融合記分函數的直覺模糊集相似度性質再定義與模型設計

江文奇, 祁晨晨, 王晨晨

(南京理工大學經濟管理學院江蘇產業集群決策咨詢研究基地, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

1986年,文獻[1]拓展了模糊集理論,運用隸屬度、非隸屬度和猶豫度來全面表征評估者的判斷,更加符合現實情形,已在聚類分析、模式識別、醫療診斷等領域得到廣泛應用。在多準則決策問題中,直覺模糊集(intuitionistic fuzzy sets,IFS)的相似度是決策的重要因素之一,對決策結果產生重要影響,如何設計IFS的相似度成為重要的研究問題。

較為經典的IFS的相似度度量主要采用距離測度模型。如文獻[2-3]早期提出了相似度度量距離模型;文獻[4]分析了兩個模型的缺點并進行了改進;文獻[5]運用歐式距離進行度量;文獻[6]給出了IFS相似度的定義,并將模糊集的相似度量方法推廣到IFS;文獻[7] 指出文獻[6]中相似度的應用局限性,并提出新的相似度;文獻[8]基于Hausdorff距離構建直覺模糊相似度;文獻[9]則構建了含有猶豫度的相似度模型;文獻[10]分析了上述相似度不符合直覺思維問題,基于Lp度量提出新的相似度;文獻[11]針對相似度的距離度量可能導致反直覺的情形,提出了基于層次的相似度度量方法。為了降低距離測量中的信息損失,文獻[12-13]將IFS轉化為直角三角形的重心和三角模糊數,提出相似性度量模型;文獻[14]進一步基于轉換的直角三角模糊數的中心點來測量相似度。

為了規避距離測度可能造成的識別和比較困難問題,文獻[15]從集合論的觀點出發構建直覺模糊相似度;文獻[16]提出了余弦相似度測量方法;文獻[17]則提出了基于余弦相似度和歐幾里德距離的相似性度量模型;文獻[18]提出基于Frank t-范數族的直覺模糊相似性度量;文獻[19]考慮了猶豫度因素,提出了運用相關系數表示相似度;文獻[20]利用模糊蘊含算子和集合基數提出基于包含度的相似性度量方法;文獻[21]綜合考慮了隸屬度、非隸屬度、猶豫度和直覺指數對隸屬度函數的影響,提高了匹配精度;文獻[22]基于Sugeno積分提出新的相似度;文獻[23]基于匹配函數提出新的相似性度量方法;為了識別不確定性,文獻[24]提出了新的IFS之間相似性度量的公理化定義,并從相似性和猶豫性2個方面構造二元組相似性度量;文獻[25]為較好區分IFS而提出新的相似度模型;文獻[26]則基于限制IFS隸屬度的區間端點凸組合來定義相似度;文獻[27]提出了基于知識測度的相似性度量方法來評估IFS和互補集之間最相似和最不相似的情況;文獻[28]提出基于激活檢測的相似性度量方法;文獻[29]基于隸屬度函數、非隸屬度函數、猶豫度函數和隸屬度函數的上界定義相似度;文獻[30]提出了基于鄰域的相似度構建方法,并應用于圖像處理領域;文獻[31]基于最大最小算子提出直覺模糊相似性度量。

在考慮權重的情形下,文獻[32]提出了基于距離測度的加權相似度測量方法;文獻[33]利用聚合函數整合現有的距離測量并賦予權重;文獻[34]認為相似度越低權重越低,并提出直覺模糊有序加權余弦相似性度量;文獻[35]針對現實世界中元素間一般相互關聯的問題,提出用Shapley加權相似度來處理這種特性間的交互作用;文獻[36]提出了用IFS表示的加權相似度,可以降低信息損失,更能反映IFS的特性。

上述研究文獻分別從不同角度提出了相似度度量模型,有利于實現直覺模糊型多準則決策。然而,部分文獻提出的相似度模型并不符合相似度的具體特征或者沒有考慮一般情形下的相似度特征,導致相似度結果無法真正體現其具體特征。于是,本文首先考慮了一般情形下IFS的相似度的具體特征,分析現有相似度函數與該特征的匹配度,進而提出一種新的IFS相似度測量方法,最后通過算例分析和靈敏度分析來闡明本方法的優越性和應用價值。

