分析高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧

江俊霖

【摘 要】基于立體幾何在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)的重要地位，結(jié)合自身體會(huì)和感悟，提出建立輔助圖形，簡(jiǎn)化原命題；注重圖形變換，巧妙使用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)；采用設(shè)而不解的方法簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程；避免思維定式，運(yùn)用多種解題方法，四種解題技巧，以達(dá)到提高立體幾何解題效率，保證準(zhǔn)確度的根本目的。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 立體幾何 解題技巧

高中數(shù)學(xué)立體幾何在培養(yǎng)我們空間想象能力、加強(qiáng)運(yùn)算能力、促進(jìn)思維發(fā)散等方面具有重要的意義，始終是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，難度相對(duì)較大。掌握知識(shí)的目的在于解決問(wèn)題，學(xué)習(xí)實(shí)際上是在為解題做鋪墊，而練習(xí)則是摸索解題技巧的過(guò)程。對(duì)于立體幾何這種復(fù)雜的空間數(shù)學(xué)問(wèn)題，盡可能多的掌握和熟練運(yùn)用解題技巧是極為重要的。

一、建立輔助圖形，簡(jiǎn)化原命題

通過(guò)對(duì)輔助圖形的建立，能實(shí)現(xiàn)原命題的簡(jiǎn)化或特殊化，該方法在解立體幾何題時(shí)十分常用。它將立體幾何命題特點(diǎn)作為基礎(chǔ)，建立一個(gè)和命題一一對(duì)應(yīng)的輔助模型，使復(fù)雜的問(wèn)題變簡(jiǎn)，使模糊或隱藏的條件變得顯而易見(jiàn)，從而提高的解題的效率與準(zhǔn)確度。

例如：矩形ABCD，線段PD和平面ABCD垂直，AB長(zhǎng)為1，BC、PC均為2，折疊后，EF與DC平行。其中，E是線段PD上的點(diǎn)，F(xiàn)是線段PC上的點(diǎn)，折疊后P落于AD上，落點(diǎn)為M，且線段MF和CF垂直。

（1）證明線段CF和平面MDF的位置關(guān)系為垂直；

（2）求M-CDF體積大小。

解：基于面面垂直定理，從線段PD和平面ABCD垂直的已知條件可得線段MD和CF垂直，基于此，再根據(jù)線線垂直定理可得線段CD和平面MDF垂直；對(duì)于“求M-CDF體積大小”問(wèn)題，結(jié)合現(xiàn)有的已知條件與輔助圖形的建立，可得：線段MD為61/2/2，則三角形CDB的面積為31/2/8，所以M-CDF的體積為21/2/16。

在一類立體幾何問(wèn)題的求解過(guò)程中合理使用建立輔助圖形等方法，使題目變得簡(jiǎn)化，除了能加快解題的速度，還能形成良好的邏輯思考能力，為相似問(wèn)題的求解提供途徑。

二、注重圖形變換，巧妙使用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)

在求解立體幾何的最值及范圍等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，若能注重圖形變化，橋面使用遠(yuǎn)動(dòng)的觀點(diǎn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行剖析和解答，則可以快速、準(zhǔn)確的得出答案。

例如：ABC-A1B1C1是一個(gè)直三棱柱（圖1），其底面ABC為直角三角形，∠ABC是直角為90°，線段BC和CC1相等均為21/2，線段AC為6，P是線段BC1上不斷移動(dòng)的點(diǎn)，則CP+PA1的最小值為？

這是一道較為新穎的立體幾何問(wèn)題，考察的是一個(gè)持續(xù)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)構(gòu)成的距離最小值，雖然這一問(wèn)題較為復(fù)雜，但是可以通過(guò)圖形變換來(lái)進(jìn)行處理，將立體的圖形變成更直觀、簡(jiǎn)單的平面圖形。

解：連接A1、B兩點(diǎn)，沿線段BC1將三角形CBC1展開(kāi)至三角形A1B1C1所在平面。連接A1、C兩點(diǎn)，此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題所求的CP+PA1最小值實(shí)際上就是線段A1C長(zhǎng)度。根據(jù)題目已知條件經(jīng)計(jì)算可得：∠A1C1C為90°，且∠BC1C為45°，則∠A1C1C為90°+45°=135°，根據(jù)余弦定理可得線段A1C長(zhǎng)度為5·21/2，則問(wèn)題所求CP+PA1的最小值為5·21/2。

