淺談近年高考中換元法在函數中的應用

王豫平

一、復合函數問題

在解決復合函數f[h（x）]=g（x）求f（x）時，如果將h（x）的表達式直接代入f（x），就會造成自變量過于龐大和復雜，通常利用換元法令t=g（x）從中解出x的值，代入g（x）進行換元，這樣就把原式化為初等函數模型，再利用函數模型性質從而解決問題。

例1 （2015山東理數）設函數f（x）=3x-1，x<12x，x≥1，則滿足f（f（a））=2f （a）的a的取值范圍（）

A.■，1 B.[0，1]

C.■，+∞ D.[1，+∞）

分析：函數f（x）是分段函數，要解決該問題則需要分別討論不同的定義區間，如果直接解決該問題，那么自變量就會變得很復雜，從而增加了解題的難度。但是這時用換元法令t=f（x），從而把問題轉換為一般的分段函數模型就好解決多了。

解：令t=f（a），則原式可化為f（t）=2t

當t<1時，3t-1=2t

設g（t）=3t-1-2t，則g′（t）=3-2tln2

當t<1時，g′（t）>0

所以g（t）在（-∞，1）上是增函數，即有

g（t）

則方程3t-1=2t無解

當t≥1時，2t=2t

由f（t）≥1，即3a-1≥1

解得a≥■且a<1

或a≥1，2a≥1

解得a≥0，即a≥1

綜上可得a≥■，所以C答案正確。

二、三角函數問題

解決三角函數問題無疑需要各個知識點的正確連接，通常要把相關知識點合理運用。把一個角用其他兩角代換，或把一個三角函數式用與其等價的三角函數式代換等，從而將其化簡減少變元的個數。如果分開討論變元很麻煩時，不妨利用換元法將其化為初等函數模型解決問題。

例2 （2016江蘇數學）在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是______。

分析：在三角形ABC中∠A+∠B+∠C=π，從而tanA=-tan（B+C），所以原式可化為關于tanB，tanC兩個變量的式子，如果分開討論tanB，tanC的值域再確定tanAtanBtanC的最值則很麻煩，但是由于tanB，tanC都是大于0的，不妨利用換元法令t=tanB·tanC，把問題轉換為關于t的一元二次函數模型求最值問題，就簡單多了。

解：由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinB·cosC+cosB·sinC

sinA=2sinBsinC

可得sinBcosC=cosBsinC=2sinBsinC①

因為三角形ABC為銳角三角形，所以有

cosB>0，cosC>0

在①式兩側同時除以cosBcosC，可得

tanB+tanC=2tanBtanC，

又因為tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=

-■②

則tanAtanBtanC=-■×tanBtanC

由tanB+tanC=2tanBtanC

可得tanAtanBtanC=-■

令t=tanB·tanC

由A，B，C為銳角可得tanA>1，tanB>0，tanC>0

由②式得1-tanBtanC>0

解得t>1，

tanAtanBtanC=-■=-■，■-■=■-■2-■，由t>1，得-■≤■-■<0

因此tanAtanBtanC的最小值為8，當且僅當t=2時取等號，此時tanB+tanC=4，tanBtanC=2

解得tanB=2+■，tanC=2-■，tanA=4（或tanB，tanC互換）

此時A，B，C均為銳角符合題意。

三、綜合對數函數問題

在解決一些綜合性的對數函數問題時，如果直接利用對數性質也不容易解決，很難看出這道題目的實質，不妨試將其換元，也許就容易看出原問題的本質，是考查學生哪個方面知識的掌握的能力，再聯系學習過的方程模型或初等函數模型的性質，通過解決方程思想、函數思想解決問題，最后還原問題得出答案。

例3 （2015上海理數）方程log2（9x-1-5）=log2（3x-1-2）+2的解________。

分析：本題主要是求對數等式的解，雖然直接計算也能做出來，但是計算式子比較復雜，都含有不同的指數式，并且每個獨立的元素都不同，加大了運算能力的考查，也很難看出問題的實質是利用方程思想解決問題。仔細觀察式子中都有3x-1，不妨考慮將其化為標準一元二次方程模型解決，這樣不僅思路清晰而且計算簡捷。

解：令t=x-1，則原對數等式可化為

log2（9t-5）=log2（3t-2）+2，

又因為2=log24

所以log2（9t-5）=log24（3t-2）

從而有9t-5=4（3t-2）

令3t=y，則有y2-4y+3=0

解得y1=1，y2=3，

當y=1時，t=0，代入上式得

1-5≠-8等式不成立

當y=3時，t=1，代入上式得

9-5=4（3-2），等式成立。

所以t=1滿足式子，即x=2原等式成立。

四、多元函數問題

在函數問題中如果出現兩個以上的未知變量時，就得采取換元方法去解決。如果直接討論解決問題時，不僅會增加計算量，也會加大問題的難度系數。一般把問題化為熟悉的問題解決，再通過知識之間的聯系轉為所要解決問題的答案。例如利用換元法把已知條件和問題朝著熟悉的數學模型轉換從而解決原問題。

例4 （2011浙江理科數學）設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是__________。

分析：本題根據已知條件很難有思路解決，不過如果設t=2x+y，得到y=t-2x，求2x+y的最大值也就是t的最大值問題。再根據方程有解的必要條件，Δ？叟0，從而解決通過換元得到的有關t的一元二次方程，間接解決問題。

解法1：因為4x2+y2+xy=1，所以（2x+y）2-3xy=1

設t=2x+y得到y=t-2x，從而得到t2-3（t-2x）x=1

即6x2-3tx+t2-1=0

因為x為實數，所以Δ=9t2-24（t2-1）=-15t2+24≥0

解得-■≤t≤■

所以2x+y的最大值是■。

解法2：由于已知條件可化為

■+y2+■x2=1

也就是cos2θ+sin2θ=1

設■+y=cosθ，■x=sinθ，

從而得到x=■sinθ，y=cosθ-■，

所以2x+y=■sinθ+cosθ-■=■sinθ+cosθ=■sin（θ+φ）

由于tanφ=■

所以sin（θ+φ）=1時2x+y的最大值是■。

換元思想在函數問題中有很強的理解表達能力。數學本來就是高度符號化的一門學科，每一種符號之間都有密切的聯系，這就為解題方法提供了很大的發展空間，也提供了換元的一定條件。生活中的問題，常常也需要轉換問題來解決原問題，更是說明好的方法不是單向的，也可以在每個方面都有其作用體現。老師對學生的啟蒙作用更要從各個方面進行，好的方法能幫助學生提高學習效率，更能加深知識點對其的滲透力、感召力。

（作者單位：貴州省遵義航天高級中學）