設元建模型，方程解應用

李保民

[摘 要] 以一元二次方程為基礎的應用題成為近年來中考的熱門題型，對于該類題，要緊密結合模型思想，通過設元的方式建立模型，通過方程來解決問題. 本文結合實例，簡要講解了該類題的解題思路，并開展了相應的教學思考.

[關鍵詞] 一元二次方程；應用題； 模型；思維；素養

一元二次方程應用題在初中代數中有著極其重要的地位，不僅是對“數學來源于生活”理念的充分體現，還可以有效考查學生模型思想的掌握情況，因而近幾年的中考題中涌現出一批設計精妙、緊密聯系生活的該類型的應用題.

真題呈現，試題點評

1. 真題呈現

（2016年廣西賀州中考卷第24題）某地區2014年投入教育經費2900萬元，2016年投入教育經費3509萬元.

（1）求2014年至2016年該地區投入教育經費的年平均增長率；

（2）按照義務教育法規定，教育經費的投入不低于國民生產總值的百分之四，結合該地區國民生產總值的增長情況，該地區到2018年需投入教育經費4250萬元，如果按（1）中教育經費投入的增長率，到2018年該地區投入的教育經費是否能達到4250萬元？請說明理由.

2. 試題解析

分析 （1）求增長率問題可先設元，通常情況增長后的量=增長前的量×（1+增長率），設增長率為x，則2015年要投入的經費為2900（1+x）萬元，在2015年經費的基礎上再增長x就是2016年教育經費的投入數額，從而可以列出方程.

（2）利用（1）中所求得的增長率來計算2018年該地區的經費投入量，比較后即可求得答案.

解答 （1）假設增長率為x，由題意可得2015年投入經費為2900（1+x）萬元，2016年投入經費為2900（1+x）2，則可列出方程2900（1+x）2=3509，解得x=0.1=10%或者x=-2.1（不符合題意，舍去），因此這兩年投入的教育經費的年平均增長率為10%.

（2）利用（1）問中的增長率，則2018年該地區投入的教育經費為3509（1+10%）2=4245.89（萬元），4245.89<4250，因而按照（1）中的經費的增長率，到2018年該地區投入的教育經費不能達到4250萬元.

3. 試題點評

本題目為關于一元二次方程的應用題，主要考查學生根據實際情況建立數學模型、利用解方程的技巧解決實際問題的能力. 上述解題過程緊扣“增長率”的相關概念，通過設元的方式，建立了衡量該概念的數學模型，然后利用方程思想來求解問題，實現了抽象問題的具體、形象化，思路清晰，求解簡潔. 模型思想是解決一元二次方程應用題的核心思想，設元法是打開問題突破口的關鍵，合理利用解方程的方法技巧可實現求解過程的簡單化，同時該解題思路可推廣到同類型的應用題.

試題銜接，思路剖析

模型思想和方程思想是解決一元二次方程應用題的重要的思想方法，同時配合使用相應的解方程技巧可以簡化求解過程，具體思路為：基于模型思想，把握問題的等量關系，通過設元的方式建立解題方程，然后利用相應技巧來求解，例如根的判別式、參數變量求最值等方法.

試題1 （2015年四川廣元中考卷第22題） 李明準備進行如下操作實驗，把一根長40 cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個正方形.

（1）要使這兩個正方形的面積之和等于58 cm2，李明應該怎么剪這根鐵絲？

（2）李明認為這兩個正方形的面積之和不可能等于48 cm2，你認為他的說法正確嗎？請說明理由.

分析 （1）兩正方形的面積之和已經固定，可采用設元的方式求解，設剪成的較短的一段為x cm，較長的一段為（40-x） cm，根據上述兩段長度即可表示兩個正方形的面積之和，從而建立方程求解.

（2）假設剪成的較短的一段長為m cm，較長的一段為（40-m）cm，就可以表示該兩個正方形的面積，建立方程，如果方程有解則說明李明的說法是錯誤的，否則為正確.

解答 （1）設剪成的較短的一段為x cm，較長的一段為（40-x）cm，根據題意建立方程得：=28；當x=12時，較長的一段為28 cm；當x=28時，較長的一段為40-28<28（舍去），則李明應該把鐵絲分別剪成12 cm和28 cm兩段.

