基于幾何代數的并聯機構自由度自動化分析

杜 鵑 吳洪濤 楊小龍 李 耀

(南京航空航天大學機電學院， 南京 210016)

0 引言

機構自由度是指機構具有確定運動時所必須給定的獨立運動參數的數目[1]。自由度分析是機構應用的前提和基礎。然而，并聯機構作為閉環運動鏈，一般機構自由度計算采用的G-K公式很難得以正確應用。黃真等[2-3]提出的基于約束螺旋理論的自由度分析方法和修正G-K公式是目前最通用也是最有效的并聯機構自由度分析方法，能解決幾乎所有并聯機構的自由度問題，包括復雜過約束機構，如Bennett機構等[4]。但是基于約束螺旋理論的自由度分析方法在求互易螺旋時需要求解線性方程組，雖然數值求解簡單，卻很難得到符號或解析表達式。文獻[5-6]基于幾何代數提出了一種新的自由度分析方法，得到了并聯機構自由度的符號表達式。螺旋理論中互易螺旋的求解，幾何代數中可以通過對偶的符號表達式來實現，該過程不需要求解線性方程，只涉及幾何代數框架下的加法和乘法。不僅如此，由于并聯機構動平臺的運動空間是各支鏈運動空間的交集，然而集合并沒有交集運算法則，因此基于螺旋理論的自由度分析方法需要首先求解互易螺旋，即支鏈集合的補集，再通過對補集求并集的運算法則，間接得到動平臺運動表達式。但是在幾何代數框架下，集合的交集和并集均有直接的運算法則，即交集運算可以通過內積運算法則實現，而并集運算可以通過外積運算法則實現[7]。因此基于幾何代數的自由度分析方法能通過對支鏈運動直接求內積得到并聯機構自由度，不需要通過求解補集，即約束螺旋間接得到動平臺運動空間，減少自由度求解步驟，使運算更簡潔。

但是，無論是基于螺旋理論還是幾何代數的并聯機構自由度分析方法主要是基于手工求解，難以滿足快速分析成千上萬機構自由度的需求。機構的構型創新是機械裝備原始性創新的重要內容，構型綜合是構型創新的有效手段[8-9]。隨著計算機技術的發展，建立基于計算機技術的數字化構型綜合理論，進而實現機構概念創新設計的自動化、可視化、網絡化和智能化是機構學研究的趨勢。而并聯機構自由度數字化、程序化、自動化分析是并聯機構數字化結構綜合的基礎。曹文熬[10]基于螺旋理論提出了一種空間并聯機構自由度自動化分析算法，并成功應用于數字化結構綜合中。該方法通過螺旋之間的垂直、平行等幾何關系，在已知支鏈第一個運動螺旋的情況下，自動求解支鏈的所有螺旋，從而實現并聯機構自由度自動化分析。文獻[5-6]基于幾何代數的自由度分析方法也可利用類似過程，得到自動化分析算法。但是這些方法都無法得到符號表達式，因為通過幾何關系如垂直、平行等求解相鄰螺旋仍然是一個線性方程求解過程。事實上，任意一個螺旋都可通過另一螺旋的旋轉和平移運動得到，而幾何代數的另一優勢就是能符號描述幾何元素的剛體運動。但是，文獻[5-6]所用的R(6，0)幾何代數空間，由于不是零向量空間，因而沒有平移變換的符號表達式[7]，從而無法用符號描述運動螺旋間的幾何關系，進而無法通過符號表達式實現并聯機構自由度的自動化分析。

R(3,3)幾何代數空間[11-12]與R(6,0)幾何代數空間同為六維幾何代數空間。R(3,3)不僅具有R(6,0)的優勢，還存在螺旋的符號表達式，從而可實現符號描述并聯機構自由度，同時還能夠符號描述平移和旋轉運動。本文基于R(3,3)幾何代數空間提出一種并聯機構自由度自動化分析算法。

