黃金分割矩形構圖方法在集成桅桿設計中的應用

趙福燕，楊春鵬，陳　楊

(中國船舶重工集團公司第七二四研究所，南京 211153)

0　引　言

黃金分割最早見于古希臘和古埃及。黃金分割又稱黃金率，即把一根線段分為長短不等的a、b兩段，使其中長線段a與整根線段(即a+b)的比等于短線段b對長線段a的比，列式即為a∶(a+b)=b∶a，其比值為0.6180339……。這種比例在造型上比較悅目。因此，0.618又被稱為黃金分割率[1]。

黃金分割法則[2]是一個古老的美學標準，因其給人和諧變化的審美感受而備受推崇，2000余年一直為人們所遵循。位于雅典的帕提農神廟是一個典型實例。帕提農神廟的正面符合多重黃金分割矩形，二次黃金分割矩形構成楣梁，中楣和山形墻的高度。最大黃金分割矩形中的正方形確定了山形墻的高，圖中最小的黃金分割矩形決定了中楣和楣梁的位置(見圖1)。[3]

2　黃金分割矩形構圖方法介紹

斐波納契數列又稱黃金分割數列，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……。在數學上，斐波納契數列以如下被以遞推的方法定義：F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)，n≥2。這個數列的比例形式非常接近黃金分割的比例體系。在這組數字序列中前面的數字開始接近黃金分割。該數列中第15個數字后的任一數字除以它后面的那個數字近似于0.618，而這些數字除以它前面的那個數字則近似于1.618。[4]

2.1　黃金分割矩形的構成方法

黃金分割矩形構成方法如下：(1) 先作一個正方形，從一條邊的中點A向一個對角B畫一條斜線。以這條斜線為半徑做一段圓弧，與正方形的延長線相較于C點。這個小矩形和這個正方形共同構成了一個黃金矩形。這個黃金矩形能夠被進一步分割。當進一步分割后，該矩形產生一個較小比例的黃金分割矩形，它是內含黃金分割矩形(或二次黃金分割矩形)。這個分割過程可以無限繼續下去，產生許多更小的等比的矩形和正方形(見圖2)。

2.2　輔助螺旋線的構成方法

黃金矩形獨特之處在于當它被分割后得到的圖形是一個較小的等比的矩形，分割后剩下的面積是一個正方形。因為分割得到一個二次黃金矩形和一個正方形的特殊性質，黃金矩形被稱為“螺旋產生正方形的矩形”。這些等比例減小的正方形能夠產生一條螺旋線，用正方形的邊長作為半徑可以構成一條螺旋線。

運用黃金矩形分割的示意圖可以構造一條黃金分割的螺旋線，即用被分割而產生的那些正方形的邊長作為圓的半徑，對每一個正方形畫出圓弧，并連接這些圓弧(見圖3)。

3　某集成桅桿案例

圖4是某集成桅桿外觀方案圖。從造型構成來看，層次感強，各平面與斜面搭配顯得非常立體，線條方面除了水平線和垂直線外更加入靈動的斜角線，變化更多，不呆板，面和面、線和線之間的相交產生新的細節點綴，構成元素豐滿、充實，比例關系合理、協調，造型美觀、大氣。

集成桅桿是由底部為8 m的正方形、高度為13 m、角度為10°的斜梯形構成，其底部尺寸8 m與高度尺寸13 m在斐波納契數列中正好為相鄰的2個數字，整體符合黃金分割矩形構成。將桅桿的高度看成一條線段，將線段分為長短不等的a、b兩段，其中長線段b=13×0.618=8.034(m),短線段a=13-8.034=4.966(m)，a/b=0.618。將集成桅桿主體結構按照功能的不同劃分為3部分，第1部分為4.966 m，第3部分也為4.966 m。第1部分、第3部分分別與桅桿高度剩余部分的比值都為黃金比值0.618。第1部分作為設備1的旋轉倉，第2部分為設備2和設備3面陣仰角區域以及邊緣斜角部分作為設備5的安裝區域，第3部分是設備4(分為上下兩部分)的安裝區域 (見圖5、6)。桅桿的整體角度為內傾10°，是基于第3部分設備4的仰角要求，10°斜角基本重合與黃金分割三角形(頂角為36°，兩個底角均為72°的等腰三角形稱為黃金三角形)和矩形豎邊的角平分線，兩者之間僅相差1°。第2部分設備2和設備3的仰角要求為15°～20°，其安裝斜面與斜角邊緣線分割線全部重合在黃金三角形的兩條邊上(見圖7中虛線)。在做延長之后，兩條斜面分割線相交于第1部分的上斜切面下邊線的中點上(見圖7中虛線)。

3.1　動態矩形分析

桅桿中第1部分二階黃金分割矩形對角線(見圖8(a)中虛線)和黃金分割矩形對角線(見圖8(a)中實線)的交點基本相交于集成桅桿第1部分的豎向斜角線(見圖8(a)中圓圈標示)。黃金分割矩形對角線(見圖8(a)中實線)和二階黃金分割矩形邊線的交點連線(見圖8(a)中橢圓標出點劃線)經過設備2和偵查設備3的外側邊線中點(見圖8(a))。

桅桿在豎向等分為3部分。其中，第1部分寬邊端點與第3部分矩形對角線(見圖9(b)中第3部分虛線)交點構成的斜邊(見圖8(b)中倒向實線)分別經過集成桅桿第1部分的下部尖角、第2部分斜角的尖端以及設備3的端點和設備4上半部分的端點(見圖8(b)中實線)；第3部分寬邊端點與第1部分矩形對角線交點構成的斜邊(見圖8(b)中第一部分點劃線)基本相交于第2、3部分分割的斜邊上。

3.2　螺旋線分析

黃金矩形第1條螺旋線分別經過第1部分斜角相交面的尖端和第一部分豎向斜面的中點，第2條螺旋線經過第3部分豎向斜面中點(見圖9(a)實線)。圖9(b)中的虛線與圖9(a)中的實線左右對稱，而點劃線和雙點劃線與實線和虛線上下對稱。

4　結束語

作為系統性多專業最新技術成果體現的典型代表，雷達及相關裝備的天線對于造型設計的重視程度也是逐步上升的。造型合理、外形美觀對于彰顯產品高精尖特點的作用也是顯而易見的。在工程方案設計當中，對于幾何學構成原理中成熟規律的合理運用，可以有效提升產品造型的美學水準。