連接界面變形對轉子動力特性影響的力學模型

金海，劉繼興，張大義，* ，洪杰，3

(1.北京航空航天大學 能源與動力工程學院，北京100083; 2.中國航發(fā)沈陽發(fā)動機設計研究所，沈陽110015;3.先進航空發(fā)動機協(xié)同創(chuàng)新中心，北京100083)

隨著現(xiàn)代航空發(fā)動機逐漸向輕質、高效、大功率發(fā)展，其安全性、可靠性問題越來越突出，其中整機振動量過大是制約航空發(fā)動機發(fā)展的一個主要因素。整機振動過大可能造成在小間隙處(如葉尖、密封)的轉靜件碰摩、軸承載荷過大、附件振動應力過大等［1］。由于加工、裝配等的限制，使得航空發(fā)動機轉子結構中存在較多的連接結構，如螺栓、套齒、止口、端齒等，在工作過程中，界面接觸狀態(tài)發(fā)生變化對轉子動力特性會產(chǎn)生較大影響。由于接觸界面的存在，使得連接結構的力學特征具有非線性、非連續(xù)性，同時由于幾何特征參數(shù)、結構特征參數(shù)以及載荷特征參數(shù)的分散性帶來的非確定性［2］，使得轉子考慮接觸界面的轉子動力學設計十分困難。因此參數(shù)化準確描述轉子接觸界面變形對于轉子動力學特性的影響具有重要的工程意義和研究價值。

在早期的研究中，分析轉子動力特性時多不考慮連接結構界面接觸的影響，將航空發(fā)動機作為連續(xù)結構進行分析［3-4］。近些年國內外學者關于連接結構對轉子動力特性的影響已經(jīng)開展了大量的研究工作。李俊慧等［5］采用有限元方法研究了影響套齒連接剛度以及接觸應力的主要因素，并提出了相應的套齒設計方法。聞邦椿、Arumugam、Li［6-8］等研究了在出現(xiàn)支承不同心時，套齒聯(lián)軸器所產(chǎn)生的不同心激勵力以及轉子結構的振動響應，將不同心分為平行不同心、傾角不同心和組合不同心，結果表明不同心的典型特征為二倍頻響應。在轉子螺栓連接結構研究方面，姚星宇等［9-10］用薄層單元進行螺栓連接結構的模擬，并研究了螺栓載荷與結構參數(shù)對螺栓連接剛度的影響;Qin等［11-12］推導了航空發(fā)動機盤鼓混合式轉子螺栓連接結構彎曲剛度，并采用非線性角彈簧模擬了彎曲剛度非線性特征;Liu等［13］通過實驗表明隨著工作循環(huán)數(shù)的增加，轉子振動響應增大，并利用不平衡量增大進行解釋;Wang等［14］研究了螺栓連接結構彎曲剛度損失的因素，并采用彈性模量修正方法進行復雜航空發(fā)動機轉子結構建模分析。

上述研究中對于套齒聯(lián)軸器的附加激勵在柔性轉子系統(tǒng)不同心問題中研究較為深入，而對于剛性轉子系統(tǒng)螺栓連接結構主要是對于彎曲剛度的研究，尚缺乏連接結構界面變形(同軸度和平行度偏差)對于動力特性的影響研究。為了進一步分析文獻［13］中的振動響應隨循環(huán)數(shù)增加而增大的原因，本文從螺栓連接結構端面同軸度和平行度偏差出發(fā)，建立了典型航空發(fā)動機高壓(HP)剛性轉子考慮界面變形影響的力學模型，得出了不同界面變形形式引起的附加激振力表達式。

1 高壓轉子界面變形力學模型

1.1 典型高壓轉子系統(tǒng)結構特征

如圖1所示為典型航空發(fā)動機高壓轉子系統(tǒng)，支承方案為1-0-1，前伸軸頸從三級盤位置伸出，在三級盤、壓氣機后封嚴盤以及渦輪盤前后共采用四排短螺栓結構進行連接。前兩級壓氣機盤處于懸臂結構，前伸軸頸與三級盤為一體化結構。由于壓氣機與高壓渦輪之間的大鼓筒軸質量相對于壓氣機以及渦輪質量相對較小，因此在轉子模型中主要考慮壓氣機以及渦輪處的轉子盤，重點考慮三級盤、渦輪前后位置螺栓連接結構界面變形，建立轉子系統(tǒng)分析模型如圖2所示，其中轉子盤1、2、3分別為壓氣機前兩級盤、壓氣機后七級盤、高壓渦輪盤，軸段剛度等效保證在轉子盤位置的橫向等效剛度相同。A、D兩處為支承位置，A、B、C 為螺栓位置，Si(i=0，1，2，3，4，5)為相鄰關鍵位置之間的軸向距離。

