“數學遇見春天”

高麗君 張宏偉

[摘 要]將集趣味性、廣泛性、神秘性于一體的斐波那契數列，以兒童化的方式置于小學數學課堂中讓學生進行探究，是對全景式數學教育“跨領域建設融合性數學項目課程”理念和“全方位、全時空、全身心、全自主”學習主張的踐行與落實。它融合了數學、科學、生物等多門學科知識，通過課堂教學和游學實踐相結合的方式，最終以項目課程的模式呈現，達成復習知識、提升能力、啟迪智慧、激發興趣、拓展數學視野、豐富認識、培養綜合素養的全景式數學教育目的。

[關鍵詞]全景式數學教育；學科整合；斐波那契數列；浪漫

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2018）15-0001-003

2017年春，和朋友小聚茶室，邊品春芽，邊倚窗賞綠柳春花。不知怎的，幾個朋友忽地就聊到了斐波那契數列（又稱黃金分割數列，指的是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……這樣一個數列）。斐波那契數列聽起來高深莫測，實則為一組符合一定規律的數字。也許是師傅那句話“數學老師要時刻用數學的眼睛看待一切，時刻思量如何整合出更具孩子氣、更飽滿有趣的綜合課程”引發了我的思考：“這不正是學生認識規律、認識自然、復習100以內加減法最好的課程資源嗎？”于是，“數學遇見春天”微項目課程如春花般綻放開來。在這個萬物復蘇的季節，我和學生走近自然，遇見了春天，遇見了科學，遇見了數學……給他們的童年留下了一份美麗、神奇、難忘的記憶。

游學前——浪漫感知斐波那契數列

斐波那契數列在人類發展史上有著舉足輕重的作用，它因與自然界有諸多的聯系而被稱作為神奇數列。這種具有遞推特征的數列在植物界中的體現最為明顯，如自然界中大部分花的花瓣數量就是斐波那契數。因此，“數學遇見春天”的微項目課程就從數花瓣開始，讓一年級學生發現大自然中很多事物都是按照一定的規律生長的，從中感受到大自然和數學的神奇，激發他們對數學的熱愛之情。

正值春暖花開，級部安排去世界花卉大觀園進行游學活動。根據一年級學生的心理特點和認知規律，游學前一天的晨誦時間，我帶領學生數不同花的花瓣。低學段學生看到美好的事物都很興奮，有很高的興致數數。教學過程如下：

師：現在各種花都開了，今天看看哪位“小蝌蚪”認識花的種類多。（話音剛落，學生眼里充滿期待）誰見過一片花瓣的花？（學生一時想不起來，于是師出示馬蹄蓮的圖片，學生驚嘆世界上還有這么美麗的花）

師：你們猜，我下面會讓你們說一說幾片花瓣的花？

生：1片花瓣的花，2片花瓣的花，4片花瓣的花……（學生根據自己的經驗爭論不休）

師：你們的思考都很棒！接下來，我的問題是你能再說出一種一片花瓣的花嗎？（在學生的期待中，師順勢出示花燭和2片花瓣的虎刺梅的圖片）

師：僅僅看數字1、1、2，能猜測這些花可能符合什么規律嗎？

生1：1+1=2，還不能確定。

（師繼續出示3片花瓣的鐵蘭）

生2：老師，我猜你下一步會出示5片花瓣的花。

師：為什么會這么認為？

生2：因為這幾個數字是有規律的，如1+1=2、1+2=3，把相鄰的兩個數加起來就是下一個數字，所以我猜測你下一步會出示花瓣數量是2+3=5（片）的花。

師：數學學習需要進行猜想，但猜想后必須要驗證，驗證之后才能見分曉。（師點擊PPT，畫面中出現三種5片花瓣的花，分別是洋紫荊、黃蟬、蝴蝶蘭，教室里頓時沸騰了！學生一方面驚嘆于花的美麗，另一方面猜想正確的喜悅大大鼓舞了他們）

生3：下面要出示8片花瓣的花，因為3+5=8。

（師出示8片花瓣的格桑花）

……

學生在這個過程中已經找到了規律，盡管有些隱晦，不似間隔相同數字那樣清晰，但他們的思維已經被激活。緊接著，我出示13片花瓣的雛菊和21片花瓣的紫菀給學生驗證，學生熱情不減。然后我不再出示花的圖片，而是讓學生運用規律計算出將要出現的數字，依次為1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89。這樣，我在輕松愉悅的氛圍里帶領學生復習100以內的加法，學生興致勃勃。