1 預備知識

定義1[1]設X是一個給定論域,則X上的一個IFS為A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}。其中μA(x)和vA(x)分別為X中元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度,μA:X→[0,1],vA:X→[0,1],且滿足條件0≤μA(x)+vA(x)≤1,x∈X。稱πA(x)=1-μA(x)-vA(x)為X中元素x屬于A的猶豫度。

定義2[1]設A和B是給定論域X上的IFS,則有:

(1) IFS相等關系:A=B當且僅當對任意x∈X,有μA(x)=μB(x),vA(x)=vB(x)。

(2) IFS包含關系:A?B當且僅當對任意x∈X,有μA(x)≤μB(x),vA(x)≥vB(x)。

(3) IFS的交:A∩B= {〈x,min(μA(x),μB(x)),max(vA(x),vB(x))|?x∈X〉}。

(4) IFS的并:A∪B= {〈x,max(μA(x),μB(x)),min(vA(x),vB(x))|?x∈X〉},文獻[6]首先定義了IFS的相似度(條件1～條件3、條件5),文獻[20]在此基礎上完善了相似度性質,添加了條件4。IFS相似度定義如下:

定義3[6]設S是一個映射,且S:IFS(X)×IFS(X)→[0,1]。稱S(A,B)為IFSA∈IFS(X)和B∈IFS(X)間的相似度,S(A,B)滿足以下條件:

條件10≤S(A,B)≤1;

條件2S(A,B)=1，當且僅當A=B;

條件3S(A,B)=S(B,A);

條件4S(A,B)=0，當且僅當A=〈0,1〉,B=〈1,0〉或A=〈1,0〉,B=〈0,1〉;

條件5如果A?B?C,則S(A,C)≤S(A,B),S(A,C)≤S(B,C)。

定義4[37-38]設A=〈μA(x),vA(x)〉,B=〈μB(x),vB(x)〉是2個IFS,則MA(x)和MB(x)分別是A和B的記分函數;HA(x)和HB(x)分別是A和B的精確函數。其中MA(x)=μA(x)-vA(x),MB(x)=μB(x)-vB(x);HA(x)=μA(x)+vA(x),HB(x)=μB(x)+vB(x)。則2個IFSA和B的比較為:

(1)若MA(x)

(2)若MA(x)>MB(x),則A>B;

(3)若MA(x)=MB(x),則

①HA(x)

②HA(x)>HB(x)時,A>B。

為了簡便起見,若IFSA={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}只有一個元素,常將A簡寫為A=〈μA(x),vA(x)〉。以下記μA表示μA(x),μB表示μB(x),vA表示vA(x),vB表示vB(x)。則現有IFS相似度函數的度量方法列舉如下:

(1)文獻[2]定義相似度為

(1)

(2)文獻[3]定義相似度為

(2)

(3)文獻[4]在文獻[2-3]的基礎上提出新的相似度公式，即

|(μA-μB)|+|(vA-vB)|]

(3)

(4)文獻[5]基于歐幾里德距離提出新的相似度，即

(4)

(5)文獻[6]給出了相似度的公理化定義,并提出了新的相似度，即

(5)

(6)文獻[9]考慮了猶豫度,定義相似度為

SLH(A,B)=

(6)

式中,p≥1。

(7) 文獻[10]基于Lp度量提出新的相似度，即

(7)

(8) 文獻[32]基于距離測度提出新的相似度，即

(8)

(9) 文獻[16]提出余弦相似度,即

(9)

(10) 文獻[23]基于匹配函數提出新的相似度,即

(10)

(11) 文獻[25]提出新的相似度，即

SY(A,B)=

(11)

(12)文獻[12]提出基于雙參數的相似度度量方法，即

(12)

式中,t=2,3,4,…;p=1,2,3,…。

(13)文獻[13]基于轉換的三角模糊數提出相似度度量模型,即

(13)

式中,Axi是轉換的三角模糊數,即Axi=(μA,μA,1-vA)。

(14) 文獻[20]為了降低信息損失且提高區分度,提出基于傾向性的相似度量方法,即

(14)

(15) 文獻[14]提出基于轉換的直角三角模糊數的中心點來測量IFSs之間相似度，即

(15)

(16) 文獻[13]提出基于余弦相似度和歐幾里德距離的相似度，即

(16)