1 R(3,3)幾何代數

1.1 幾何代數

幾何代數又稱為Clifford代數，由CLIFFORD[13]在1876年首次提出，隨后HESTENES[14]將Clifford代數進行幾何意義上的解釋，使之更加完善。幾何代數是一種完全不同于傳統代數的計算框架，已被廣泛應用到機器視覺[15-16]、計算機圖形學[17]和機器人學[18]等領域。

n維幾何代數空間表示該空間由n個正交基e1,e2,…,en組成。然而與歐幾里得空間不同的是，幾何代數空間中基的長度可以為正，可以為負，也可以為零。一般為

幾何積是幾何代數特有的乘積運算符。向量a和向量b的幾何積定義為

ab=a·b+a∧b

其中a·b表示向量a和向量b的內積，a∧b表示向量a和向量b的外積。關于內積和外積，有以下運算法則

eiei=±1,0ei∧ei=0
eiej=0ei∧ej=-ej∧ei(i≠j)

同時，在幾何代數空間中，向量a的長度可以用內積描述為

‖a‖2=aa

(1)

通常，用eijk簡化表示ei∧ej∧ek。由n個單位基組成的偽標量定義為

I=e1∧e2∧…∧en=e12…n

向量A的對偶為A的正交補，定義為

D=AI-1

其中I-1=en…21

式中I-1——偽標量I的逆

更多關于幾何代數的定義和定理見文獻[19]。

1.2 R(6,0)幾何代數空間

文獻[5-6]基于R(6,0)幾何代數空間提出了一種新的并聯機構自由度分析算法。R(6,0)是一個六維幾何代數空間。設e1、e2、e3、e4、e5和e6是R6的一組單位正交基，其中

則螺旋理論中的螺旋

$=(v1,v2,v3;b1,b2,b3)

在R(6,0)幾何代數空間中可寫成

l=v1e1+v2e2+v3e3+b1e4+b2e5+b3e6

由式(1)可知，l的長度為

在幾何代數中，無論是旋轉算子還是平移算子，都具有保長性，即向量經過平移或旋轉后，自身長度保持不變。然而在R(6,0)幾何代數空間中，若t為平移向量，則

‖l+t‖2=(l+t)(l+t)=
‖l‖2+‖t‖2+2lt≠‖l‖2

因此，R(6,0)幾何代數空間中沒有平移算子。同時，幾何代數空間中向量具有平移算子的前提是該向量的長度為零，稱為零向量[7]。例如，共形幾何存在平移算子是由于共形幾何中的向量是零向量，即

因而，為了將平移算子和旋轉算子應用于螺旋，從而實現并聯機構自由度自動化分析的符號描述，需要尋找一個新的空間，該空間需要既能符號描述螺旋，還能符號描述對螺旋進行平移和旋轉的剛體變換。

1.3 R(3,3)幾何代數空間

但是這一組正交基向量主要用于計算，不用于幾何元素的描述。為了描述螺旋，定義以下一組基向量，稱為Witt基[20]。令

計算可知，該組基向量為零向量，因為

同時該組基向量并不是兩兩正交，其中

e1e4=e2e5=e3e6=-1

那么，螺旋理論中的螺旋

$=(v1,v2,v3;b1,b2,b3)

在R(3,3)幾何代數空間中可寫成

l=v1e1+v2e2+v3e3+b1e4+b2e5+b3e6

這里，l也為零向量。

R(3,3)幾何代數空間不僅能符號描述螺旋，還能符號描述剛體運動。單位矢量為t=(t1,t2,t3)，平移距離為a的平移算子在R(3,3)幾何代數空間為

(2)

旋轉描述較之于平移描述略微復雜。繞過原點u=(u1,u2,u3)軸，旋轉角度為θ的旋轉算子在R(3,3)幾何代數空間為

R=1+sinθB+(1-cosθ)B2

(3)

對于R(3,3)模型中的任意螺旋，其剛體運動都可描述成

(4)

(5)

不僅如此，若螺旋li+1為螺旋li繞u軸旋轉θ后沿t軸平移a所得螺旋，則R(3,3)形式可寫成

(6)

因此，任意一個螺旋都可通過另一螺旋的剛體變換得到。例如螺旋l2=e2+2e4+e6可以由螺旋l1=e1+e6沿z軸旋轉90°后再沿z軸平移2個單位得到，即

基于螺旋之間剛體運動符號表達式，可以實現并聯機構在已知分支第一個運動副螺旋的情況下，自動求解該分支所有螺旋系，進而實現并聯機構自由度的自動化分析算法。

2 基于幾何代數的支鏈運動空間自動求解

2.1 構型描述

為實現并聯機構自由度自動化分析，首先需要建立便于計算機程序識別的字符串構型描述，這一字符串描述包含機構自由度分析所需的所有必要信息。螺旋的相關性能通過初等變換的方式來判定，但從幾何角度判定更加簡潔[21]。基于幾何關系的并聯機構字符串描述更加直接。使用文獻[10]中的字符串定義方法。表1為相鄰軸線之間的6種幾何關系以及符號描述，其中垂直為兩螺旋異面情況，正交為兩螺旋共面情況。