計算至此，我問：“算到89，還能繼續嗎？”一學生說：“后面還能不停地寫出很多個數，寫到我八十歲都寫不完！”這個學生的回答得到了大家的一致認同，但大家也被他“寫到八十歲都寫不完”的話逗樂了。提出這個問題，我的目的是讓學生嘗試理解數列的無窮性。在這個過程中，我發現一年級學生雖然不能用精準的數學語言描述數列的無窮性，但已經能夠在找規律過程中體會并理解數列的無窮性。

為了讓學生知道具有一定規律的一組數字叫數列，我問學生：“如果很多數字按照規律排成一列，應該叫什么呢？”學生猜測：“數字列。”我聽后喜出望外，引導學生改進名字：“如果去掉一個不太重要的字的話，你會去掉哪個字？”一生思考后回答：“我覺得‘字容易讓人想起漢字，跟數學關系不大，可以去掉。”……雖然一年級學生的認知水平有限，但不影響他們從字面上進行簡單、合理的判斷，而且學生的發現和創造也遵循了人類最原始的思維路徑。我進一步告訴學生：“這一列數字是由一個叫斐波那契的人發現的，所以它叫斐波那契數列。”……要知道，斐波那契數列的第一次正式出現是在人教版高中數學必修五學習數列概念后的課后閱讀部分。在這個發現規律的過程中，學生理解“1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89”這一列數字不是隨便的數字，而是具有一定的規律，蘊含了與數列相關的函數思想。這樣的認知過程與學生已有的知識經驗產生“化學反應”，激起學生的情感共鳴，引發他們對數學的熱愛以及對自然界的驚嘆，發現數學之美。

游學中——實踐探索斐波那契數列

1.戶外滲透數學思想

第二天去世界花卉大觀園進行游學活動，我專門設計了游學單（如下圖），以期培養學生記錄、發現、分析等方面的能力。同時，讓課堂上學習的內容再回歸到大自然中，學以致用，使學生進一步感受到數學與生活的密切聯系，發現自然的“密碼”（萬物皆數學），體驗到數學的應用價值。

學生需要記錄的內容包括花的名稱、顏色、花香程度、花瓣數量、花蕊數量等，需要解決的問題包括比較問題、相差問題、分類問題等。這樣不著痕跡地把數數、統計、比較、加減法運算等內容融入游學活動中，既鞏固了本階段學生所學的知識，又提高了學生學習數學的興趣。

2.延伸科學知識

斐波那契數列在自然界中的體現遠不止花瓣數量，我抓住游學活動這個契機，引導學生通過親身體驗繼續發現、探究，開拓知識視野，使他們體會到數學的神奇和無處不在。

游學活動時，我結合真實生長的樹進行現場授課：“一個新發的樹枝在第一階段主要吸收養分，不分叉，樹枝數量為1；第二階段繼續汲取營養生長，為分叉做好準備，但樹枝數量還是1；第三階段，生長時機成熟，分叉，樹枝數量是2；第四階段，老樹枝分叉，上一階段新發的樹枝繼續生長不分叉，樹枝數量為3；依次類推，樹枝數量依次為1、1、2、3、5、8、13……符合斐波那契數列的規律。”

此外，我還讓學生找到松果種子，數它的螺旋排列，發現順時針數是8條，逆時針數是13條，為斐波那契數；菜花表面排列的螺旋線，順時針數是5條，逆時針數是8條，為斐波那契數；還有向日葵的螺旋線也是斐波那契數……

游學歸來，我又在課間補充了經典的“兔子問題”：“1對小兔子→1對大兔子→1對大兔子+1對小兔子（共2對兔子）→2對大兔子+1對小兔子（共3對兔子）……”這個過程以動態PPT的形式展示，學生在“數數→猜測→數數”的過程中體會到數學的有趣。令我欣喜的是，故事還沒講完，就有學生聯想到樹枝分叉的情境，解釋說“小兔子需要生長一個階段之后再生小兔子”。學生把“樹枝分叉”和“兔生兔”兩個不同的例子聯系起來，說明他們既理解了兩者之間的共性，又體會到萬物生長的相似性以及數學解題模型之間的互通互聯。

游學后——初步精致化斐波那契數列

1.課堂的數學化

游學歸來，學生依舊沉浸在數花瓣的氛圍之中，我計劃用花瓣數量繼續進行單元復習。課堂上，我新建了一個空白的Excel表格，首先做了表頭，有“花名”“花瓣數量”兩項，然后在“花名”下面依次填入上一階段認識的花。沒等我輸入完，大部分學生都猜到要填入的花瓣數量。接著，我故弄玄虛，說要做一件大事，學生都靜靜地望著我。我熟練地“插入”柱狀圖，通過剛剛完成的數據表格，形成如下的柱狀圖。

師：這叫柱狀圖（全景式數學教育之“浪漫”認識），即用小柱子的長度表示數量。現在大家猜一猜，為什么有高矮不同的柱子呢？

[為什么要引入柱狀圖？在進行比較的時候，柱狀圖具有較強的直觀性，能幫助學生建立更具體、更形象的認知系統。]