圖1 高壓轉子系統(tǒng)結構簡圖Fig.1 Sketch of HP rotor system

圖2 考慮螺栓連接結構的高壓轉子分析模型Fig.2 Analysis model of HP rotor considering bolted joints

1.2 螺栓連接結構界面變形模型

1.2.1 接觸端面同軸度偏差

螺栓連接結構由于接觸界面變形將引起接觸端面同軸度、平行度偏差。接觸端面同軸度偏差是由于接觸界面在復雜機械載荷作用下的滑移和磨損等的周向不均以及界面連接處周向溫度分布不均導致的接觸界面熱變形［15］等引起，如圖3所示。

圖3 接觸界面滑移量周向分布不均示意圖Fig.3 Schematic of skip circumferential maldistribution of contact interface

圖3 中的虛線表示無端面滑移時扇區(qū)徑向位置，δi為第i個扇區(qū)接觸端面徑向滑移量，ζi為第i個扇區(qū)中心線與O1x1軸的夾角，則該轉子的截面形心偏移量r0為

式中:φ為轉子截面形心偏移量 r0與 x1軸的夾角。

在分析中，先采用帶接觸非線性的實體有限元模型計算得到扇區(qū)的徑向滑移量，考慮不同載荷作用下，計算不同扇區(qū)的變形后利用式(1)方法得到接觸端面的同軸度偏差量。

1.2.2 接觸端面平行度偏差

接觸端面平行度偏差主要是由于接觸端面粗糙度和裝配載荷狀態(tài)下螺栓擰緊力矩的分散性以及機動飛行狀態(tài)下轉子受到陀螺力矩載荷時，周向不同位置的螺栓拉壓程度不一致導致。裝配載荷作用下的界面平行度偏差可以通過界面平行度測量得到，彎矩作用下的平行度偏差可以通過計算分析確定。

圖4 接觸界面平行度偏差示意圖Fig.4 Schematic of contact interface parallelism deviation

圖4 中，b為螺栓法蘭的直徑。在裝配狀態(tài)下，由接觸端面粗糙度引起的界面平行度偏差角最大為，其中δL和δR分別為接觸界面兩側的零件端面的端面全跳動公差，在實際裝配后，界面平行度偏差角按一定概率分布Δθ1=P1(Δθmax);由拉壓程度不同引起的法蘭軸心處的角變形量為，其中 δT和 δC分別為螺栓位置處對應的法蘭邊拉壓變形。

1.3 界面變形對轉子動力特性影響模型

1.3.1 接觸端面同軸度偏差

本文主要研究接觸端面同軸度以及平行度偏差，假定轉子為剛性轉子。如圖5所示，當轉子兩端均存在連接界面時，如圖中的轉子盤2和轉子盤3，界面同軸度偏差將使得形心發(fā)生偏移，且轉子盤發(fā)生傾斜;當轉子僅有一側存在連接界面時，如圖5中的轉子盤1，界面同軸度偏差僅使得轉子形心發(fā)生偏移。

圖 5 中的 δij，y為第 i(i=1，2，3)個螺栓位置，第j側(j=1為前側，j=2為后側)在yOz平面內的同軸度偏差，θk，x為第k個轉子在yOz平面內的傾斜角。δij，y由 1.2.1 節(jié)中的接觸端面形心偏移量r0在yOz平面內的投影得到，轉子盤截面形心偏移量和傾斜角根據(jù)兩側接觸端面的形心偏移量的大小和相位確定，如圖6所示，圖中α12和α21分別為轉子盤2的前后接觸端面形心偏移量相位角。

設計狀態(tài)下轉子盤2的形心位置為(0，0，z2)，接觸端面發(fā)生界面滑移后，形心位置變?yōu)?e2，x，e2，y，z2)，其中

圖5 接觸端面同軸度偏差對轉子系統(tǒng)影響Fig.5 Impact of contact interface coaxial deviation on rotor system

圖6 轉子盤2形心偏移和傾斜示意圖Fig.6 Schematic of centroid offset and skew of disk 2

式中:S1、S2分別為轉子盤與左右接觸端面間的距離; δ12，x= δ12cos α12; δ12，y= δ12sin α12;δ21，x=δ21cos α21;δ21，y= δ21sin α21。

