致廣大而盡精微
——記北京大學數學科學學院教授宋春偉

本刊記者 范佳樂 李 剛

即使埃斯庫羅斯被人們遺忘了，阿基米德仍會被人們記住，因為語言文字會消亡而數學概念不會。“不朽”可能是缺乏理智的用詞，但或許數學家最有機會享用它，無論它意味著什么。

——G·H·哈代

宋春偉在中國數學會學術年會作報告

在現代科學中，很難想象有什么問題能簡潔而清晰地提出，但解答過程卻漫長而久遠，在浩如煙海的知識進攻下巋然不動。如果要揪出一二，那么或許該將矛頭指向現代數學發展史，指向令世間智者困擾358年的費馬大定理，以及首個獲解決的千禧年大獎問題——龐加萊猜想……

數學是一種最純粹的思維形式，對局外人而言，它似乎總和枯燥、乏味脫不開干系。但在宋春偉的認知中，人們普遍的誤解似乎只不過予以數學一層神秘的面紗，“無論是專業的數學工作者，還是初踏入研究生院抑或跨入大學殿堂不久的年輕學生，乃至對數學產生懵懂興趣的幼童，只要‘開了竅’，大抵都能感受到數學的美和純凈。”

在組合數學這一現代研究領域，宋春偉盡可能開墾出一片天地，他說因為興趣所在所以甘之若飴。研究過程中面對不可預期結果與進程的困難，焦慮感與沮喪感也會存在，但并不會成為他享受突破重圍那一刻狂喜的絆腳石。不為名利所困，不掛焦躁之態，宋春偉秉持學者為己的信念而行，致廣大視界于數學問題研究的精微之地。

幼稟天賦，選擇與堅持

“和人們想象不同，數學的成分并不主要是計算，它更需要嚴謹的證明來確立結論，也需要對數學理論和現象的深刻理解。”數學更貼近于哲學，因反映客觀真理、不以人的意志轉移而獨具魅力。

在四五歲的年齡，宋春偉已經表現出特殊的天賦。他酷愛數學，能夠心算比較復雜的乘除法，成為遠近聞名的神童，“那個年代很多小孩子都立志做‘科學家’，數學好的則特別指明要做數學家，我也不例外。不過我屬于比較有根據并且一直堅持下來的。”經過選拔，宋春偉從小學到中學參加了各類奧數競賽，每個周末都參加全市統一組織的奧校，不斷獲得免試或保送資格，直至作為奧數比賽優勝者進入吉林大學數學系的國家數學基地班。稍早時候，他的一位中學學長，東北第一位IMO金牌得主俞楊也選擇了來吉林大學數學系求學。但當時吉林大學數學系最具優勢的學科為偏微分方程和計算數學，宋春偉了解后發現自己志不在此，于是決定在研究生階段赴海外去看看。

憑借優異的成績，他獲得全額獎學金前往美國賓夕法尼亞大學數學系攻讀直博。賓夕法尼亞大學是馮友蘭的講學之處、梁思成的求學之所，數學系更有著Calabi、Kadison、Kirillov等多位名家大師。在那里，宋春偉感受到濃郁、活躍的學術氛圍。賓夕法尼亞大學數學系教授Herbert S.Wilf曾獲得美國數學會Steele杰出研究獎，其學術淵深而富有智慧，給予他很多啟發和幫助。在讀書的那些年，著名組合學家Persi Diaconis、Noga Alon、George Andrews等都來做過報告，會后賓主共進晚餐，宋春偉遂得以增廣見聞。而后Wilf退休，他師從James Haglund教授，并以組合數學為自己終生從事的志業。

博士畢業后，宋春偉先后赴美國波士頓學院、日本東京工業大學任教。其中，他在東京工業大學是作為該校每年全球選聘兩人的“先端特別數學講座”主講教授，也是當時東京工業大學眾多中國學生學者里唯一的一位獨立教員。他說，因為回國工作是自始至終的夙愿，所以一直都在找機會，于2006年入職北京大學實在是莫大的幸運。“北大數學系是中國現代第一個大學數學科系，從1913年算起已百年有余。這里云集了國內優秀的數學人才，有著深厚的學術積淀和純凈的研究氛圍，這是最吸引我的地方，也讓我最有歸屬感。”在北京大學數學科學學院優越寬容的環境下，宋春偉得以潛心治學，“探組合之謎，究天人之道”。不標榜成績，常存敬畏之心，他繼往而彌新，在前人研究的精髓之上突破、創造。