(17) 文獻[11]為提高分類準確度,給出新的相似度,即

Sh(A,B)=

(17)

(18) 文獻[27]基于知識測度提出相似度測量方法，即

SK(A,B)=

(18)

2 現有相似度函數分析

針對定義3中的條件5,要滿足A?B?C則μA≤μB≤μC,vA≥vB≥vC,這種假設在現實中很難成立。很多IFS并不滿足上述強假設,而記分函數可以表征一般情形下IFS的順序,擴展條件5,即:

條件6如果MA≤MB≤MC,則:S(A,C)≤S(A,B),S(A,C)≤S(B,C);

條件7如果MA=MB=MC,HA≤HB≤HC時,則S(A,C)≤S(A,B),S(A,C)≤S(B,C)。

基于擴展的定義3的7個條件,現有的相似度存在一些缺陷,主要表現在:

(1)SC,SDC,SIFS,SW不滿足條件2。例如:A=〈0.3,0.3〉,B=〈0.4,0.4〉時,顯然A≠B,但SC(A,B)=SDC(A,B)=SIFS(A,B)=SW(A,B)=1。當μA=vA=0或者μB=vB=0時,分母為0,則SIFS值不存在,如A=〈0.5,0.5〉,B=〈0,0〉。SC與SDC不滿足條件7,如A=〈0.3,0.2〉,B=〈0.4,0.3〉,C=〈0.5,0.4〉時,S(A,B)=S(A,C)=S(B,C)=1。

(2)SLH不滿足條件4。如A=〈0.5,0.5〉,B=〈0,0〉,C=〈1,0〉時,可以得SLH(A,B)=SLH(B,C)=0不成立。同例,對于Sp和SK條件也不成立。

(3)SK不滿足條件1和條件5。如果A=〈0.3,0.4〉,B=〈0.4,0.3〉得SK(A,B)=-1<0;如果A=〈0.3,0.3〉,B=〈0.3,0.2〉,C=〈0.4,0.2〉,此時A?B?C,應有S(A,C)≤S(B,C),然而SK(A,C)=0.99>SK(B,C)=0.907。Sp也不滿足條件5,如A=〈0.3,0.3〉,B=〈0.3,0.2〉,C=〈0.4,0.2〉,得Sp(A,B)=0.92

于是,比較上述相似度函數與本文定義的7個條件的匹配程度,如表1所示。

表1 現有文獻約束條件滿足情況

由表1可知,上述相似度函數不完全滿足定義3的條件及本文增加的2個條件,因此有必要重新設計新的相似度函數且其必須完全滿足7個條件。

3 新的相似度函數設計

設A=〈μA,vA〉,B=〈μB,vB〉是2個IFS,定義A與B之間的相似度為

S(A,B)=1-[|(μA-vA)-(μB-vB)|+

|(2μA-vA)-(2μB-vB)|/3+

|(2vA-μA)-(2vB-μB)|/3]/4

(19)

定理1式(19)定義的S(A,B)是一個直覺模糊相似度,滿足條件1～條件7。

證明(1)針對條件1,因為

-1≤μA-vA≤1,-1≤μB-vB≤1?

0≤|(μA-vA)-(μB-vB)|≤2;

由于

-1≤2μA-vA≤2,-1≤2μB-vB≤2?

0≤|(2μA-vA)-(2μB-vB)|/3≤1;

同理,0≤|(2vA-μA)-(2vB-μB)|/3≤1。

所以

|(μA-vA)-(μB-vB)|+|(2μA-vA)-(2μB-vB)|/3+

|(2vA-μA)-(2vB-μB)|/3≤4?S(A,B)≥0

因此,0≤S(A,B)≤1。

(2)條件2顯然成立。

(3)針對條件3,如果S(A,B)=1,則

|(μA-vA)-(μB-vB)|+|(2μA-vA)-(2μB-vB)|/3+

|(2vA-μA)-(2vB-μB)|/3=0

于是

μA-vA=μB-vB,2μA-vA=2μB-vB,

2vA-μA=2vB-μB,

所以,μA=μB,vA=vB?A=B。

(4) 針對條件4,如果S(A,B)=1,則|(μA-vA)-(μB-vB)|+|(2μA-vA)-(2μB-vB)|/3+|(2vA-μA)-(2vB-μB)|/3=4,有:|(μA-vA)-(μB-vB)|=2,|(2μA-vA)-(2μB-vB)|=3,|(2vA-μA)-(2vB-μB)|=3,|(μA-μB)-(vA-vB)|=2,|2(μA-μB)-(vA-vB)|=3,|(μA-μB)-2(vA-vB)|=3,?μA-μB=1,vA-vB=-1或者μA-μB=-1,vA-vB=1,因此,A=〈1,0〉,B=〈0,1〉或者A=〈0,1〉,B=〈1,0〉。