表1 相鄰軸線幾何關系的描述Tab.1 Representation of geometric relationships between adjacent axes

機構中常見的單自由度運動副為轉動副(R)和移動副(P)。復合副如球副(S)、虎克鉸(U)和圓柱副(C)都能看作是單自由度運動副的組合。一般地，將分支看作只由單自由度運動副組成，并將單自由度運動副從靜平臺到動平臺依次編號為1,2,…,t。若一個移動副和一個轉動副正交，那么字符串根據表1可描述為P+R。球鉸(S)可描述為R+R*R，其中*表示正交于前兩個軸線所成平面。并聯機構3-RPS有3個相同的RPS分支運動鏈，其中R與定平臺相連接；P為驅動關節，與R正交；S與動平臺相連接。因此每個分支運動鏈的計算機構型字符串可以描述為R+P|R+R*R。

通過幾何關系分析可知，任意軸線都可由另一已知軸線通過平移和旋轉的剛體變換得到。例如若一個螺旋平行于另一個螺旋，那么該螺旋可以由另一個螺旋平移得到。利用R(3,3)幾何代數空間不僅能符號描述螺旋，還能符號描述螺旋的剛體運動的優勢，基于螺旋間的幾何關系，建立由已知螺旋求解未知螺旋的符號表達式，可以實現并聯機構在已知分支第一個運動副螺旋的情況下，自動求解該分支所有螺旋系，進而實現并聯機構自由度的自動化算法。

2.2 分支螺旋系自動求解算法

不失一般性，假定第i個運動軸線在R(3,3)幾何代數空間中的表達式為

li=u1e1+u2e2+u3e3+b1e4+b2e5+b3e6

那么該運動軸線的方向矢量為u=(u1,u2,u3)。令u⊥=v=(v1,v2,v3)，由于vu=0，v2=1，因此垂直矢量v有一個自由度。根據不同的幾何關系，可寫出第i+1個運動軸線的符號表達式li+1。第i+1個運動副與第i運動副有如下關系：

(1)共軸，則li+1相當于li沿u軸平移a的剛體變換后所得。

(2)平行，則li+1相當于li沿t=(t1,t2,t3)軸平移a的剛體變換后所得。

(3)正交，則li+1相當于li繞過交點p=(p1,p2,p3)、方向為v⊥的軸旋轉90°的剛體變換后所得。

(4)相交，則li+1相當于li繞過交點p=(p1,p2,p3)、方向為w=(w1,w2,w3)的軸旋轉θ的剛體變換后所得。

(5)垂直，則li+1相當于li繞過垂足p=(p1,p2,p3)、方向為v⊥的軸旋轉90°，然后沿v⊥平移a的剛體變換后所得。

(6)異面，則li+1相當于li方向為w=(w1,w2,w3)的軸旋轉θ，然后沿t=(t1,t2,t3)平移a的剛體變換后所得。

利用1.3節中R(3,3)幾何代數空間的剛體運動符號描述，得到根據已知螺旋求解未知螺旋的符號表達式，見表2。

表2 未知螺旋求解符號表達式Tab.2 Symbolic expressions of unknown twists

表中

在自動求得分支所有運動軸線li的符號表達式后，再根據運動副類型得到該分支的運動螺旋。不失一般性，若運動軸線表達式為

l=u1e1+u2e2+u3e3+b1e4+b2e5+b3e6

那么如果運動副類型為轉動副(R)，運動螺旋S=l；如果運動副類型為平移副(P)，運動螺旋S=F(l)=u1e4+u2e5+u3e6。

通過以上分析，以字符串描述為基礎，結合運動副軸線符號表達式，可以實現分支運動螺旋的計算機程序化、自動化求解，算法流程圖如圖1所示。

圖1 并聯機構支鏈運動螺旋系自動化算法流程Fig.1 Flow chart of automatic motion analysis of limbs using geometry algebra

