從對數感的表現性分析談小學生數感的有效培養

閆云梅

【編者按】建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。可以看出，數感是學生應當具備的一種數學素養，其掌握程度直接影響到學生能否以“數學的方式”觀察、思考生活中實際問題。本期話題“小學階段學生數感培養途徑”展開。

一、對數感的理解與認識

數感易于理解，但是很難界定。目前，國內外學者對數感的內涵有“意識說”“感知說”“直覺說”“能力說”等不同認識，這為數感的深入研究帶來了困難。茱莉婭.安吉萊瑞（英）指出：對數字之間關聯的意識，以及靈活地解決數字問題的能力稱為其對數字的“感覺”或“數感”。霍雨佳、郭成、楊新榮認為：數感是一種對數量非精確、快速的知覺過程。這種知覺過程具有以下兩個特點：第一，數感具有非精確性。第二，數感具有快速性。張力雄指出：數感是對數字關系和數字模式的意識，以及運用這種意識靈活地解決數字問題的能力。郭民、史寧中認為：數感是人們對數和數的關系的一種感悟，以及運用數字關系和數字模式進行推理與解決問題的能力。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數感主要指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。這里將數感定義為一種“感悟”，對廣大一線教師而言似乎缺少可觀察、可操作的描述。在《義務教育數學課程標準（實驗稿）》中，對數感的主要表現給出了詳細的表述：理解數的意義；能用多種方法表示數；能在具體的情境中把握數的相對大小關系；能用數來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當的算法；能估計運算的結果，并對結果的合理性作出解釋。這為我們觀察、研究與培養學生的數感提供了可參考的依據。

二、數感的表現性分析框架的構建

數感由哪些成分構成？數感有哪些具體的表現？有了關于數感的表現性分析框架，才會使數感的培養有的放矢。

張力雄認為，數感的成份有以下6個方面：對數的意義的理解；對數與數之間關系的理解；對運算意義的理解；用數表達與交流信息；選擇適當算法解決問題；靈活使用計算策略（包括估算、心算、筆算），并對結果的合理性作出解釋。郭民、史寧中認為，數感的構成要素應該包括以下6個方面內容：數的意義；數的表示；數的關系；數的運算；數的估算；數的問題解決。霍雨佳、郭成、楊新榮的觀點：數感是由數、運算、估計和情境所組成的一個四面體形狀的結構模型，數感的大小由四面體體積的大小所決定。（圖1）

與其他學者不同的是，霍雨佳、郭成、楊新榮強調了情境的重要作用。PISA測試中最為突出的一個特點，也是強調了試題的“情境”。參考PISA測試中對情境的分類及小學生的身心特點，結合《課程標準（實驗稿）》和上述學者對數感構成要素的分析，本文構建了對數感的表現性分析框架。

構建對數感的表現性分析框架有以下兩方面價值：1. 對數感的構成要素進行了清晰的分解，將不好把握的“感覺”與“感悟”用可觀察、可操作、可測量的表現性行為描述出來，使模糊的“數感”變得清晰可見。2. 便于教師反思、改進自己的教學。針對學生數感的培養，教師可反思自己已經做了什么，做的怎么樣，還有哪些方面沒有重視，及時跟進，使數感的培養更有實效。

三、人教版教材中有關數感學習內容的梳理

應用數感的表現性分析的框架，筆者對人教版小學階段教材中有關數感學習的例題（不包括練習題）進行了梳理，各方面內容數量整理如表1。

從上表可以看出，人教版教材在數感培養方面有以下一些特點：

1. 在教材整體編排上重視數感的培養。在小學階段，共計148道例題（不包括練習題）的編排都體現了對學生數感的培養，而且無論是從“構成要素與表現”的維度看，還是從“情境”的維度看，都有所涉及，覆蓋比較全面。

2. 在“數與關系”方面編排內容較多，在“運算”和“估計”方面編排的內容較少。教材在“數與關系”方面編排的例題共99道，在“運算”方面編排24道，在“估計”方面編排25道，題目數量差異較大。實際上，數感的培養不僅僅體現在有關“數”的學習中，更多的體現在數的應用中，也就是選擇合適的算法和估計方面的內容應有所增加。