生1：高矮不同的柱子跟花瓣的數量有關系，也就是說花瓣的數量越多，柱子越高，如馬蹄蓮和紫菀的柱子高度就相差很多。

生2：每個柱子的頭上都頂著花瓣數量呢！

師：從這幅圖中，你可以提出什么數學問題？（一共有八種花瓣的數據，給學生提供了充足的素材去提出數學問題）

生3：格桑花和雛菊的花瓣一共有多少片？這是一個用加法解決的問題。

（其他學生的思維被激活了，連續提出幾個用加法解決的問題，包括三個數相加、四個數相加、五個數相加等一系列的連加問題）

師：剛才提出來的問題都是用加法解決的問題，根據這幅柱狀圖，還能不能提出別的類型的問題呢？

生4：紫菀比蝴蝶蘭多多少片花瓣？這是一個用減法解決的問題。

師：請大家思考，這個問題除了可以這樣問外，還可以怎樣問呢？

生5：還可以問“蝴蝶蘭比紫菀少多少片花瓣”“紫菀和蝴蝶蘭相差多少片花瓣”，這三種問法都可以用同一個算式21-5=16解答。

……

復習課上，學生這樣的聯想能力讓我很興奮。緊接著，我又讓學生分別用這三種問法提問，以鞏固學生對這一知識點的掌握。就這樣，在輕松、愉悅的氛圍中，學生以同一個數學算式用三種方法提數學問題的方式“攻克”了本課的教學難點，且“提出數學問題并解答”本身已經高于“會做題”的認知水平。

師：由“……比……多多少”和“……比……少多少”這兩類問題，你還可以想到其他的問題嗎？

生6：看著這幅圖中高高低低的柱子，我想起第一單元“學說話”時“多得多”“多一些”“少得多”“少一些”等問題。如紫菀的花瓣數量比馬蹄蓮多得多，蝴蝶蘭的花瓣數量比鐵蘭多一些，花燭的花瓣數量比紫菀少得多，刺虎梅的花瓣數量比鐵蘭少一些。

……

然后我讓學生以小組合作的方式，用“多得多”“多一些”“少得多”“少一些”四個詞給同桌說四句話，以鞏固學生對這一內容的學習。至此，提問環節結束，整個過程，我以思維導圖（如下）的形式記錄下學生的所有回答并分類。這樣教學，使學生系統、全面地復習并鞏固了100以內各種類型加法、減法解決問題的題目，以及相應進位加法、退位減法的計算問題，這些問題包含甚至超越了一年級解決問題的所有類型。同時，我在教學中滲透了找規律、統計等知識，引導學生從整體的角度溝通了知識之間的內在聯系。

2.課后的拓展與延伸

基于課上整體的教學內容，我布置了兩項趣味性課后作業，以鞏固學生課堂所學的知識。

家庭作業（1）：運用斐波那契數列，破解老師家的14位wifi密碼。

第二天課堂上，學生都興奮地表示已經破解我家wifi的密碼——11235813213455，還有的學生表示自己家的wifi密碼已經改為斐波那契數列，原因是家長覺得這一列數字很有意思，而且可以作為孩子學習的一個紀念。

同樣是加法練習，變換形式會給學生帶來不一樣的情感體驗，使他們體會到加法并不僅僅可以用來解決“一共有多少”的問題，還有很多有意思的應用。這個做作業的過程，拓展了學生的數學認知范疇，并在學生的腦海中埋下數學有用、數學好玩的種子。

家庭作業（2）：用“畫正法”統計家里桌子、碗、筷子的數量，并比較誰的數量多、誰的數量少，最后列式計算相差多少。

這一作業與實際生活緊密聯系，看似簡單，只是數數桌子、碗、筷子的數量，實則融合了統計、比較、減法等知識，旨在提高學生解決實際問題的能力。

這個春天，我帶領學生在數學的世界里“花式數數”——數花瓣、數樹枝、數螺旋線、數餐具……實現了由“實物→圖形→數字”的逐步抽象過程，引導學生復習了100以內的加減法，使學生不僅學會發現規律、提出數學問題，還認識了奇妙的自然界。這種趣味性的學習，使學生在知識學習和情趣培養方面都有很大的發展，可謂“居室內，文理兼容，內外兼修，閱大千世界”。在這個過程中，學生發現數學那么有用、那么神奇、那么好玩、那么有意思！

我和我的“小蝌蚪們”永遠不會忘記，一年級我們循著季節時令，一起在美麗的大自然里吻醒了爛漫的春花，吻醒了冰冷的數學，吻醒了我們內心深處等待開啟的自己……

（責編 杜 華）