匠心獨具，做優美的數學

現代數學可以分為兩大類：一類是研究連續對象的，如分析、方程等；另一類就是研究離散對象的組合數學。

提出問題，從特殊現象出發，歸納成為抽象理論且加以推廣，或簡化原理、加深理解，或理論統一、付諸應用領域，數學發展如此，組合數學發展亦如此。從宋春偉的介紹中，記者了解到，組合數學是一門研究滿足一定條件的組態存在性、計數、構造及獲得極值等方面問題的學問。大部分組態呈現高度的規律性，“比方說，在極值圖論中有一個以匈牙利數學家Turán命名的定理：在所有n個頂點而不含k-團的圖中，邊數最多的圖是一種盡量均勻對稱的(k-1)-部圖，并且這種圖是唯一的‘極圖’”。

宋春偉說，數學有些東西不深入了解便無法窺得其中奧妙，由于現代工業文明的高度分工，很多研究看不出直接應用在哪里，但實際上其正在為科學發展和技術突破提供支撐、相互推動。

作為基礎數學古老而又新興的分支，組合數學受計算機發明產生的連帶效應影響發展迅速。“離散對象的處理是計算機科學的核心，研究離散對象的組合數學因此得到迅猛發展。理論計算機領域特別是算法分析相當依賴組合數學。反過來，計算機科學中的問題成為組合數學發展的一個重要源泉。另一方面，我們的研究工作雖然很大程度上仍依靠人的創造力和靈感，但日漸強大的計算機也為解決難題提供了便利。”宋春偉解釋道。

將計數組合學與圖論作為主要研究領域，宋春偉表示，格路徑、組合統計量、置換、集合劃分等是他研究的主要對象，同時也會涉及到圖論中的重要參數、有關極值的研究以及圖的計數等。“組合數學的要旨之一是‘不計而計’，強調有意義的雙射和組合闡釋。”在遠古時代，人們便有著計數的行為，利用樹枝、石子等進行簡單計數。隨著文明的進步發展，簡單計數已經無法滿足需求，用現代數學工具武裝起來的計數組合逐漸發展成一門公理化、體系化的學問，日益受到數學家們的重視。“有時候我們可能得不到準確的結果，但可以獲得一個近似的結果。我所關注較多的是圖中有重要意義的參數和一些極值的性質。這些和計數始終有著關聯。”宋春偉說。回國后，受到原“973”項目、國家自然科學基金的資助，獲首屆“黃廷方/信和青年杰出學者獎”等，他坦言心存感激。

宋春偉提出并發展了一些優美的數學定理，他的研究成果往往有獨得之妙。著眼于廣為關注的卡特蘭數研究，他早期就曾引入一種稱為“置換路”的相當直觀的格路徑，并找到其與n階置換群之間的一種保組合統計量的雙射，這個映射當限制在Dyck路上時恰好成為保組合統計量的312-禁模式置換與Dyck路之間的對應。與特殊計數序列相關的關于組合統計量的研究牽涉到組合學的核心，在近年的研究中方興未艾。他得到的關于m-Schr?der路徑的計數結果被數學家Sloane的整數序列大百科網站OEIS收錄為新的數列。

在n階置換群上關于兩個組合統計量des和inv的聯合分布多項式可以看作歐拉多項式的關于逆序數的q-模擬。著名組合數學家Stanley等給出過它的生成函數表達式。由于可以在n乘n格板上表示置換，宋春偉和合作者考察的更一般的限制在Ferrers板上的那些置換的聯合分布多項式就成為一種推廣。他們找到一個通過關于Ferrers板內格路徑面積多項式的“正行列式”來表示該聯合分布多項式，如果限制在截角方板上還有更明確的表達式，可以從另一個角度解釋金芳蓉教授等獲得的一個結果。因為以上這些工作，美國斯普林格出版社邀請他撰寫一部關于格路徑和特殊計數序列的專著。

在標記樹的計數方面，宋春偉證明了n+2個頂點之上、使得0的最小鄰居是葉子的標記樹之個數恰好為nn，并且隨著n的增大，這種樹出現的概率將逼近e-2。這可以稱之為幼子獨身樹的計數定理。時至今日得到這種形式如此簡單的、前人沒有發現的結果確實有些令人驚訝。另外，該形式還可以推廣到具有遺傳性質的代代幼子獨身樹，獲得有關的結果。