3 基于幾何代數的并聯機構自由度自動化分析

不同于螺旋理論沒有直接求解集合交集的運算法則，在幾何代數框架下，集合的交集和并集可以通過內積和外積運算法則直接得到。因此，基于幾何代數的并聯機構自由度分析不需要通過求解約束螺旋間接得到動平臺運動空間，從而簡化自由度求解步驟。因此在得到并聯機構支鏈自動化求解符號表達后，可以通過幾何代數符號描述并聯機構自由度。

根據第2節中的討論，R(3,3)幾何代數空間不僅能描述并聯機構的螺旋運動，還能對螺旋運動進行平移和旋轉的剛體變換的符號描述。同時R(3,3)幾何代數與R(6,0)幾何代數一樣，均為六維幾何代數空間，具有相同的旋量表達式；并且2個空間有著相同的內積和對偶表達式。因而在自動求解支鏈螺旋符號表達式后，R(3,3)幾何代數和R(6,0)幾何代數有著相同的并聯機構自由度符號表達式。

綜上所述，并聯機構自由度自動化算法分為以下幾個步驟：

(1)利用螺旋之間的幾何關系，基于R(3,3)幾何代數剛體運動符號表達式，自動寫出第i個分支運動鏈上第j個運動副在幾何代數框架下螺旋表達式Smij。

(2)利用幾何代數能通過外積運算法則求解集合并集的優勢，計算出第i個分支運動鏈末端的許動子空間

Smi=Smi1∪Smi2∪…∪Smij∪…∪Smik=
Smi1∧Smi2∧…∧Smij∧…∧Smik

其中∧為幾何代數外積符號。若運動副線性相關，即運動副運動空間有交集，表示并聯機構具有冗余驅動力，此時需要對冗余驅動力在幾何代數空間中進行判別和剔除。

(3)利用幾何代數能通過內積和對偶運算法則求解集合交集的優勢計算出動平臺許動子空間

Sm=Sm1∩Sm2∩…∩Smi∩…∩Smn

其中，當2個分支運動鏈末端的許動子空間的并集為I6時，交集可寫為

其中·為幾何代數內積符號。當兩個分支運動鏈末端的許動子空間的并集不等于I6時，需要使用兩者的并集替代I6。

所求的動平臺許動子空間符號表達式基的維度即為并聯機構自由度個數，基的外積組成即為并聯機構自由度運動方向。例如，若動平臺許動子空間S=e1∧e2∧e6，則表示該并聯機構的自由度為3，運動方向分別是沿x軸和y軸的旋轉，以及繞z軸的平移。并聯機構自由度自動化算法流程圖見圖2。

圖2 并聯機構自由度自動化算法流程Fig.2 Flow chart of mobility analysis using geometry algebra

4 基于幾何代數的并聯機構自由度自動化分析算法驗證

4.1 算法可行性一般性驗證

為了對本文提出的并聯機構自由度自動化求解算法的正確性進行一般性驗證，需對該算法進行可行性分析:

(1)并聯機構任意運動副的螺旋均可在R(3,3)幾何代數空間進行描述。

(2)任意螺旋均可通過已知螺旋的剛體運動得到。

(3)在已知并聯機構支鏈第1個運動副螺旋以及支鏈各運動副之間幾何關系的情況下，該支鏈所有螺旋系能夠符號描述，并且能利用符號描述進行自動化求解。

(4)在自動求得并聯機構所有螺旋系的幾何代數表達式后，可以通幾何代數框架下的運算法則得到并聯機構的自由度和運動方向的符號表達式，進而實現并聯機構自由度自動化算法。

證明如下：

(1)由文獻[12]可知，R(3,3)幾何代數中6個一維向量對應旋量中的6個參數，即e1、e2、e3表示旋轉，e4、e5、e6表示移動；因此旋量與R(3,3)空間存在一一對應的映射關系，并聯機構任意運動副的螺旋均可在R(3,3)空間中進行描述。

(2)任意兩旋量之間只存在6種幾何關系，即共軸、平行、正交、相交、垂直、異面，而這6種幾何關系均可通過平移和旋轉的剛體運動來描述，例如某螺旋與一已知螺旋異面，其中兩螺旋距離為d，夾角為θ，那么該螺旋可以通過已知螺旋繞公垂線旋轉θ后再沿著公垂線平移d后得到。