由于兩側接觸端面滑移引起的轉子盤2的初始傾斜角為

式中:θ2為轉子盤 2 的傾斜角;θ2，x和 θ2，y分別為θ2在x軸和y軸上的投影。

對于兩側均有接觸界面的剛性轉子，接觸端面同軸度偏差通常將使得轉子盤同時發(fā)生形心偏移和傾斜，如圖7(a)所示，由于端面滑移引起的轉子形心偏移e使得轉子盤的形心與轉動中心線發(fā)生偏移，如圖7(b)所示，但并不改變無渦動時的轉子自轉中心，因此轉子形心偏移產(chǎn)生的力學效果可等效于Me的附加轉子不平衡量，附加不平衡量的相位與轉子形心偏移的相位相同，其中:M為輪盤質量。轉子盤傾斜角是轉子盤法向方向與轉子自轉中心線的夾角，如圖7(c)所示，在采用第2類歐拉角進行動力學描述時，其改變了相應的角度位置，因而轉子系統(tǒng)在旋轉坐標系下的角速度發(fā)生變化，系統(tǒng)的動能方程發(fā)生變化，記該類轉子盤傾斜為第1類轉子初始傾斜。

圖7 同軸度偏差導致的形心偏移和傾斜Fig.7 Centroid offset and skew caused by coaxial deviation

1.3.2 接觸端面平行度偏差

對高壓剛性轉子系統(tǒng)進行接觸端面平行度偏差影響分析時，需要假定一個基準位置，在實際運用中，可以以裝配過程中的基準面為基準位置，如圖1中的壓氣機三級盤端面。在該核心機轉子裝配過程中，首先將前兩級壓氣機盤與三級盤熱裝配，然后與后六級壓氣機盤熱裝配，最后將壓氣機轉子與渦輪轉子進行連接，因此以三級盤端面為基準較為合理。與同軸度偏差引起的轉子盤變形效果類似，接觸端面的平行度偏差也將同時引起轉子盤同時發(fā)生形心偏移與傾斜，如圖8所示。圖中，Δθ21，x和 Δθ22，x分別為第 2 排螺栓前后接觸端面在yOz平面內的角度偏差，其由接觸端面平行度偏差直接引起，對第1排螺栓位置采用同樣的記號方式，正負號規(guī)則為相對基準側(圖8中基準側為三級盤位置)端面逆時針偏轉為正，順時針偏轉為負;θi，x(i=1，2，3)為第 i個轉子在 yOz平面內相對轉動中心線的角度偏差，相對轉動中心線逆時針偏轉為正，順時針偏轉為負;li，y(i=1，2，3)為第i排螺栓位置在yOz平面內相對轉動中心線的偏差，由于第一排螺栓位置為基準位置，因此l1，y=0;ri，y(i=1，2，3)為第 i個轉子盤在 yOz平面內相對轉動中心線的形心偏移。

通過測量或者計算可以得到接觸端面的平行度偏差 Δθij(i=1，2，3;j=1，2)，以三級盤位置為基準，可以得到各個轉子的傾斜角θi

根據(jù)轉子傾斜角可以進一步得到各個轉子盤位置的形心偏移量分別為

式中:θi，x為 θi在 yOz平面內的投影;r1，y表達式帶負號是因為轉子盤1的形心偏移與盤傾角正負相反。對式(5)進行小角度近似得

圖8 接觸端面平行度偏差對轉子系統(tǒng)影響Fig.8 Impact of contact interface parallelism deviation on rotor system

接觸端面平行度偏差與同軸度偏差對于剛性轉子動力特性影響的主要差別在于出現(xiàn)平行度偏差時，在螺栓連接位置角度變化連續(xù)，使得轉子系統(tǒng)的自轉中心線仍為轉子的形心線，因而轉子盤的形心偏移r即為自轉中心線與轉軸中心線的偏移，其力學效果與轉子發(fā)生初始彎曲r等效，與同軸度偏差引起的力學效果不同，在動力學方程中增加一個恒定大小的附加激振力項。同時平行度偏差引起的轉子盤傾斜后盤與自轉中心線仍保持垂直關系，只是相對于總體坐標系的位置關系發(fā)生變換，不影響歐拉坐標系下動力學方程中的動能項，僅改變相應的勢能零點位置，因此其產(chǎn)生附加激勵的原理與同軸度偏差引起的轉子盤傾斜不一致，記該類轉子盤傾斜為第2類初始傾斜。