（2）設剪成的較短的一段為m cm，較長的一段為（40-m） cm，根據題意列方程可得2=48，可化簡為m2-40m+416=0，因為Δ=（40）2-4×416= -64<0，則原方程無實數根，因此李明的說法是正確的，這兩個正方形的面積之和不可能等于48 cm2.

試題2 （2016年四川內江中考卷第27題）某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊由周長為30米的籬笆圍成. 已知墻長為18米（如圖1所示），設這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米.

（1）若苗圃園的面積為72平方米，求x.

（2）若平行于墻的一邊長不小于8米，這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎？如果有，求出最大值和最小值；如果沒有，請說明理由.

（3）略.

分析 （1）已知園圃面積和籬笆總長，則可用含有x的參數表示另一邊的長，利用面積公式即可建立方程. （2）求園圃的最值首先需要求園圃一邊的取值范圍，即不小于8米，且不大于18米，在此范圍內來求園圃的最值即可.

解答 （1）苗圃園與墻平行的一邊為（30-2x）米，根據題意列方程，可得x（30-2x）=72，即x2-15x+36=0，即x=3，x=12.

（2）依題意可知8≤30-2x≤18，解得6≤x≤11，該苗圃園的面積為S=x（30-2x）=-2x-2+（6≤x≤11）. 當x=時，S有最大值，且S；當x=11時，S有最小值，且S=88.

上述兩道題均為一元二次方程應用題，解題過程都滲透了模型思想和方程思想，試題1要求用特定長度的鐵絲來合圍相應面積的正方形，解題時從中抽象出相應的數學模型，然后利用解方程的方式，運用根的判別式來解決問題；試題2則是對試題1的深度變式，即用籬笆靠一邊墻來圍園圃，解題過程同樣是采用建模的方式來研究邊長對面積的影響，同時結合了函數的求最值方法的來求解.

解后反思，教學思考

1. 變式習題，思維提升

無論是增長率問題，還是圍面積問題都是對課本習題的深度變式，與題源相比只是增加了數量關系的復雜性，本質沒有改變，但這正是中考題型的特點，從習題中演變，注重對學生深層思維的考查. 因此在實際教學中要引導學生關注課本習題，深入挖掘習題的本質特性，結合相應的基礎知識適當開展拓展變式，引導學生進行問題的多維度思考，學習體會問題各環節的分析思路，從而促進學生思維水平的發展、解題能力的提升.

2. 體驗建模，素養提升

上述問題的解決離不開數學模型思想的應用，解法過程在很大程度上可以理解為是對數學模型抽象、建立和分析的過程，建模思想是解決一元二次方程應用題的最核心的思想方法. 因此在教學中教師要結合實例使學生深刻體會該類題的解題過程，通過細致分析，思路講解的方式使學生體會建模思想的重要性，例如可以引導學生學習合理設元，等量關系提取、代數方程建立，方程求解等建模過程來理解模型思想，通過主動參與實踐活動的方式來發展學生的建模素養.

3.

體會應用，表述提升

數學的思想方法以及解題技巧的學習都是以“學以致用”為出發點的，尤其是一元二次方程的應用題，都充分體現了數學的應用性，教材中的習題也充分挖掘了生活中的數學知識，是對生活材料的數學化. 在教學中教師要引導學生還原數學知識的生活背景，學習使用數學語言表述實際問題的能力，感受生活中的數學，體會數學的應用價值，培養學生學習使用數學的眼光衡量實際問題， 調動學生學習的積極性，增強探知欲.

總結提高

一元二次方程應用題大多是對生活實際問題的抽象，解題的思路也應該是立足建模思想，通過建立方程的方式來實現問題的數學化、具體化、簡潔化，利用數學模型的便利性來解決問題. 在課堂教學中要把握習題本質，通過習題變式的方式促進學生思維的深度提升；體驗應用題的分析過程，學習建模方法，發展學生的建模素養；挖掘生活中的數學問題，學習數學語言的表述方法，提升應用能力.