(5)針對條件5,如果A?B?C有μA≤μB≤μC,vA≥vB≥vC,可得:μA-vA≤μB-vB≤μC-vC,于是:2μA-vA≤2μB-vB≤2μC-vC, 2vA-μA≥2vB-μB≥2vC-μC,令

12D(A,B)=3|(μA-vA)-(μB-vB)|+

|(2μA-vA)-(2μB-vB)|+|(2vA-μA)-(2vB-μB)|=

3(μB-vB)-3(μA-vA)+(2μB-vB)-

(2μA-vA)+(2vA-μA)-(2vB-μB)

12D(A,C)=3|(μA-vA)-(μC-vC)|+

|(2μA-vA)-(2μC-vC)|+|(2vA-μA)-(2vC-μC)|=

3(μC-vC)-3(μA-vA)+(2μC-vC)-(2μA-vA)+

(2vA-μA)-(2vC-μC)

于是

12(D(A,B)-D(A,C))=

[3(μB-vB)-3(μC-vC)]+[(2μB-vB)-(2μC-vC)]+

[(2vC-μC)-(2vB-μB)]≤0?

D(A,B)≤D(A,C)?S(A,C)≤S(A,B)

同理,S(A,C)≤S(B,C)。

(6) 針對條件6,如果MA≤MB≤MC,則有S(A,C)≤S(A,B),S(A,C)≤S(B,C)。因為MA≤MB≤MC,即μA-vA≤μB-vB≤μC-vC。于是

4D(A,B)=(μB-vB)-(μA-vA)+

|(2μA-vA)-(2μB-vB)|/3+

|(2vA-μA)-(2vB-μB)|/3

4D(A,C)=(μC-vC)-(μA-vA)+

|(2μA-vA)-(2μC-vC)|/3+

|(2vA-μA)-(2vC-μC)|/3

如果

(2μA-vA)-(2μB-vB)<0,

(2vA-μA)-(2vB-μB)>0,

(2μA-vA)-(2μC-vC)<0,

(2vA-μA)-(2vC-μC)>0

因此

4D(A,B)=(μB-vB)-(μA-vA)+

[(2μB-vB)-(2μA-vA)]/3+

[(2vA-μA)-(2vB-μB)]/3

4D(A,C)=(μC-vC)-(μA-vA)+

[(2μC-vC)-(2μA-vA)]/3+

[(2vA-μA)-(2vC-μC)]/3

則

4(D(A,B)-D(A,C))=

(μB-vB)-(μC-vC)+

[(2μB-vB)-(2μC-vC)]/3+

[(2vC-μC)-(2vB-μB)]/3=

2((μB-vB)-(μC-vC))≤0?

D(A,B)≤D(A,C)?S(A,C)≤S(A,B)

同理,S(A,C)≤S(B,C)。

如果

(2μA-vA)-(2μB-vB)<0,

(2vA-μA)-(2vB-μB)<0,

(2μA-vA)-(2μC-vC)<0,

(2vA-μA)-(2vC-μC)>0

因此

4(D(A,B)-D(A,C))=

(μB-vB)-(μC-vC)+[(2μB-vB)-(2μC-vC)]/3+

[(2vB-μB)-2(2vA-μA)-(2vC-μC)]/3=

2(2μB-vB-3μC+3vC+μA-2vA)/3≤

2(2μB-vB-3μC+3vC+μB-2vB)/3=

2((μB-vB)-(μC-vC))≤0

得到:D(A,B)≤D(A,C)?S(A,C)≤S(A,B)。同理,S(A,C)≤S(B,C)。

其他幾種情形仍然可以證明。

(7)針對條件7,如果MA=MB=MC,HA≤HB≤HC,則:S(A,C)≤S(A,B),S(A,C)≤S(B,C)。

上述條件意味著

μA-vA=μB-vB=μC-vC,

μA+vA≤μB+vB≤μC+vC

因此

μA≤μB≤μC,vA≤vB≤vC?

