基于Kriging插值的失諧葉盤氣動 結構耦合振動特性分析

楊文軍 張鍇鋒 王 磊 袁惠群

1.沈陽航空航天大學機電工程學院，沈陽，110136

2.沈陽航空航天大學航空制造工藝數(shù)字化國防重點學科實驗室，沈陽，110136

3.東北大學機械工程與自動化學院，沈陽，110819

0 引言

壓氣機是航空發(fā)動機的關鍵組成部分，實際生產(chǎn)過程中由于制造誤差、材質(zhì)不均、使用中磨損不均或為抑制顫振的主觀設計等因素，使得葉盤系統(tǒng)各扇區(qū)間會存在一定的失諧量。失諧導致的耦合振動和振動局部化現(xiàn)象較嚴重地影響了葉盤系統(tǒng)的穩(wěn)定運行，并且越來越多地受到工程技術人員的重視。WEI等［1］研究了葉盤系統(tǒng)的振動模態(tài)局部化問題，解釋了失諧引起振動模態(tài)局部化的現(xiàn)象。PIERRE等［2］研究了失諧葉盤系統(tǒng)氣彈耦合下的振動模態(tài)局部化問題。結合傳遞矩陣法和攝動法，OTTARSSON等［3］研究了具有隨機失諧因素時葉盤結構系統(tǒng)自由振動的局部化問題。YOO等［4］建立了失諧葉盤類結構的簡化模型，研究了振動局部化現(xiàn)象。王紅建等［5］建立了失諧葉盤系統(tǒng)振動的質(zhì)量-彈簧模型，并提出了自動選擇模態(tài)法用于該類問題的求解。王建軍等［6］利用3種模態(tài)局部化因子，進行了典型葉盤結構失諧振動模態(tài)局部化程度的定量確定。基于ANSYS軟件，張釗等［7］模擬了失諧葉盤的振動響應局部化特性，數(shù)值仿真結果與試驗結果吻合較好。邵帥等［8］利用有限元法和子結構模態(tài)綜合法，分析了失諧葉盤結構振動特性和模態(tài)局部化特性。綜上所述，人們在失諧葉盤模型中往往把氣動力簡化為等效載荷，并作用于葉片上。由于簡化存在誤差，這樣處理不能考慮氣體流場對葉片的真實作用情況，而建立氣動-結構耦合的失諧葉片-輪盤系統(tǒng)具有重要的工程意義。目前，失諧葉盤系統(tǒng)的氣動-結構耦合動力學問題仍有待進一步研究。

氣動-結構耦合動力學研究的關鍵在于流體-固體交界面數(shù)據(jù)傳遞問題。近年來，多種流體-結構耦合問題中的數(shù)據(jù)交換算法得到了發(fā)展。GOURA等［9］提出了一種常體積轉換（CVT）方法，該方法是一種與結構模態(tài)無關的局部插值方法。STEIN 等［10］和 DWIGHT［11］將流體網(wǎng)格模型假設為一個符合線彈性方程的彈性固體，并且采用一種特殊的技術來保持邊界層和高梯度區(qū)域的網(wǎng)格質(zhì)量。曾強［12］采用三維線性插值方法對ANSYS和FLUENT中的網(wǎng)格數(shù)據(jù)進行變換，并對不同材料和轉速的葉片模型進行流固耦合計算。仲繼澤等［13］使用快速動網(wǎng)格技術計算結構及流場網(wǎng)格節(jié)點位移，并更新流場網(wǎng)格，實現(xiàn)流場與結構振動的空間同步求解。但如何使載荷數(shù)據(jù)傳遞的精度更高、更新后的流場網(wǎng)格質(zhì)量更好，還有待深入研究。

本文以某型航空發(fā)動機壓氣機轉子為研究對象，考慮葉排間動靜干涉的影響，對壓氣機葉盤轉子內(nèi)部的三維流場進行模擬。通過靜頻試驗引入葉片失諧量，基于Kriging模型完成耦合界面載荷數(shù)據(jù)的傳遞，分析壓氣機轉子葉片表面非定常氣動載荷的分布規(guī)律，并討論失諧和氣動載荷對壓氣機轉子葉盤系統(tǒng)振動特性的影響。