接觸端面同軸度偏差和平行度偏差均會使得剛性轉子盤發(fā)生形心偏移和傾斜，但其引起的力學效果相差較大。同軸度偏差帶來附加不平衡量以及第1類轉子初始傾斜，平行度偏差帶來轉子初始彎曲和第2類轉子初始傾斜。在實際的航空發(fā)動機轉子中，通常同時存在接觸端面同軸度偏差和平行度偏差，因此以上所述的附加不平衡量、初始彎曲和2類轉子初始傾斜同時存在。

2 Lagrange方法建立轉子系統(tǒng)運動學方程

2.1 歐拉角坐標下的轉子系統(tǒng)運動學描述

將軸承簡化為各向同性彈性支承，A、D處的支承剛度分別為kA和kD，支承質量分別為mA和mD，則圖2所示的轉子系統(tǒng)廣義坐標q，共16個自由度，包括支承自由度 q1=(xA，yA，xD，yD)T以及以第2類歐拉角坐標描述的3個轉子盤的平動和偏擺自由度 q2=(x1，θy1，y1，θx1，x2，θy2，y2，θx2，x3，θy3，y3，θx3)T，則系統(tǒng)動能為

式中:Ω為自轉角速度;ei為第i個轉子盤偏心距;αi為第i個轉子盤偏心距相位;Jpi和Jdi分別為極慣性矩和直徑慣性矩。eiΩcos(Ωt+ αi))2為轉子系統(tǒng)平動動能，·為轉子盤轉動以及偏擺動能，為陀螺效應產(chǎn)生的附加動能分量項。

支承動能為

則系統(tǒng)總動能為T=Td+Tb。

在任意瞬時，xOz平面內由于彈性支承位移xA和xD引起的第i個轉子盤形心位移xgi和截面轉角 θygi分別為

式中:Φi為轉換矩陣;Sgi為第i個轉子盤距A支承位置的距離，其中，Sg1=S0，Sg2=S1，Sg3=S1+為支點間跨距。則xOz平面內轉子盤軸系統(tǒng)彈性勢能為

式中:qx為xOz平面內所有自由度;Φ=［Φ1，Φ2，Φ3］T;x=q2x－Φq1x;Kx0為剛性支承轉子 xOz平面的剛度矩陣;Kxd為系統(tǒng)xOz平面內的剛度矩陣。同理可以得到y(tǒng)Oz平面內的轉子勢能，從而轉子盤軸系統(tǒng)總彈性勢能為Vd=Vdx+Vdy。

兩端彈性支承的勢能為

因此系統(tǒng)總勢能為V=Vd+Vb。

根據(jù)第2類Lagrange方程

可得系統(tǒng)振動微分方程為

式中:Mx、My分別為xOz平面和yOz平面內的質量矩陣;Kx、Ky分別為xOz平面和yOz平面內的剛度矩陣;J為xOz平面內的陀螺矩陣;qy為yOz平面內所有自由度;Fe為初始不平衡量激振力。

2.2 端面同軸度偏差對動力特性的影響

由1.3.1節(jié)分析可知，接觸端面同軸度偏差將使得轉子產(chǎn)生附加不平衡量Mea以及第1類初始傾斜角τi，附加不平衡量影響轉子系統(tǒng)的平動動能，第1類初始傾斜影響轉子的轉動動能，而接觸端面同軸度偏差對于轉子系統(tǒng)勢能無影響。附加不平衡量與初始不平衡量疊加后的不平衡量為

式中:e'為合成后的偏心距。記第i個轉子盤合成后的不平衡量相位角為γi，則第i個轉子盤的平動動能為

當轉子存在第1類初始傾斜時，第2類歐拉角坐標描述的動力學方程中，角速度項需要疊加初始傾斜項

式中:βτ為初始傾斜的相位角;θ'x和 θ'x分別為yOz平面考慮轉子盤初始傾斜后的角度以及角速度;θ'y和 θ'y分別為xOz平面考慮轉子盤初始傾斜后的角度以及角速度，則第i個轉子盤的轉動動能［16］為

式(17)利用了Jpi=2Jdi的薄盤假設。

由于接觸端面同軸度偏差僅影響動能，因而此時的轉子軸的彈性勢能和支承結構的勢能與式(10)和式(11)所描述的相同，同樣采用第2類拉格朗日方程得到系統(tǒng)的動力學方程，其質量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣與式(13)中相同，改變的僅為廣義力向量?？紤]端面同軸度偏差后轉子的廣義力為