(3)在文獻[11]中已證明，通過R(3,3)描述的旋量存在平移和旋轉的剛體運動符號表達式。因此在R(3,3)幾何代數空間中，已知并聯機構支鏈第1個運動副螺旋以及支鏈各運動副之間幾何關系的情況下，可以通過剛體運動符號表達式描述該支鏈所有螺旋，從而實現并聯機構螺旋系的自動化計算。

(4)在自動求得并聯機構所有螺旋系的幾何代數表達式后，可以通過幾何代數的并集和交集運算法則求得并聯機構自由度和運動情況，這在文獻[5-6]中已得到證明。這是因為并聯機構各支鏈的運動是該支鏈所有螺旋的并集，同時并聯機構動平臺的運動是各支鏈運動的交集；而在幾何代數框架下可以通過外積運算法則符號描述螺旋并集，內積運算法則符號描述螺旋交集，從而得到并聯機構自由度的符號表達式，進而實現并聯機構自由度自動化算法。

在并聯機構自由度自動化求解算法包含的4個步驟均證明可行的情況下可證明該算法可行。

4.2 算法可行性例子驗證

基于gaigen 2.5幾何代數分析軟件包[22]，生成滿足R(3,3)幾何代數運算法則的源文件，基于C++平臺實現并聯機構自由度自動化分析算法，從而驗證該算法的正確性、有效性。

以3-RPS并聯機構為例驗證并聯機構自由度自動化分析算法。3-RPS有3個相同的RPS分支運動鏈，如圖3所示，每個運動分支的計算機構型字符串可以描述為R+P|R+R*R。

圖3 3-RPS并聯機構機構簡圖Fig.3 Schematic diagram of 3-RPS parallel mechanism

首先對第1個分支進行自動求解。不失一般性，令該分支的第1個運動副過點B1=(B1x,B1y,B1z)，運動軸線為

l11=u111e1+u112e2+u113e3+b111e4+
b112e5+b113e6

由計算機構型字符串可知，該運動副為轉動副，因此第1個運動副的運動螺旋為S11=l11。

第2個運動螺旋和第1個運動螺旋正交，交點為p1，那么由表2可知

該運動副為移動副，因此運動螺旋為

S12=F(l12)=u121e4+u122e5+u123e6

同理可知，第3個運動螺旋和第2個運動螺旋共軸，運動螺旋為

第4個運動副與第3個運動副正交，交點為p2，運動螺旋為

第5個運動副與第3個和第4個運動副正交，交點為p2，運動螺旋為

那么，第1個分支運動鏈末端的許動子空間為

S1=S11∪S12∪S13∪S14∪S15=
S11∧S12∧S13∧S14∧S15

同理可求得第2、3個分支運動鏈末端的許動子空間S2、S3。

因而3-RPS并聯機構的自由度符號表達式為

S=((S1I-1)S2I-1)S3=
a1e123+a2e124+a3e125+a4e126+a5e134+
a6e135+a7e136+a8e145+a9e146+a10e156+
a11e234+a12e235+a13e236+a14e245+a15e246+
a16e256+a17e345+a18e346+a19e356+a20e456

其中

eijk=ei∧ej∧ek

式中ai——標量系數

由S的符號表達式可知，動平臺許動子空間為一個3維基(3-blade)，因此3-RPS并聯機構的自由度為3。

即使相同的并聯機構在不同位形下自由度和運動情況也可能不同。基于幾何代數的并聯機構的自由度自動化算法不僅能求解某種機構在通用參數下的自由度，還能求解在已知連桿參數尺寸和位置下的自由度和運動情況。以3-URU并聯機構為例，對本文提出方法進行驗證。

圖4 3-URU并聯機構處于平面運動位形機構簡圖Fig.4 Schematic diagram of 3-URU parallel mechanism in planar mode

如圖4所示，若3-URU并聯機構的動平臺B1B2B3為外接圓半徑為3的等邊三角形，外接圓圓心為O；3個基座A1、A2、A3分布在外接圓半徑為5的等邊三角形的3個頂點上，外接圓圓心為O1；桿長AiCi為4，桿長BiCi為3，i=1,2,3；每個運動分支的計算機構型字符串描述為R⊥R|R|R⊥R。