1 計算模型及理論

1.1 數(shù)值模型的建立

本文的物理模型分為結構和流場兩部分，結構區(qū)域以某型壓氣機轉子葉盤系統(tǒng)為研究對象。為考慮葉排間動靜干涉的影響，流場區(qū)域選取壓氣機前一級靜葉和下游動葉的三維流場通道，其中，靜子葉片數(shù)為42，轉子葉片數(shù)為38。應用商用CFD軟件的專業(yè)前處理工具Gambit對流體域進行網(wǎng)格劃分，生成結構化六面體網(wǎng)格，單元總數(shù)為884 044，節(jié)點總數(shù)為1 005 952。經(jīng)檢查網(wǎng)格的長寬比小于5，正交性大于10，延展比小于1 000，網(wǎng)格的質(zhì)量良好。固體域在有限元軟件ANSYS中進行前處理，葉片和輪盤分別采用Solid185單元和Solid187單元進行網(wǎng)格劃分，得到網(wǎng)格的單元總數(shù)為358 348，節(jié)點總數(shù)為1 468 672，具體模型見圖1。

圖1 計算模型Fig.1 The model of computation

壓氣機動靜葉流場的交界面采用滑移網(wǎng)格處理，選擇RNG k-ε湍流模型和隱式耦合求解方法。壓氣機工作轉速為11 383 r/min，進口總壓為105Pa，溫度為300 K，出口靜壓為108 kPa，固壁為無滑移絕熱壁面，介質(zhì)為可壓縮理想空氣。綜合考慮動葉的旋轉速度和非定常計算的耗時性，選定物理時間步長為T/60，即2.31 μs，其中，T為動靜干涉周期，動靜干涉頻率f0=1/T。

對于葉盤系統(tǒng)，葉片材料為鈦合金TA11，其密度為4 370 kg/m3，彈性模量E0=113 GPa，泊松比為0.3；輪盤材料為鈦合金TC17，其密度為4 680 kg/m3，彈性模量為112 GPa，泊松比為0.3。固體域求解時，對轂筒側節(jié)點自由度進行全約束。

為了使計算模型更加接近工程實際，需考慮葉盤系統(tǒng)的失諧差異性。本文采用葉片靜頻試驗和有限元數(shù)值模擬相結合的方法預測真實結構響應的失諧差異性，實現(xiàn)失諧參數(shù)的識別。葉片的靜頻測試方案見圖2。

圖2 葉片靜頻測試方案Fig.2 Testing project of blade natural frequencies

利用上述方法得到失諧彈性模量與葉片一階靜頻之間，近似為線性關系。通過線性擬合可以得到失諧彈性模量隨葉片一階靜頻變化的線性表達式：

式中，E為失諧彈性模量，GPa；Vj為葉片j一階彎曲靜頻測試值；V為諧調(diào)葉片（與材料彈性模量E0相對應）一階彎曲靜頻測試值。

利用式（1），代入失諧葉片的一階彎曲靜頻測試值，即可得到相對應的失諧彈性模量。

1.2 控制方程

1.2.1 結構動力方程

葉片結構動力學響應通常描述為

式中，M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；u為葉片結構位移；u?為葉片結構速度；u?為葉片結構加速度；F為作用于葉片的氣動載荷。

葉片的氣動載荷可簡化為簡諧激勵［14］。設

式中，umax為位移幅值；Fmax為氣動載荷幅值；α為位移相位角；φ為氣動載荷相位角；ω為振動頻率。

將式（3）、式（4）代入式（2），整理得

通過求解式（5），可以得到葉片在氣動載荷作用下的響應。邊界條件可令耦合界面上流體壁面位移與固體壁面位移相等，通過流場計算獲得。

1.2.2 流體動力方程

流體流動受物理守恒定律的支配，基本的守恒定律包括：質(zhì)量守恒定律（continuity equa?tion）、動量守恒定律（Navier-Stokes equation）、能量守恒定律（energy equation）及組分質(zhì)量守恒方程（species equation）。盡管以上方程的變量個數(shù)不同，但均反映了單位時間、單位體積內(nèi)物理量的守恒性質(zhì)。用?表示通用變量，則控制方程的形式為

