淺談如何有效進行“分數乘除法解決問題”的教學

嚴賽華

在小學數學教學中，分數乘除法解決問題歸納起來可以分為兩類：①求一個數的幾分之幾是多少；②已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數。但在具體解題過程中又有多種變化，學生（尤其是成績處于中下游水平的學生）很難把分數乘除法解決問題的數量關系與生活實際聯系起來，理解就比較抽象，教學常常陷入“教者無趣，聽者乏味”的困境。那么，教師應如何走出困境？

一、幫助學生找準單位“1”的量

進行分數乘除法解決問題的教學，關鍵是抓住題目中的關鍵詞句，根據具體的情境確定“誰”是標準量。如男生人數是40人的 ，女生人數的 是40人，男生和女生分別是多少人？引導學生思考：兩個“ ”分別是把“誰”平均分成了5份？不難看出“40人的 ”是把“40人”平均分成了“5份”，標準量是“40人”；“女生人數的 ”是把“女生人數”平均分成了“5份”，“40人”是占其中的“4份”，標準量是“女生人數”。又如“水結成冰，體積增加 ”和“冰化成水，體積減少 ”教師在教學時要引導學生明確以“原來的量”為單位“1”。學生通過對比得出：前者是先有水再有冰，體積增加的部分占“水”的 ，是以“水”為標準量；在“冰化成水，體積減少 ”中，是先有冰再有水，減少的部分是占“冰”的 ，是以“冰”為標準量。

二、有效運用畫圖策略，幫助學生找出數量關系

分數乘除法解決問題中的數量關系比較復雜，教材或教輔中所提供的現實素材變化多樣，在問題的表述上經常使用“鴨的孵化期比雞長幾分之幾”“普通列車比它慢幾分之幾”等形式。因此，教師可以引導學生通過畫線段圖直觀地理解題意，找出題中內在的數量關系。

習題1：自來水廠計劃投資改造自來水管道，經優化設計方案，實際比計劃節約了 ，實際投資300萬元，計劃投資多少萬元？教師引導學生畫出線段圖，邊畫邊思考以下幾個問題：①先畫哪個量？為什么？（因為計劃投資的金額是標準量，要先畫出表示計劃投資額的線段）。②表示實際投資的金額怎么畫？（將表示計劃投資金額的線段平均分成3份，表示實際投資金額的線段占這樣的2份），把條件和問題簡單明了地在圖上標注出來（圖1），學生就能根據線段圖清晰看出本題的數量關系是：計劃投資金額-計劃投資金額× =實際投資金額，計劃投資金額×（1- ）=實際投資金額。

習題2：乙數比甲數少 ，那么甲數比乙數多幾分之幾？

很多學生看到該題極容易出現數量關系認知混亂。此時，教師可以引導學生根據習題中前半句的題意畫出簡單線段圖（圖2），再根據線段圖判斷“甲數比乙數多幾分之幾”就容易多了。

習題3：汽車隊要運輸一批水泥，第一次運走了全部的 ，第二次運走了全部的 還多4噸，剩下21噸，這批水泥一共有多少噸？

教學中，教師引導學生畫出線段圖，先把這堆煤平均分成3份，分別表示出第一次和第二次運走的，以及剩下的（圖3）。再引導學生根據線段圖找出數量關系“煤的總噸數-總噸數的 ×2=4噸+21噸”，或找出4噸和21噸之和所相對應的分率“1- - ”，解題就顯得容易多了。教師要教給學生畫圖的方法，明確“部分量與總量之間的關系，用一條線段表示；兩個數量之間的關系，用兩條線段表示”。

三、縱橫溝通，使學生深刻理解分數實際問題中的數量關系

學生掌握分數乘法解決問題的有效途徑是及時進行有效的對比練習，要對比問題的內容、敘述方式、解題方法之間的異同點，教師引導學生抓住知識間的聯系，深入反思，豐富他們的知識結構，從而發展數學思維，培養學生良好的學習習慣。

1. 要區別分數不同的意義：表示具體的量和兩個數的倍比關系。

習題4：

（1）甲筐有30千克蘋果，賣出 ，還剩多少千克？

（2）甲筐有30千克蘋果，賣出 千克，還剩多少千克？

在練習中，學生經常分不清列式是“30- ”還是“30-30× ”。出現這種現象的原因是因為學生還沒有理解分數表示的兩種意義。筆者是這樣引導學生的：第一題的“賣出 ”是把30千克平均分成5份，賣出的部分占其中的2份，這個“ ”是“分率”不帶單位，是表示“賣出的部分”和“30千克”之間的關系，要先求出賣出的具體千克數，再把30千克減去賣出的千克數，列式為“30-30× ”；也可以這樣想，“把30千克平均分成5份，賣出2份，剩下3份，也就是剩下的部分占30千克的 ，列式為“30×（1- ）”。而第二題中的“ 千克”帶單位，是賣出蘋果的千克數，是具體的數量，直接列式為“30- ”。筆者要求學生今后遇到類似題目，要先判斷題目中的分數是表示“具體的量”還是表示“分率”，再動手解題。

2. 兩道題中的已知具體數量相同，但數量所對應的分率不同。

習題5：

（1）一臺彩電降價 后比原價少600元，這種彩電原價是多少元？

（2）一臺彩電降價 后售價是600元，這種彩電原價是多少元？

筆者一出示這兩道題目，學生中出現不同的反應。筆者讓學生先思考，想一想“哪里一樣，哪里不一樣”后就有了以下對話。生 ：“兩題都是說實際售價比原價少了原價的 ，都是以原價為標準量。”生 ：題（1）中的600元就是實際售價比原價少的部分，這里的600元所對應的分率是 ，即原價的 是600元。”生 ：題（2）中的600元是指實際售價比原價少了原價的 后剩下的錢數，600元應該是占了原價的 ，也就是說已知原價的 是600元。”筆者：“看來，解決分數乘除法實際問題時，找出具體量的“對應分率”至關重要。”

3. 讓學生補充不同的條件和問題，列出不同的乘除法算式。

習題6：

（1）五年級有學生120人， ，六年級有學生多少人？

（2）一段公路長900米，甲隊修了25%，乙隊修了28%， ？

通過這部分的練習，加強學生進一步掌握“求一個數的幾分之幾是多少”和“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”兩類解決問題之間的區別和聯系。

教師在教學中引導學生進行問題的縱橫溝通，學生養成主動對比的學習習慣，在對比中感悟信息，排除情境因素干擾；減少解題策略的思維定勢，培養學生的批判性思維，養成主動反思的學習習慣，這些對學生來說比獲得知識更為重要。

總之，教學有法，但無定法。教師在分數乘除法解決問題的教學中，應調動學生的學習積極性，設計合理的教學方法和過程，使教學變得生動有趣，與此同時，提高學生的觀察、操作、分析和推理能力，使我們的教學更有成效。

（作者單位：福建省閩侯縣荊溪中心小學 責任編輯：王彬）