上看，相比低收入家庭，中產階級家庭的父母與子女更頻繁地參與數學活動。來自低收入家庭的孩子們在入學前的數感發展通常有限，并且在上學之前只擁有有限的數學知識。研究表明，來自不同社會階層的孩子在日常生活中有不同的數學經驗，產生不同類型的數學知識（不一定更好或更壞），因此考察不同社會階層的兒童在理解數字和運算能力方面的差異是必要的。這里將介紹研究人員對巴西二年級兒童（7～8歲）數感能力考察，分析兒童對于數字的一般用法的認識。

實驗是一項訪談研究，包含三個關鍵的問題：（1）數字是什么？（2）算術是什么？（3）我們為什么要測量？這個三個問題的設置是結合了巴西國家課程建議中小學數學知識的三個方面——數字、運算和測量。

受訪的孩子共計40名，20名來自低收入家庭，20名來自中等收入家庭。每個孩子的回答都被記錄下來，并根據孩子的回答將每個問題的回答分成4類，分別為校內用途、校外用途、智力用途和職業用途，每一類的分類標準如表1。分類的過程由2名進行相互獨立的判斷，對意見不統一的案例，將有第三個獨立的判斷者進行分類，最終的判別將至少有2名判斷者的同意。

表1 實驗中的問答分類標準

分類結果見表2，經過曼-惠特尼U檢驗可以看出，認為數字的校外用途的中產家庭的孩子明顯多于低收入家庭的孩子（U=8，P=0.0290），而在數字的職業用途方面則是低收入家庭的孩子較多（U=106，P=0.0078）。

表2 實驗的結果分類匯總

對于低收入家庭兒童，校內用途比其他用途更頻繁（弗里德曼測試：X＝15.529，P＝0.001），而對于中產家庭兒童，校內使用和校外使用大致相同并且比其他使用更頻繁（弗里德曼測試：X＝11.571，P＝0.003）。重要的是要提到，與職業活動有關的職業用途在中產階級兒童中很少被觀察到（只有5%）。

將這些用途與數字、算術和測量3個方面的數學知識相聯系可以得到以下幾點認識：（1）在學校中，數字多用于進行算術運算，而在校外使用時，數字多于計數情況有關；（2）算術運算本事上還是應用于學校用途，找到數學問題的答案；（3）測量活動大多與校外用途相關。

總體來說，兩組孩子都傾向于把數字和運算應用于學校相關的用法，而把測量活動用于校外的用法。

三、思考與建議

對于實驗結果，研究人員認為在這項研究中，孩子們可能認為計數活動是學校情境活動。這是因為在巴西，面向小學的數學教科書往往傾向于算術運算的解決方案。另一方面，測量活動不經常在學校提出，所以他們不與學校的使用有關。相反，需要測量的情況通常在家庭中出現，孩子們經常要測量物體的長度（例如，衣柜的高度）或它們之間的距離（例如，衣柜和床之間），而算術運算主要是在做作業的時候進行的。

以上實驗給我們一個強烈的信號，那就是來自不同社會階層的孩子在入學之前會擁有不同的數學知識，數感的發展也不盡相同。通過對上述實驗的分析，結合我國小學數學教學的實際情況，可以得出以下幾點思考：

小學教師應充分認清孩子數感發展不均衡這一現實條件。不同社會背景的兒童在日常生活中對數字的認識和意義存在相似和不同，這是入學前孩子數感發展不均衡的現實條件，教師應對此進行充分的認識。觀察孩子在學校內外的數學活動，尤其是相關家庭背景，對孩子的原始數感有個清晰的定位，這樣才能有利于后續教學的針對性。

小學教師應制定更加靈活的教學方案來培養孩子的數感。孩子數感的發展是多方面作用的結果，作為數感發展的重要一環，學校教學應該承擔更多的責任，教師在教學方案上應該更加靈活，既要考慮到孩子數感發展的不均衡，也要注重教學效果。

小學教師應注重于家庭的聯動，在生活中培養孩子的數感。孩子的成長需要多方面的努力，只有各個環節同向運作才能使孩子健康成長。同樣，孩子的數感發展也需要家庭和學校的共同合作，教師應該和家庭進行更多的溝通和指導，在日常生活中增加孩子參與數學活動的機會。

[1]馬云鵬，史炳星.認識數感與發展數感[J].數學教育學報，2002（02）：46-49.

[2]鄭毓信.“數感”“符號感”與其他——《課程標準》大家談[J].數學教育學報，2002（03）：30-32.

[3]鄭毓信.《數學課程標準（2011）》的“另類解讀”[J].數學教育學報，2013，22（01）：1-7.

[4]Spinillo A G.Number Sense in Elementary School Children：The Uses and Meanings Given to Numbers in Different Investigative Situations[C]//Invited Lectures from the 13th International Congress on Mathematical Education. Springer， Cham，2018：639-650.