式中，為瞬態(tài)項；div(ρu?)為對流項；div(Γgrad?)為擴散項；S為源項。

流體域滿足質(zhì)量守恒、動量守恒及能量守恒等物理守恒定律，邊界條件為耦合面上流體壁面速度與固體壁面速度相等。由于壓氣機中流體屬三維非穩(wěn)態(tài)、帶旋轉的不規(guī)則運動，故須考慮湍流模型。本文選用標準k-ε模型，其湍流能與耗散率的控制方程為

式中，ρ為氣體密度；μ為流體的動力黏滯系數(shù)；k為湍流能；ε為湍流耗散率；μt為湍流黏度。

2 氣動-結構耦合方法

2.1 氣動-結構耦合分析流程

壓氣機葉盤系統(tǒng)的氣動-結構耦合分析流程主要包括三大部分：壓氣機流場的三維模擬、基于Kriging插值的氣動載荷傳遞和葉盤系統(tǒng)的氣動-結構耦合分析，具體流程見圖3。

圖3 壓氣機流固耦合分析流程Fig.3 Analysis process of compressor fluid-structure coupling dynamics

仿真分析流程如下：①基于Gambit軟件建立壓氣機三維流場的CFD模型；②基于Fluent軟件進行三維流場CFD仿真；③基于靜頻試驗和數(shù)值模擬進行葉盤系統(tǒng)失諧參數(shù)識別；④基于ANSYS軟件建立轉子葉盤結構的有限元模型；⑤基于Kriging模型的葉片壓力面、吸力面氣動載荷的傳遞；⑥基于ANSYS軟件的葉盤系統(tǒng)氣動-結構耦合動力特性分析；⑦輸出分析結果，并進行后處理。

2.2 耦合界面載荷傳遞方法

對于氣動-結構耦合分析，耦合界面數(shù)據(jù)傳遞問題是解決流固耦合問題的關鍵。本文基于Kriging模型的耦合界面數(shù)據(jù)傳遞程序，實現(xiàn)了流場氣動載荷向結構場的傳遞。

Kriging模型起源于地質(zhì)統(tǒng)計學［15?16］，是一種估計方差最小的無偏估計模型，它可以較好地預估未知點處載荷值的分布情況。Kriging模型中的全部函數(shù)值與自變量之間的關系由多項式和隨機分布表示：

式中，F(xiàn)(β,x)為回歸模型；z(x)是均值為0、方差為σ2的統(tǒng)計隨機過程；x為空間自變量；β為基函數(shù)系數(shù)。

經(jīng)推導獲得插值計算未知點x處的預測值y? (x)：

其中，r為觀測點與樣本點之間的相關性；R為任意兩個樣本點之間的相關函數(shù)；y為設計點的目測響應值；f為設計空間的一個全局模型，為多項式函數(shù)。上述參數(shù)可由已知點的載荷分布獲得。

經(jīng)過對壓氣機內(nèi)部三維流場的模擬，獲得了流場動葉表面的氣動載荷。通過dacefit函數(shù)，根據(jù)耦合面流場節(jié)點坐標和氣動壓力來建立Kriging模型。采用predictor函數(shù)，根據(jù)Krig?ing模型計算結構場耦合面各節(jié)點的氣動壓力。基于優(yōu)化算法對Kriging模型相關參數(shù)θk進行優(yōu)化，來提高氣動載荷的傳遞精度。采用上述方法進行氣動載荷傳遞的程序編制。具體流程見圖4。

根據(jù)Kriging模型實現(xiàn)了流固耦合界面氣動載荷的傳遞，流場耦合面節(jié)點的氣動壓力及載荷數(shù)據(jù)傳遞后結構場耦合面節(jié)點的氣動壓力分布分別見圖5、圖6。