由文獻[21]可知，若動平臺B1B2B3與3個基座A1A2A3共面，且2個外接圓圓心O、O1不重合，如圖4所示，那么該并聯機構的自由度為3，分別為沿x、y的平移和繞z軸的旋轉。

若第1個基座的第1個運動副過點(5,0,0)，方向為(1,0,0)，運動軸線為

S11=l11=e1

第2個運動螺旋和第1個運動螺旋正交，交點為(5,0,0)，那么由表2可知

同理可知，第3個運動螺旋和第2個運動螺旋平行且過點(4.47,3.96,0)，運動螺旋為

第4個運動副與第3個運動副平行且過點(3,0,0)，運動螺旋為

第5個運動副與第4個運動副正交，交點為(3,0,0)，運動螺旋為

那么，第1個分支運動鏈末端的許動子空間為

S1=S11∧S12∧S13∧S14∧S15=9e12345+9e13456

同理可求得第2、3個分支運動鏈末端的許動子空間分別為

S2=10.31e12345+5.16e13456-8.93e23456
S3=10.06e12345

因而3-URU并聯機構的自由度符號表達式為

S=((S1I-1)S2I-1)S3=a(e3∧e4∧e5)

式中a——標量系數

由S的符號表達式可知，在該運動空間情況下，3-URU并聯機構的自由度為3，分別為沿x、y軸的平移和繞z軸的旋轉。

圖5 3-URU并聯機構處于平移運動位形機構簡圖Fig.5 Schematic diagram of 3-URU parallel mechanismin translation mode

同理可求，若動平臺B1B2B3與3個基座A1A2A3平行但不共面，且2個外接圓圓心O、O1不重合，如圖5所示，則并聯機構的自由度符號表達式為

S=((S1I-1)S2I-1)S3=a(e4∧e5∧e6)

3-URU并聯機構的自由度為3，分別為沿x、y、z軸的平移。

若動平臺B1B2B3與3個基座A1A2A3不平行，但2個外接圓圓心O、O1重合，如圖6所示，那么根據并聯機構的自由度符號表達式可知，3-URU并聯機構的自由度為3，分別為繞x、y、z軸的旋轉。

基于本文提出的算法對3-URU并聯機構在不同位形下自由度分析所得結論與文獻[23]中的結論相同，從而證明本文算法可行。

5 結論

(1)R(3,3)幾何代數空間不僅與R(6，0)空間一樣能夠描述運動螺旋，得到并聯機構自由度的符號表達式，而且R(3,3)空間具有平移、旋轉剛體運動的符號表達式，從而能夠實現并聯機構自由度自動化算法。

圖6 3-URU并聯機構處于旋轉運動位形機構簡圖Fig.6 Schematic diagram of 3-URU parallel mechanism in orientation mode

(2)提出的算法不僅具有基于幾何代數算法的優點，即不需要求解線性方程組，能給出自動化求解的符號表達式，算法簡單，效率高，同時由于幾何代數具有集合求交的運算法則，因而在自由度分析過程中可以直接通過各支鏈求交運算得到自由度運動空間，不需要通過約束螺旋間接得到并聯機構自由度。并且由于即使并聯機構字符串構型描述相同，機構也可能會有不同的自由度，本文提出的算法不僅能求解機構在通用參數情況下的自由度，還能求解機構在特定參數和位置情況下的自由度和運動情況。

1 鄒慧君, 樓鴻棣. 高等機械原理[M]. 北京：高等教育出版社, 1990.

2 黃真, 孔令富, 方躍法. 并聯機器人機構學理論及控制[M]. 北京：機械工業出版社, 1997.

3 黃真, 劉婧芳, 曾達幸. 基于約束螺旋理論的機構自由度分析的普遍方法[J]. 中國科學, 2009, 39(1):84-93.

HUANG Zhen, LIU Jingfang, ZENG Daxing. General method formobility analysis of mechanisms based on constrained screw theory[J]. Science in China Press, 2009, 39(1):84-93. (in Chinese)

4 黃真, 夏平, 丁華鋒. Bennett機構自由度的螺旋分析[J]. 燕山大學學報, 2004, 28(3):189-191.