由此可見(jiàn)，在求解立體幾何問(wèn)題，尤其是求最值及范圍等問(wèn)題時(shí)，可采用圖形變換的方法，不要拘泥于原圖，嘗試從圖上下手找突破口，勤于轉(zhuǎn)換思路，以此對(duì)點(diǎn)位移動(dòng)等復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，從而更好的解決此類問(wèn)題。

三、采用設(shè)而不解的方法簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程

設(shè)而不解是指將題目的已知條件作為支撐，結(jié)合提出的問(wèn)題，設(shè)一個(gè)未知數(shù)，明確該未知數(shù)和已知條件之間保持的相互關(guān)系，然后羅列總結(jié)可解決問(wèn)題的所有方法，但直到本題目求解完畢，都不對(duì)這一未知數(shù)進(jìn)行求解。這種方法適用于那些看似已知條件不足的立體幾何題型，通過(guò)對(duì)這一方法的使用，設(shè)定參數(shù)，建立待解問(wèn)題和各項(xiàng)已知條件間保持的相互關(guān)系，并巧妙的避開(kāi)那些不求解的部分，剔除參數(shù)，最終快速準(zhǔn)確的給出答案。

例如：S-ABCD是一個(gè)正四棱錐，在此正四棱錐中和地面平行的位置截一平面A1B1C1D1，構(gòu)成S-A1B1C1D1多面體，設(shè)上、下兩面面積為Q1和Q2，側(cè)面積為P，則多面體S-A1B1C1D1的對(duì)角面面積為？

解：從題目的已知條件中可以看出，多面體S-A1B1C1D1的對(duì)角面實(shí)際上是一個(gè)等腰三角形，上底與下底的長(zhǎng)均能根據(jù)已知條件得出，則高則是多面體S-A1B1C1D1的高。若直接計(jì)算，不僅過(guò)程復(fù)雜，容易出錯(cuò)，而且已知條件并不全。所以可采用設(shè)而不解的方法，具體為：設(shè)題目所求問(wèn)題，即多面體S-A1B1C1D1的對(duì)角面面積為S，多面體S-A1B1C1D1的上邊長(zhǎng)為a，下邊長(zhǎng)為b，高為h，斜高為h，則有：

S=（21/2a+21/2b）h/2=21/2/2（a+b）{h2-[（b-a）/2]2}=21/2/4（a+b）[4h2-（b-a）2]=21/2/4{[2h（a+b）]2-（b2-a2）2}=21/2/4[P2-（Q2-Q1）2]

由此可得，多面體S-A1B1C1D1的對(duì)角面面積為21/2/4[P2-（Q2-Q1）2]。

四、避免思維定式，運(yùn)用多種解題方法

一個(gè)立體幾何問(wèn)題可能涉及很多知識(shí)，同樣的，解決一個(gè)問(wèn)題還可能用到很多種解題方法，甚至思維也為因?yàn)轭}目的問(wèn)題而發(fā)生轉(zhuǎn)變。此時(shí)，就要避免思維定式，靈活運(yùn)用不同的解題方法。

例如，ABCD-A1B1C1D1是一個(gè)正方體（圖2），其棱長(zhǎng)為3，E是線段AA1上的一個(gè)點(diǎn)，線段A1E長(zhǎng)為1，F(xiàn)是平面A1BD上一個(gè)自由移動(dòng)的點(diǎn)，則AF-FE最小值為？

解：現(xiàn)采用建立輔助圖形的方法，建立平面D1B1C，建立圖形后可發(fā)現(xiàn)平面A1BD和CB1D1平行，對(duì)線段AC1和平面CB1D1進(jìn)行連接，交點(diǎn)為F，則因線段GE和A1C1，所以AF-FE最小值就是GE長(zhǎng)度，則有：GE=2A1C1/=2·21/2。

五、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，立體幾何作為高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，其知識(shí)具有抽象、復(fù)雜的特點(diǎn)，而且具體問(wèn)題普遍需要進(jìn)行大量計(jì)算，對(duì)空間想象能力和邏輯推理能力都有很高要求。掌握正確的解題技巧是解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵所在，這除了要掌握所有基礎(chǔ)知識(shí)，還需要通過(guò)大量的練習(xí)加以總結(jié)，并且要具備在解決問(wèn)題時(shí)靈活運(yùn)用的能力。

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