圖4 氣動載荷傳遞的程序流程圖Fig.4 Program process of aerodynamic pressure transfer

圖5 葉片壓力面節(jié)點氣動壓力分布圖Fig.5 Node aerodynamic pressure on blade pressure surface

圖6 葉片吸力面節(jié)點氣動壓力分布圖Fig.6 Node aerodynamic pressure on blade suction surface

對比插值前后葉片表面氣動壓力的分布圖可以發(fā)現(xiàn)，吸力面和壓力面的結構節(jié)點氣動壓力分布與流場節(jié)點氣動壓力分布吻合良好，說明利用Kriging模型進行氣動壓力載荷的傳遞可以滿足壓氣機葉盤系統(tǒng)氣動-結構耦合力學的計算要求。

3 計算結果討論與分析

3.1 轉子葉片表面的非定常氣動載荷分布

為了揭示轉子葉片表面氣動載荷的變化規(guī)律，在壓氣機三維流場模擬中對動葉壓力面和吸力面的氣動壓力進行了監(jiān)測，得到了動葉表面氣動壓力的變化曲線，見圖7。

圖7 動葉表面氣動載荷的變化曲線Fig.7 Aerodynamic pressure curves of rotor blade surface

由圖7中動葉表面氣動壓力的變化曲線可知，當壓氣機內(nèi)部的流場收斂后，動葉壓力面和吸力面的氣動載荷也達到平穩(wěn)。動葉壓力面和吸力面氣動壓力的時域曲線見圖7a，可以看出兩時域曲線達到平穩(wěn)后都處于振蕩收斂狀態(tài)，并呈現(xiàn)出正弦、余弦變化規(guī)律，且周期等于動靜干涉周期T，可知壓力面和吸力面所受到的氣動載荷為非定常脈動壓力。另外，壓力面氣動載荷的收斂值（109 kPa）遠大于吸力面氣動載荷的收斂值（86 kPa），而且壓力面氣動載荷的脈動幅值要明顯大于吸力面的脈動幅值。動葉壓力面和吸力面氣動壓力的幅頻曲線見圖7b，可以看出動葉表面的氣動載荷主要受動靜干涉的影響，壓力面和吸力面氣動載荷出現(xiàn)峰值的頻率相同，皆為動靜干涉的倍頻，其中，一倍頻（f0）分量占有主導地位，而二倍頻（2f0）及更高倍頻分量的峰值較小。同時，壓力面氣動載荷的頻譜峰值要遠大于吸力面的頻譜峰值，可見壓力面氣動載荷的非定常性相比吸力面更強。

經(jīng)過分析初步掌握了動葉表面壓力的分布情況，為了更加詳細地獲得動葉表面氣動載荷的分布細節(jié)，繪制了動葉壓力面和吸力面在干涉周期T內(nèi)氣動壓力的變化曲線和等值線圖。

由圖8可以看出，壓力面的氣動壓力在5T/8時刻左右出現(xiàn)極小值，在T時刻附近取得極大值，而吸力面在T/2時刻左右出現(xiàn)極大值，在T時刻取得極小值。除了氣動壓力極值點出現(xiàn)的時刻稍有不同外，動葉壓力面和吸力面的氣動壓力在干涉周期T內(nèi)的變化規(guī)律呈相反趨勢，具體見圖9和圖10。

圖8 干涉周期T內(nèi)動葉表面氣動壓力的變化曲線Fig.8 Aerodynamic pressure curves of rotor blade surface at interaction period T

動葉壓力面氣動壓力的等值線見圖9，可以發(fā)現(xiàn)動葉壓力面的氣動壓力從T/8至T/2時刻逐漸減小，5T/8時刻，壓力面的氣動壓力取得極小值，隨后壓力面的氣動壓力值開始逐漸增大，在T時刻左右取得極大值，這與圖8a中壓力面氣動壓力變化曲線反映的規(guī)律一致。還注意到在干涉周期T內(nèi)，葉片表面的壓力渦存在周期性的遷移與耗散，動葉前緣激起的壓力渦從壓力面底部運動至頂部（①②③④位置），到達頂部后等值線梯度達到最大，氣動壓力取得極大值；之后壓力渦又從前緣運動至尾緣（⑤⑥⑦⑧位置），最終脫離動葉壓力面流向出口區(qū)域，等值線梯度趨于平緩，氣動壓力取得極小值，可見壓力渦的變化過程與非定常氣動壓力的變化規(guī)律是相吻合的。

