一類非線性Schr?dinger-Maxwell方程基態解的存在性

汪敏慶,黃文念,方立婉

(廣西師范大學數學與統計學院,廣西桂林 541006)

1 引言及主要結果

考慮以下非線性Schr?dinger-Maxwell方程基態解的存在性.

這樣的方程又被稱為Schr?dinger-Poisson方程.在量子力學中,該方程可描述帶電粒子與電磁場的相互作用(關于物理方面的更多的描述可詳見文獻[1]).

過去的幾十年里,在臨界點理論和變分法的幫助下,類似于系統(1.1)的系統的解的存在性、不存在性和多重性得到了廣泛的研究,具體可參考文獻[2–4].進一步地,當V(x)≡K(x)≡1,f(x,u)=|u|p?1u,1

對V,K,b,g有以下假設

(V)V(x)∈C1(R3,R),V(x)≥ a1>0,其中a1>0是一個常數.對每一個M>0,meas{x∈R3,V(x)≤M}<∞.

(K)K ∈L∞(R3,R),對任意的x∈R3,有K(x)≥0.

(B)b:R3→R+是一個正連續函數,并且,其中 0

(g1)g(x,u)∈C(R3×R,R),g在xi(i=1,2,3)中是1-周期的,且|g(x,u)|≤C(1+|u|q?1),其中 2

(g2)當u→0時,對所有的x∈R3,有g(x,u)=o(u).

(g3)當u→∞時,對所有的x∈R3,有

(g4)對任意的(x,u)∈(R3,R),有其中G(x,u)

對于系統(1),主要的結果如下

定理 1.1 假設(V),(K),(B),(g1)–(g4)成立,則系統(1.1)存在一個基態解,其中C>0表示一系列不同的正常數.

2 預備知識及相關引理

定義下列函數空間H1(R3)={u∈L2(R3)|?u∈(L2(R3)3}.對應的范數為

定義函數空間D1,2(R3):={u∈L2?(R3):?u∈(L2(R3)3}.對應范數為

令

則E是一個Hilbert空間,對應的內積為

記∥·∥為Ls(R3)下的范數,H=為H(R3)空間中徑向函數的子空間,則H 可以緊嵌入Ls(R3),其中s∈(2,6)[16].再記

則E是連續嵌入到Ls(R3)中的,s∈[2,2?],這里的2?=6是在三維空間里Sobolev嵌入的臨界指數.因此,存在一個常數C>0,使得

其中

是在Lebesgue空間Ls(R3)下的范數.

因為K ∈L∞(R3,R),故對每一個u∈E,由H?lder不等式,有

由Lax-Milgram 定理(詳見文獻[11])可知,對任意的u∈E,存在唯一的?u∈D1,2(R3),使得

對于?u,可以寫成下列積分形式

故由x∈R3,K(x)≥0可知,?u(x)≥0.結合(2.1)和(2.2)式,有

因此由H?lder不等式和(2.1)式,有

定義泛函I:E→R

從上面的討論可知I是C1的,并且I的臨界點就是問題(1.1)的解.進一步地,由(2.3)式有

如果u∈E 是泛函Φ的一個臨界點(也就是Φ′(u)=0),則(u,?u)是系統(1.1)的一個解.進一步地,對任意的u,v∈E,有

特別地,

定義對應的 Nehari流形為 N={u ∈ E:?Φ′(u),u?=0}.設 (X,∥·∥)為 Hilbert空間,{ej}為其一組標準正交基,令

定義2.1設E是一個實Banach空間,Φ∈C1(E,R),c∈R.當n→∞,un∈E時,如果對任意滿足

的序列{un}?X都有收斂的子列,則稱Φ滿足(PS)c條件.

為了證明定理1.1,我們將會利用以下形式的山路定理(詳見文獻[12,13,14]).

定理2.2[12,13,14]設E是一個實Banach空間,Φ∈C1(E,R),Φ(0)=0,對任意的c>0,Φ滿足滿足(PS)c條件,且

(i) 存在 ρ,α >0,使得 Φ|?Bρ≥ α;

(ii)存在e∈EBρ,使得Φ(e)≤0.則Φ有一個臨界值c≥α.

引理2.3[15]對任意的2≤s<2?,有

3 定理1.1的證明

引理3.1 若(V),(K),(B),(g1)–(g4)成立,e∈E{0},則

(i) 存在 ρ,α >0,使得 Φ|?Bρ≥ α.

(ii)當|t|→∞,Φ(te)=?∞.

證 (i)由假設(g1),(g2)可知,對任意的ε>0,存在C(ε)>0,使得對所有的x∈R3,u∈R,有

因此,由中值定理,有

由引理2.3及p∈(0,1)可知,存在Re>0,使得當∥u∥≥Re時,有

于是,對于u ∈ Zk,∥u∥≥ Re,有

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(ii)由(g3)可知,對任意的M>0,存在ξ=ξ(M)>0,使得對所有的x∈R3,|u|>ξ,有

由(g1),(g2)可知,存在M1=M1(M)>0,使得對所有的x∈R3,0<|u|≤ξ,有

由(3.6)式和中值定理可知,對所有的x∈R3,|u|≤ξ,有

引理3.2若(V),(K),(B),(g1)–(g4)成立,則Φ滿足(PS)c條件.

證 設序列{un}?E

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