3. 學習的情境較為單一。

教材中所編例題的學習情境大多為“個人生活情境”和“社會生活情境”，數量分別為58道和65道，且“社會生活情境”中所涉及的內容也都是學校生活、游樂場及購物情境，而“科學情境”和“職業情境”均為11道，題目數量明顯不足，應引起教育者對這兩方面情境的重視。另外，由于目前所倡導的學習情境力求真實，根據兒童的學習特點和心理特征，童話情境可以適當編排但不宜過多。

四、培養小學生數感的教學策略

1. 開發與積累豐富的學習情境，為數感的培養提供多樣化的教學資源。

研究表明，數感的形成和發展與學習情境有著密切的聯系，學習情境越豐富多樣，學生的數感發展越好。因此，教師應在尊重教材的基礎上，不斷開發與積累更為豐富的學習資源，特別是有關“科學情境”和“職業情境”方面的素材，讓學生在豐富的現實情境中進一步體會數的意義，感悟數與數量的關系，并在用數解決問題的過程中，不斷提升數感發展的水平，同時也使學生其他方面的素養（如科學精神、實踐創新等）得以培養。

2. 加強數的意義的學習，為數感的發展夯實基礎。

學生對數的意義的理解是數感發展的基礎。數的意義的學習包括數的數學意義和現實意義兩方面內容。數學意義主要指的是“數”是由計數單位及其計數單位的個數構成的，其背后滲透的是十進制和位值制。除數學意義外，數概念還蘊含著豐富的現實意義，例如自然數、小數和分數表示數量的意義；自然數表示順序的序數意義；分數還具有表示“關系”的“率”的意義等。學生理解數的多維多重含義的重要表現就是能用多種方法表示數，即數的多模式表征與數的等價性表征。數的多模式表征是指用實物、不同的學具（如點子圖、幾何圖形、小棒、第納斯木塊、計數器、數線圖等）、數學符號等多種方式表示數。學生對數的表征模式越多，并能實現多種表征模式的相互轉換，對數的理解就越深刻。數的等價性表征形如：24=20+4=12+12=6+6+6+6=4+4+4+4+4+4=25-1=30-6=3×8=4×6=12×2=48÷2=……數的等價性表征越多越靈活，在解決問題時，學生才會根據數的特點靈活選擇某種形式解決問題。因此，重視數的意義的教學，鼓勵學生用多種方法表示數，是培養學生數感的首要條件。

3. 增強培養學生數感的意識，讓數感的培養滲透在各方面。

教材中有關培養學生數感的例題共148道，但實際教學時遠不止這些，關鍵還要看教師如何使用教材。教師如果具備了培養學生數感的意識，面對同樣的內容，采用不同的處理方式，效果會截然不同。例如：在有關統計的學習中，面對搜集與整理后的數據，引導學生結合情境體會數的現實意義，感悟數與數之間的關系，再作出分析和判斷，既發展了數據分析觀念，也發展了學生的數感。在計算教學中，教師不急于計算方法的教學，可以組織學生先對數據進行觀察，對運算的結果進行估計，再根據數據特點選擇合適的算法；在圖形與幾何的學習中，教師可以組織學生進行估測，體會數量的實際意義；在問題解決中，讓學生對結果進行估計，也可以對結果的合理性作出解釋……這些都是對學生數感的培養。無心的教師會認為數感看不見、摸不著，有心的教師會發現數感無處不在，因此增強自身培養學生數感的意識至關重要。

4. 轉變教學評價方式，確保數感培養的有效落實。

數感是學生重要的數學素養，對它的評價也不能用“對”與“錯”或者“好”與“不好”來區別，如何判斷學生數感的發展水平？這就需要教師能設計展現學生數感的“表現性任務”，包括解釋性任務、設計性任務和問題解決性任務，將學生“內隱”的思維“外顯”出來，再依據學生的不同表現，將他們的作品劃分為不同的層次水平，即表現性評價。通過展示、交流、研討不同水平學生的作品，讓學生看到低水平與高水平之間的差距，引領學生由低水平向高水平發展。運用表現性評價，既可以促進教師教學內容與方式的變化，又使學生在數感某一方面的發展水平清晰可見，確保數感培養的有效落實。

（作者單位：北京教育學院石景山分院）