圖9 壓力面氣動壓力的等值線圖Fig.9 Aerodynamic pressure contour maps of rotor blade pressure surface

動葉吸力面氣動壓力的等值線見圖10，與壓力面相比，動葉吸力面氣動壓力的變化有很大差異。從圖10可以很清楚地看到，在吸力面前緣存在一條低壓帶，且它在整個干涉周期內(nèi)一直存在，這是由于受到來流對吸力面前緣的沖擊和動葉旋轉拖拽效應的相互作用，吸力面前緣形成了明顯的低壓區(qū)。在吸力面的中后部位置氣動壓力梯度的變化比較明顯，可以看到從T/8至T/2時刻，氣動壓力逐漸增大；T/2時刻吸力面的氣動壓力取得極大值，隨后開始逐漸減?。坏竭_T時刻附近取得極小值，這與圖8b中吸力面氣動壓力的變化曲線反映的規(guī)律是一致的。另外，與壓力面一樣，吸力面也存在壓力渦的遷移與耗散，但主要集中于吸力面的中后部區(qū)域，相比壓力面的渦強度要弱很多。

圖10 吸力面氣動壓力的等值線圖Fig.10 Aerodynamic pressure contour maps of rotor blade suction surface

3.2 失諧和氣動載荷對葉盤振動的影響

在忽略和考慮氣動載荷作用的情況下，分別對諧調(diào)和失諧葉盤系統(tǒng)進行了分析計算，獲得了諧調(diào)和失諧葉盤系統(tǒng)的變形、應力和應變能分布情況，并討論了氣動載荷和葉片失諧對葉盤系統(tǒng)振動的影響規(guī)律，見表1、表2。

表1 失諧對葉盤系統(tǒng)振動的影響Tab.1 Mistuning effect on blade-disk system vibration

通過表1可以發(fā)現(xiàn)：在忽略和考慮氣動載荷兩種情況下，就最大位移和最大應變能而言，失諧葉盤系統(tǒng)要明顯大于諧調(diào)葉盤，最大偏差分別為8.73%和13.39%；而最大應力變化不明顯，兩種葉盤偏差僅為0.68%。

表2 氣動載荷對葉盤系統(tǒng)振動的影響Tab.2 Aerodynamic load effect on blade-disk system vibration

通過表2可以發(fā)現(xiàn)：考慮氣動載荷作用后，失諧和諧調(diào)葉盤系統(tǒng)的最大位移和最大應變能均出現(xiàn)了一定幅度的增大，最大增幅分別為4.76%和1.69%，而最大應力變化不明顯。可見，氣動載荷的作用使得葉盤系統(tǒng)的振動有所增強，這與失諧對葉盤系統(tǒng)振動的影響規(guī)律相似。葉盤系統(tǒng)各扇區(qū)的最大位移、最大Mises等效應力和應變能分布圖見圖11～圖13。

圖11 葉盤系統(tǒng)各扇區(qū)的最大位移分布圖Fig.11 Maximal displacement distribution of blade-disk sectors

圖12 葉盤系統(tǒng)各扇區(qū)的最大應力分布圖Fig.12 Maximal stress distribution of blade-disk sectors

圖13 葉盤系統(tǒng)各扇區(qū)的應變能分布圖Fig.13 Maximal strain energy distribution of blade-disk sectors

由圖11～圖13可以看出，考慮失諧和氣動載荷后，葉盤系統(tǒng)各扇區(qū)的最大位移和最大應變能的波動明顯加劇，但最大應力變化較小，這說明失諧和氣動載荷加劇了葉盤系統(tǒng)振動的不均勻性。為了進一步探討失諧和氣動載荷對葉盤系統(tǒng)葉片振動的影響規(guī)律，繪制了表3。

表3 失諧和氣動載荷對葉盤系統(tǒng)振動的影響Tab.3 Mistuning and aerodynamic load effect on blade-disk system vibration