2μA-vA≤2μB-vB,2vA-μA≤2vB-μB

有

12D(A,B)=(2μB-vB)-(2μA-vA)+

(2vB-μB)-(2vA-μA)=(μB+vB)-(μA+vA)

同理,12D(A,C)=(μC+vC)-(μA+vA),

因此,D(A,B)≤D(A,C)?S(A,C)≤S(A,B)

同理,得到S(A,C)≤S(B,C)。

證畢

4 算例研究

通過比較現有的18種相似度函數與本文提出的相似度函數,來說明本文方法的有效性,進而指出其他相似度函數可能存在的缺陷,具體如表2所示。

表2 IFS之間的各種相似度量方法比較

(1)如果A=〈0,0〉,B=〈0.5,0.5〉,C=〈1,0〉,依據記分函數和精確函數比較得AS(A,C)。根據投票模型,10個人投票,A表示10人都棄權,B表示5人贊成5人反對,C表示10人贊成。如果進行二次投票,則A中的棄權者存在著支持和反對的傾向,因此A,B比A,C更為相似。

(2)如果A=〈0.3,0.4〉,B=〈0.3,0.3〉,C=〈0.4,0.4〉,D=〈0.4,0.3〉,依據本文的相似度模型,應有A

(3)針對5、6和7、8,大部分文獻和直觀均認為前者相似度小于后者。如果A=〈0.4,0.2〉,B=〈0.5,0.3〉,C=〈0.5,0.2〉,依據投票模型,假設10人參與投票,A表示4人贊成,2人反對;B表示5人贊成,3人反對,C表示5人贊成,2人反對,投票結果表明A、B比A、C更為接近。由此可知本文改進的條件和提出的相似度與投票結果一致。同理,對于7、8也可以得出同樣的結論。

(4)本文將用以下兩種方式說明本文提出的相似度具有較強的區分能力,比現有文獻有更高的優越性。

(i)假設μA和μB為變量,vA和vB固定值,運用Excel中模擬運算表功能,對提出的相似度進行模擬分析。

①設vA=vB=0.1,分析結果如表3所示。行表示μA變化區間,列表示μB變化區間。

②設vA=0.2,vB=0.5,結果如表4所示。

由表3和表4可知,當改變μA和μB時,相似度結果發生較為明顯的變化,而且當固定μA或μB時,并沒有出現相同的相似度比較結果,這說明本文提出的相似度測量方法具有較強的區分能力。

表3 當vA=vB=0.1時相似度比較結果

表4 當vA=0.2,vB=0.5時相似度比較結果

(ii) 比較本文的相似度與近幾年文獻中符合前5條性質相似度的方差。具體操作如下:首先用Excel隨機生成500組IFSA與B,其中隸屬度μ為區間[0,1]之間的隨機數,使用函數rand(),而非隸屬度v為區間[0,1-μ]之間的隨機數,使用函數rand()*(1-μ);然后分別計算隨機生成的IFS的相似度;最后得到500組隨機IFS相似度的方差。此時模擬數據的方差基本接近其公式的方差。

表5 部分隨機IFS的相似度

注:由于篇幅限制,僅顯示20組隨機IFS及其相似度。

其次,計算500組隨機IFS相似度的方差,如表6所示。

表6 500組隨機IFS相似度的方差

5 結 論

本文針對IFS相似度模型設計問題,從分析相似度模型的定義條件入手,研究各個相似度模型的匹配度。結合一般IFS的特征,運用記分函數來辨別不同IFS的大小關系,進而從內容和形式上定義一種新的直覺模糊相似度。并通過理論證明、算例分析說明提出的相似度能夠滿足原有性質和改進的性質,即從表2可知,尚未有一個相似度模型能滿足已有的相似度條件和本文提出的相似度條件,而本文提出的相似度彌補了現有相似度存在的無法比較或者比較結果不合理的問題,靈敏度分析和模擬分析說明本文提出的相似度降低了信息損失,具有較強的區分度和辨別能力,可以更好地輔助決策者進行決策。

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