宋春偉的另外一個研究重點是關于極值圖論、圖的參數和圖的結構以及與概率有關的組合數學。他近期研究過一個有趣的與概率相關的問題。假設女孩投擲的硬幣正面向上的概率為q，而男孩投擲的硬幣正面向上的概率為p，但q＜p，即男孩有利。令f(n)表示n次后女孩比男孩的硬幣正面多的概率，這是一個有些復雜的二重求和。他的老師Wilf與合作者證明了f(n)是單峰的，并且通過勒讓德多項式給出差分的表達式，但是他們的證明需要依靠多元形式的Zeilberger算法。宋春偉和合作者的工作則通過積分表示給出了更一般的允許女孩多擲r次、考慮女孩比男孩多得到至少d個正面的概率問題，這就多了兩種維度。從他們的結果可以得到Wilf等人的結果，并且僅僅用到了概率分析，在方法上更值得關注。

“當今，數學發揮著越來越大的作用。它不僅僅是工具，更是一種文化，這種文化體現了一種探索精神。”迎難而上，宋春偉針對現代組合學先驅Herbert J. Ryser提出的關于r-部超圖上匹配數與覆蓋數的猜想開展了研究。經過一番嘗試、求索，他同合作者轉換思考角度，給出了臨界情況下相交超圖最少邊數的一些構造和證明。他們的研究成果獲得國際上領域內人員的廣泛引用和認可。

建設中國的組合數學

由于需要傳承和積累，和多數自然科學的分支不同，數學家天然兼具研究和教學兩方面的職責。

在日本東京工業大學授課時，宋春偉用英文寫過一部題為“Topics in Advanced Combinatorics： Extremal Combinatorics and Algebraic/Probabilistic Methods”的講義。回國后他曾給有關專家看過，但沒有正式出版。后來將講義中的一些材料融進合作的《組合數學》一書中，形成關于代數方法和概率方法的兩章，而這兩部分內容在國內著作中是比較新穎的，起到介紹新知識的作用。書中的很多內容體現了他的組合數學思想。

宋春偉表示，如今許多青少年未能充分感受到數學的美和純凈，他們或是尚未接觸到最優雅的數學，或是因課業壓力、缺乏足夠的引導等客觀原因使然。不過他堅信，數學研究不會因此而蒙塵，因為只要踏入數學花園略窺堂奧即不難欣賞到數學之美的動人心魄。他指出，數學的強大在于其為自然科學的基礎，在人才的培養上有著不可替代的作用，于國家而言是長遠發展核心競爭力的關鍵。如同華羅庚在《大哉，數學之為用》一文中的精彩論述：數學是一切科學得力的助手和工具。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個方面，無處不有數學的重要貢獻。

“讀史閱世，我認為人生該當盡到社會責任，同時亦尊重各種各樣的生活方式。然而做學術相較于其他報酬更高的工作，這兩者對我來說，吸引力可說是云泥之別。”宋春偉說。即使今天，面對國外高校拋來的條件優厚的橄欖枝，他不為所動。他欣然看到如今國內治學研究的發展變化，看到更多優秀的年輕人選擇數學、在國內脫穎而出或者學成歸國，更多年輕一代從重視物質、生存、實用的價值觀中脫離出來，視興趣為人生選擇的重要標尺。

在學術服務方面，作為一名“外國專家”，宋春偉應邀為美國國家安全局評審基礎數學方面的基金項目、為南非評審“國家A級研究者”。他兼任中國數學會理事、北京數學會常務理事和秘書長，在中國科協組織的“中學生英才計劃”學生團、全國中學生“數學之星”夏令營面向青少年作科普報告。

致力于學術的同時，宋春偉還是一位嚴格但又開明的老師。他認為對博士生來說，應以學術志業為主要目標，自己新培養的博士生最理想的出路應是留在大學任教、繼續從事組合數學研究。但同時他強調，希望學生首先做一個正直、有責任感和幸福的人，要有風骨，人生規劃應切合自身實際。針對學生的多元化選擇，宋春偉表示尊重，他希望無論是日后投身學術研究還是進入企業謀職，每一個人都能在各階段有所收獲，成為有益于社會的人才。

“理想中，學者所有的時間都屬于學術時間”，宋春偉鐘情于純粹的智識學術，特別看重智力價值和精神財富。他不是普通意義下的工作狂，然而覺得度假、鍛煉等生活的每一時刻都可以看作學術人生的一部分，這是學者渾然天成的生活方式。帶著這樣的想法，宋春偉對未來有一份希冀：再建立幾個重要的定理，發展更有影響的理論，培養一批優秀的學生，為北京大學的組合數學建設、組合數學在中國的發展做出有力貢獻！