HUANG Zhen, XIA Ping, DING Huafeng. Mobility analysis of Bennett based on constrained screw theory[J]. Journal of Yanshan University, 2004, 28(3):189-191. (in Chinese)

5 LI Q, CHAI X. Mobility analysis of limited degrees of freedom parallel mechanisms in the framework of geometric algebra[J].Journal of Mechanisms and Robotics, 2016,8(4):041005.

6 CHAI X, LI Q. Mobility analysis of two limited-DOF parallel mechanisms using geometric algebra[C]∥International Conference on Intelligent Robotics and Applications.Cham. Springer, 2016: 13-22.

7 DORST L, FONTIJNE D, MANN S.Geometric algebra for computer science: an object-oriented approach to geometry[M]. Morgan Kaufmann Publishers Inc., 2009.

8 曹毅, 秦友蕾, 陳海,等. 基于GF集理論的五自由度混聯機器人構型綜合[J/OL]. 農業機械學報, 2015, 46(11):392-398.http:∥www.jcsam.org/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20151153&flag=1&journal_id=jcsam. DOI: 10.6041/j.issn.1000-1298.2015.11.053.

CAO Yi，QIN Youlei, CHEN Hai, et al. Structural synthesis of 5-DOF hybrid mechanisms based on GF set[J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2015, 46(11):392-398. (in Chinese)

9 朱小蓉, 宋月月, 沈惠平,等. 基于POC方法的少自由度無過約束并聯機構構型綜合[J/OL]. 農業機械學報, 2016, 47(8):370-377.http:∥www.jcsam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20160849&flag=1&journal_id=jcsam.DOI:10.6041/j.issn.1000-1298.2016.08.049.

ZHU Xiaorong, SONG Yueyue, SHEN Huiping, et al. Structural synthesis based on POC set for lower-mobility non-overconstrained parallel mechanisms[J/OL].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2016, 47(8):370-377. (in Chinese)

10 曹文熬. 空間多環耦合機構數字化構型綜合理論[D]. 秦皇島：燕山大學, 2014.

CAO Wenao. Digital type synthesis theory of spatial multiloop coupling mechanism[D]. Qinhuangdao:Yanshan University,2014. (in Chinese)

11 DORST L. 3D oriented projective geometry through versors of R(3,3)[J]. Advances in Applied Clifford Algebras, 2016, 26(4):1-36.

12 LI H, ZHANG L. Line geometry in terms of the null geometric algebra over R(3,3),and application to the inverse singularity analysis of generalized Stewart platforms[M]∥LASENBY J. Guide to geometric algebra in practice. Springer London, 2011:207-221.

13 CLIFFORD W. Elements of dynamic: an introduction to the study of motion and rest in solid and fluid bodies[M]. MacMillan and Company, 1878.

14 HESTENES D. New foundations for classical mechanics[M]. Springer Science and Business Media, 2012.

15 SOMMER G. Applications of geometric algebra in robot vision[J].Computer Algebra and Geometric Algebra with Applications, 2005: 258-277.

16 SOMMER G.Geometric computing with Clifford algebras: the oretical foundations and applications in computer vision and robotics[M]. Springer Science and Business Media, 2013.

17 HILDENBRAND D. Geometric computing in computer graphics using conformal geometric algebra[J]. Computers and Graphics,2005, 29(5): 795-803.

18 ARISTIDOU A. Inverse kinematics solutions using conformal geometric algebra[M]∥LASENBY J. Guide to geometric algebra in practice. Springer London, 2011:47-62.

19 DORAN C, LASENBY A.Geometric algebra for physicists[M]. Cambridge University Press, 2003.

20 DU J, GOLDMAN R, MANN S. Modeling 3D geometry in the Clifford algebra R(4,4)[J].Advances in Applied Clifford Algebras,2017: 1-24.

21 黃真, 趙永生, 趙鐵石. 高等空間機構學[M]. 北京：高等教育出版社, 2006.

22 FONTIJNE D. Gaigen 2: a geometric algebra implementation generator[C]∥Proceedings of the 5th International Conference on Generative Programming and Component Engineering. ACM, 2006: 141-150.

23 ZLATANOV D, BONEV I, GOSSELIN C. Constraint singularities as C-space singularities[J].Advances in Robot Kinematics, 2002：183-192.