數控機床爬行的模糊PI控制研究*＊

尹 明 晁佳佳

(內蒙古科技大學機械工程學院，內蒙古包頭014010)

隨著制造業的迅速發展，高產量高精度數控機床的需求日益迫切。機床在低速重載的工況下，時常會發生忽停忽動忽快忽慢的非正常工作狀態，稱之為爬行又叫作粘滑運動。一旦出現爬行，機械傳動變得不均勻，伺服系統無法實現精確的測量和定位，極大地影響著工件加工質量。目前國內外研究人員針對爬行現象開展了大量研究，在一定程度上揭示了爬行發生的機理，提出了一些解決方法。AK Banerjee［1］認為爬行是非線性摩擦力引起的自激振動現象。B Armstrong［2］等在機器人系統中加入脈沖信號，有效地消除了爬行現象。Karl Popp［3］等設計了被動爬行控制系統，并通過計算證實了該方法的可行性。目前關于爬行抑制方法研究取得了一定的成果，但是并沒有在根本上完全消除爬行現象。本文開發了一種基于超磁致伸縮致動器(GMA)的爬行控制系統，模糊PI控制器根據相關算法驅動GMA產生相應的輸出力抑制機床爬行。通過軟件仿真證明了該系統對數控機床爬行具有良好的控制作用。

1 爬行控制系統的整體設計

超磁致伸縮材料Terfenol－D作為一種新型的智能材料，其長度和體積會隨著磁化狀態的變化而變化。超磁致伸縮致動器正是根據這一特性，實現電磁能和機械能的轉化。超磁致伸縮致動器具有應變大，響應快，能量轉化率高等優勢，因此被選用作為外加激勵發生器［4］。

基于超磁致伸縮致動器的激勵系統如圖1所示，滾珠絲杠螺母副絲杠采用一段固定一段浮動的支撐方式，致動器的輸出桿與絲杠浮動端剛性固連，在激勵磁場的作用下，對絲杠進行拉伸和壓縮。由于絲杠形變量較小，忽略絲杠形變后傳動比的變化。

當數控機床在工作過程中產生爬行時，通過傳感器對工作臺的速度進行測量，將測得數據輸入到模糊PI控制器中［5］，再根據已經編寫好的控制算法，給出適當的驅動電流驅動GMA產生一定的輸出力，通過絲杠傳遞給工作臺，抑制工作臺的不穩定運動，以達到消除爬行的效果。

2 爬行控制系統模型的建立

2.1 GMA的數學模型

為了方便系統動力學建模，作如下簡化:致動器殼體、底座、輸出桿以及軸承為剛體，在工作過程中不發生變形;Terfenol－D棒輸出端、輸出桿和絲杠左端的連接沒有縫隙，三者的位移、速度和加速度相同;忽略預壓機構的阻尼和剛度;將絲杠看作剛度為Kl、阻尼為Cl的彈簧阻尼結構，Ml代表絲杠和工作臺的等效質量;Ke和Ce為GMA棒在形變過程中所要克服的自身的等效剛度和等效阻尼;Me為GMA棒和輸出桿的等效質量。建立超磁致伸縮致動器激勵系統力學模型如圖 2 所示［6］。

為了對超磁致伸縮效應加以應用，使用能量守恒定律、克希荷夫定律等已知的物理定律建立超磁致伸縮致動器動態力學模型，求出其運動方程。在建模之前我們做出以下假設:(1)忽略渦流效應以及漏磁現象的影響。(2)Terfenol－D棒的各項參數不隨環境改變而變動，看作定值計算。(3)工作中Terfenol－D棒的伸縮長度隨磁場強度線性變化［7］。

式中:N為線圈匝數;i為線圈中驅動電流;x為致動器輸出位移;d33為GMA棒的軸向動態伸縮系數。求解出致動器磁路磁通為:

致動器等效磁路的磁動勢MMF為:

式中:Rm為致動器總磁阻。得到致動器的輸出力F為:

分析致動器受力狀況，求得平衡方程為:

式中:M=Me+Ml，C=Ce+Cl，K=Ke+Kl。

令固有頻率ωn=槡K/M，系統阻尼比ζ=C/2Mωn。對式(4)做Laplace運算處理得:

綜合公式(1)～(5)可以得到超磁致伸縮致動器的傳遞函數為:

2.2 數控機床爬行的簡單物理模型

數控機床的進給系統主要由驅動裝置、機械傳動機構以及被驅動件構成。伺服電動機接受數控系統發出的指令開始工作，動力經過聯軸器、齒輪副、絲杠螺母副的傳遞后，最終將伺服電動機的旋轉運動轉換為工作臺的直線運動。爬行主要發生在數控機床進給系統的被驅動件上，即工作臺和刀架等。傳動系統剛度不足和運動過程中導軌摩擦力的變化被認為是引起爬行的主要原因。

為了方便研究，我們假設齒輪副和絲杠螺母副的摩擦系數遠小于導軌摩擦系數，忽略不計;工作臺在垂直方向不發生移動且進給系統中沒有傳動間隙。并建立如圖3所示的進給系統運動簡單物理模型。簡化進給系統結構，不僅有利于建立工作臺運動方程也給爬行現象動態仿真帶來極大的便利［8］。

圖3將數控機床進給系統簡化成一個以恒定速度v0驅動、摩擦阻力為F的單自由度運動系統。應用集中參數離散化的原理把工作臺抽象成一個質量為m的質塊，把機械傳動機構看成一個無質量的彈簧阻尼結構。k和c分別代表傳動機構的傳動剛度和傳動阻尼系數。