由表3可以發(fā)現(xiàn)：失諧和氣動載荷對葉盤系統(tǒng)的最大位移和最大應變能影響比較明顯，相對于忽略失諧和氣動載荷情況的偏差分別為13.79%和14.61%，而對最大應力的影響較小。可見，葉片失諧導致了葉盤系統(tǒng)不均勻振動的出現(xiàn)。葉盤系統(tǒng)處于非定常的流場中，流體誘發(fā)的顫振破壞了葉盤結構的振動穩(wěn)定性，故氣動載荷進一步加劇了失諧葉盤系統(tǒng)的振動。

3.3 失諧葉盤系統(tǒng)的瞬態(tài)振動特性分析

為了進一步研究壓氣機葉盤系統(tǒng)的動力學特性，本文以流場仿真獲得的各葉片的氣動載荷作為外部激勵，并考慮失諧因素和離心力的影響，求解了壓氣機葉盤系統(tǒng)的瞬態(tài)振動特性。提取氣動載荷作用下失諧葉盤系統(tǒng)的位移云圖和Mises應力云圖（圖14）。

圖14 氣動載荷作用下失調(diào)葉盤的位移和應力分布圖Fig.14 Displacement and stress distribution of mistuned blade-disk at effect of aerodynamic pressure

由圖14可知，與諧調(diào)葉盤系統(tǒng)不同，失諧葉盤系統(tǒng)各葉片所在扇區(qū)的位移云圖和應力云圖存在明顯的差異，這主要是由于失諧因素而導致葉片振動不均勻。經(jīng)過計算，得到了失諧葉盤系統(tǒng)在氣動載荷作用下位移和Mises應力的時域響應曲線，見圖15。

圖15 氣動載荷作用下失諧葉盤的時域響應曲線Fig.15 Time-domain response curves of mistuned bladedisk at the effect of aerodynamic pressure

由圖15可以看出，時域響應曲線在一定幅值范圍內(nèi)進行波動，計算已經(jīng)收斂。失諧葉盤系統(tǒng)的最大位移在2 mm以內(nèi)，明顯大于諧調(diào)葉盤系統(tǒng)的最大位移；最大Mises應力在1.1 GPa以內(nèi)，與諧調(diào)葉盤系統(tǒng)的最大Mises應力基本一致。

針對計算獲得的瞬態(tài)時域響應曲線進行頻域分析，獲得了氣動載荷作用下失諧葉盤系統(tǒng)的頻域響應曲線，見圖16。由圖16可以發(fā)現(xiàn)，氣動載荷作用下葉盤系統(tǒng)的位移和Mises應力的波峰位置基本一致，最大峰值出現(xiàn)在7 200 Hz附近，這與葉片受到的非定常氣動載荷頻率f0是一致的，說明氣動載荷作用下壓氣機葉盤系統(tǒng)的振動被激起。可見，氣動載荷對失諧葉盤的振動，尤其是高頻振動有著重要的影響。

圖16 氣動載荷作用下失諧葉盤的頻域響應曲線Fig.16 Frequency-domain response curves of mistuned blade-disk at the effect of aerodynamic pressure

4 結論

（1）基于Kriging模型插值后的壓力面、吸力面結構節(jié)點的氣動壓力分布與流場節(jié)點的氣動壓力分布吻合較好，說明利用Kriging模型進行氣動壓力載荷的傳遞具有足夠高的精度，可以滿足壓氣機葉盤系統(tǒng)流固耦合力學的計算要求。

（2）壓氣機葉片受到的氣動載荷為非定常脈動壓力，且壓力面和吸力面波動的主導頻率皆為動靜干涉頻率f0的倍頻，其中，一倍頻（f0）分量占有主導地位。在干涉周期T內(nèi)，動葉表面的壓力渦存在周期性的遷移與耗散，壓力面和吸力面氣動載荷的變化規(guī)律呈相反趨勢，就氣動載荷的大小、脈動幅值和頻譜峰值而言，壓力面明顯大于吸力面。

（3）忽略失諧和氣動載荷情況下，葉盤系統(tǒng)各扇區(qū)葉片的最大位移和應變能的幅值變化平穩(wěn)；而考慮失諧和氣動載荷后，葉盤系統(tǒng)的最大位移和應變能有所增大，且發(fā)生了明顯的波動。這說明失諧和氣動載荷的作用加劇了葉盤系統(tǒng)的振動，增加了葉盤系統(tǒng)振動的不均勻性。

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