式中:Fea為由附加不平衡量引起的激振力;Fτ為由第1類初始傾斜引起的附加激振力。由式(18)可以看出，對于剛性轉子系統(tǒng)，考慮接觸端面同軸度偏差引起的附加不平衡量和第1類初始傾斜后，在平動自由度方向轉子系統(tǒng)的不平衡量激振力大小以及相位發(fā)生改變，同時在偏擺自由度方向產(chǎn)生與轉速平方和初始傾斜角成正比的附加簡諧激振力，如在轉子盤1的繞x軸偏擺自由度方向的附加激振力為 Jd1τ1Ω2cos(Ωt+βτ1)。

2.3 端面平行度偏差對動力特性的影響

由1.3.2節(jié)分析可知，接觸面平行度偏差將使得各轉子盤產(chǎn)生類似于初始彎曲的轉子形心偏移和第2類轉子盤初始傾斜。具有初始彎曲的轉子系統(tǒng)力學特性分析已經(jīng)較為深入，利用同樣的方法可以將其推導過程應用于第2類轉子盤初始傾斜。轉子初始彎曲影響的是轉子平動方向的勢能，第2類初始傾斜影響的是轉子盤偏擺勢能，其本質是改變轉子盤軸的勢能零點位置，對支承系統(tǒng)勢能和轉子系統(tǒng)動能無影響。

考慮初始彎曲量r以及第2類初始傾斜角χ，其引起的變形量在xOz平面內的分量為

式中:q2xai為初始彎曲以及初始傾斜引起的變形分量在 xOz平面內的投影;θri和 βχi分別為第 i個轉子盤的形心偏移量相位角和第2類初始傾斜相位角。則此時全約束轉子盤軸系統(tǒng)在xOz平面內的變形為

xOz平面內轉子盤軸系統(tǒng)彈性勢能V'dx為

式中:q2xa=［q2xa1，q2xa2，q2xa3］T為3 個轉子盤由于形心偏移和第2類初始傾斜引起的附加變形;q'x為考慮附加變形后的變形量。同理可以得到y(tǒng)Oz平面內的轉子勢能，且附加變形僅發(fā)生在轉子盤的平動以及偏擺自由度方向，對支承勢能沒有影響。

根據(jù)Lagrange方程可以看出，該轉子系統(tǒng)中的勢能項僅對動力學方程中的剛度回復力項和激振力項產(chǎn)生影響。對考慮轉子盤形心偏移和第2類初始傾斜的轉子-支承系統(tǒng)，利用第2類Lagrange得到的動力學方程中質量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣與2.1節(jié)中式(13)相同，激振力項變?yōu)?/p>

式中:

由式(22)可以看出，對于剛性轉子系統(tǒng)，考慮接觸端面平行度偏差引起的形心偏移和第2類轉子初始傾斜將產(chǎn)生2個附加激振力Fr和Fχ;由于交叉剛度以及彈性支承的存在，激振力Fr和Fχ在所有自由度方向上均有分量，如Fr在x1方向存在由r1引起的激振力 k11r1cos(Ωt+θr1)，在θy1方向存在由r1引起的激振力 k12r1cos(Ωt+θr1)，在xA自由度方向上存在由形心偏移引起的附加激振力;所有激振力的大小僅與轉子系統(tǒng)剛度和形心偏移量以及第2類傾斜角有關，而與轉子轉速無關。

3 結論

1)以典型航空發(fā)動機高壓剛性轉子為例，對界面變形模型進行分析，并對接觸端面同軸度偏差以及平行度偏差的界面變形進行定量描述，建立了考慮界面變形的剛性轉子系統(tǒng)力學模型。

2)對典型航空發(fā)動機高壓剛性轉子系統(tǒng)采用Lagrange方法建立了考慮界面變形以及彈性支承的16自由度動力學方程，并推導了界面變形對系統(tǒng)動力學方程的影響。同軸度偏差將使得轉子系統(tǒng)產(chǎn)生附加不平衡激振力和附加第1類初始傾斜激振力，激振力幅值均與轉速平方成正比，且分別作用于平動和轉動自由度，對支承自由度無影響;平行度偏差將產(chǎn)生附加初始彎曲激振力和第2類初始傾斜激振力，激振力幅值均與轉速無關，僅與剛度和平行度偏差量有關，且該附加激振力在支承自由度方向有一定分量。

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