2.3 ADAMS與MATLAB聯合仿真系統的建立

為了研究基于超磁致伸縮致動器的控制系統對爬行的抑制效果，需要結合Adams和Matlab進行聯合仿真分析。聯合仿真的實現主要可以分為3個步驟:(1)通過Adams軟件建立爬行簡單物理模型，定義各部件參數和約束關系。設置仿真參數，建立系統控制變量輸入以及運動參數輸出端口。(2)使用Matlab/Simulink建立超磁致伸縮致動器激勵系統動態力學模型。(3)將致動器力輸出與ADAMS輸入端口相連接，定義超磁致伸縮致動器工作電流，設置仿真條件開展聯合仿真。ADAMS是當前最為流行的機械系統運動學仿真軟件，而Matlab具有強大的計算與模塊化建模能力。聯合仿真能夠充分發揮兩個軟件各自的優勢，更準確地表現出機械電子系統在工作中的實際狀況。

表1 進給系統運動仿真參數表

為了實現Adams與Matlab之間數據的傳遞與結果的輸出，在Adams中分別建立工作臺水平方向力激勵，工作臺速度兩個變量端口，并根據表1中數據對各模塊參數進行設置。建立進給系統運動仿真模型機械子系統如圖4所示。

假設螺母和絲杠剛性接觸，工作臺初始工作位置在絲杠最左側。絲杠長500 mm，驅動速度4 mm/s，由于仿真時間短速度小，忽略仿真過程中工作臺位移的變化，工作臺運動過程中受到的激勵與絲杠致動器頂端近似相等。根據公式(6)可以求出在GMA的激勵下，工作臺位移、速度、加速度的變化值。根據圖3，已知伺服系統傳動機構阻尼、剛度和工作臺質量，可求出在超磁致伸縮致動器的作用下，工作臺受到的等效激勵力。將上述關系封裝為以磁致伸縮位移x為輸入，等效激勵力Fe為輸出的子系統。將Adams爬行運動機械子系統通過Adams/Control模塊導入到Matlab/Simulink中，作為其中的一個子模塊。致動器傳遞函數框圖和機械子系統相連接，得到基于超磁致伸縮致動器激勵系統模型如圖5所示［9］。

3 爬行控制系統的模糊PI控制器設計

設計的自適應模糊PI控制器以常規PI控制系統為基礎，采用模糊推理思想，控制量的偏差e和偏差變化率ec作為模糊控制器的輸入，PI控制器的變化量作為輸出，利用模糊控制規律在線整定PID控制器各項參數［10］。與常規PI控制相比，具有良好的動、靜態性能。KP、KI的調整公式為:

式中:KP0、KI0是 KP、KI的初始參數由試湊法得出;ΔKP和ΔKI是利用模糊關系根據e、ec計算出的調整值。

根據系統實際情況，方便計算。將輸入參數c和輸出參數的模糊論域都取為［－6，6］。為了使控制器具有良好的精度和響應速度，輸入輸出變量的模糊子集都采用{負大負中負小零正小正中正大}來表示，簡記為{NB NM NS ZO PS PM PB}。由于三角形函數分辨率高且控制靈敏，因此將其選為系統的隸屬度函數，輸入輸出變量的模糊隸屬度函數如圖6所示。

根據PID控制原理可以知道，比例環節P可以快速地按比例消除偏差。積分環節I用來消除靜差，提高系統的無差度。而微分環節D能夠預測誤差變化趨勢，提前做出調整。由于本系統偏差變化率較大，微分控制會導致系統的不穩定，因此只采用PI控制［11］。

根據各項控制參數對控制系統影響特性，得出針對不同偏差和偏差變化率時，參數的自整定原則。

(1)當誤差e較大時，無論誤差變化率ec的值如何，為了使系統快速穩定下來應該取較大的KP。為了避免系統超調，KI的值應該取得小一些。

(2)當e和ec為中等大小時，為了減小系統超調，應取較小的KP。適當的增大KI的值以保證系統的響應速度。

(3)當誤差e較小時，取較大的KP和KI，以避免系統出現穩態誤差。

根據上述關系，得到模糊PID控制器KP、KI的調節規則表，如表2、3所示。

4 爬行的模糊PI控制系統仿真

基于以上分析，使用Matlab/Simulink建立爬行的模糊PI控制系統模型如圖7所示。圖中g1和g2分別表示模糊邏輯控制器P控制和I控制輸出參數的比例因子;Ke和Kec分別代表誤差和誤差變化率的量化因子;KP0和KI0分別代表P控制和I控制的初始參數。根據經驗和大量調試，設PI控制參數的初始值KP0=2，KI0=5。

表2 ΔKp模糊規則表

表3 ΔKI模糊規則表

當系統沒有采用控制的時候，系統運動速度曲線如圖8所示。速度波動大且有零點，運動發生停滯，系統出現爬行現象。

分別使用常規PI控制和模糊PI控制時，系統運動曲線如圖9所示。在引入PI控制后，爬行現象消失，系統運動穩定性有了很大的改善，很快達到驅動速度并穩定。此外模糊PI控制要明顯優于常規PI控制，模糊PI控制能夠實現PI控制參數的在線調整，系統速度曲線沒有出現超調，過渡時間大大縮短，系統表現出良好的穩定性。

5 結語

設計了以超磁致伸縮致動器為執行器的模糊PI控制系統，通過Adams和Simulink建立控制系統聯合仿真模型。借助Matlab/Fuzzy工具箱設計了模糊PI控制算法對控制系統進行控制。系統仿真結果表明，PI控制有效地消除了數控機床工作過程中的爬行現象。模糊PI控制能夠對控制參數進行實時調整，與常規PI控制相比超調消失，調整時間縮短至0.02 s，控制效果更好。使用模糊PI控制對數控機床爬行進行控制，取得滿意的控制效果，可以在實際設計生產中進行推廣。