機床主軸用角接觸球軸承零件體積和質量的精確計算

劉勝超，王東峰，楊浩亮，尹延經，張振強

(1.洛陽軸承研究所有限公司，河南 洛陽 471039；2.河南省高性能軸承技術重點實驗室，河南 洛陽 471039；3.滾動軸承產業技術創新戰略聯盟，河南 洛陽 471039)

為便于合套，角接觸球軸承通常在內、外套圈中一個套圈上設置鎖口，另一套圈根據使用場合不同有帶斜坡和不帶斜坡2種結構。為了確定軸承零部件材料的成本需先計算出各零件的質量。除此之外，對軸承重量有嚴格要求的場合也需先精確計算出各零件的質量，計算質量的前提是計算出各零件體積。

文獻[1]給出了深溝球軸承零件質量計算方法，對角接觸球軸承不適用。文獻[2]給出了角接觸球軸承零件質量的估算式，但其沒有考慮套圈上斜坡角度改變時的計算，并不具備通用性。目前SOLIDWORKS等三維建模軟件已普及，利用其自帶的測量功能，可在建模后得到零件的體積和質量，但建模的前提是零件所有內部參數都已知，只適于已有型號軸承的計算。故有必要探討合適的計算方法來計算機床主軸用角接觸球軸承的體積和質量。

1 軸承零件體積

對于內、外圈，首先，不考慮倒角切下體積，根據套圈結構特點將套圈劃分為若干區域，計算各區域體積，然后計算套圈各個倒角切下的體積，二者相減即可得到軸承套圈體積。對于保持架，首先計算內、外圓柱面包絡的體積，然后計算兜孔切下的體積和倒角切下的體積，內、外圓柱面包絡體積減去兜孔切下體積和倒角切下體積即可得到保持架體積。

1.1 外圈體積

外圈結構如圖1所示，將外圈分為擋邊區域Ⅰ、溝道區域Ⅱ和斜坡區域Ⅲ3個區域，如圖2所示。外圈體積為

圖1 外圈結構示意圖

圖2 外圈區域劃分圖

Ve=VeΙ+VeⅡ+VeⅢ-(Vecr+Vecr1+Vecr3+Vecr8),

(1)

式中：VeΙ，VeⅡ，VeⅢ分別為外圈擋邊區域、溝道區域、斜坡區域的體積;Vecr，Vecr1分別為外圈裝配大、小倒角切下區域的體積；Vecr3為外圈擋邊倒角切下區域的體積；Vecr8為外圈斜坡倒角切下區域的體積。

1.1.1 擋邊區域

擋邊區域如圖3所示，其為由外圈外圓柱面和外圈擋邊包絡成的繞軸承軸線旋轉而成的回轉體，則其體積為

圖3 外圈擋邊區域

(2)

Le1=C-ae-ae0,

式中:Le1為外圈擋邊區域圓柱高度；D為軸承外徑；D2為外圈擋邊直徑；C為外圈寬度；ae為外溝位置；ae0為外圈溝道與擋邊交點距外圈溝曲率中心的水平距離；Re為外溝曲率半徑；De為外圈溝道直徑。

1.1.2 溝道區域

圖4 外圈溝道區域

(3)

式中：ae1為外圈溝道與斜坡交點距外圈溝曲率中心的水平距離；te為外圈斜坡高度。

1.1.3 斜坡區域

圖5 外圈斜坡區域

(4)

Le2=C-ae-ae1，

式中：Le2為外圈斜坡區域寬度；αte為外圈斜坡角度。

1.1.4 裝配倒角切下區域

裝配大倒角切下區域如圖6a所示，其體積為

(5)

式中：re為外圈裝配大倒角。

裝配小倒角切下區域如圖6b所示，其體積為

圖6 外圈裝配倒角

(6)

式中：re1為外圈裝配小倒角。

1.1.5 擋邊倒角切下區域

圖7 外圈擋邊倒角

(7)

式中：re3為外圈擋邊倒角。

1.1.6 斜坡倒角切下區域

圖8 外圈斜坡倒角

[(x-ae8)tanαte+Het]2}dx，

(8)

ae8=re8sinαte,

Hre8=Het+re8cosαte，

式中：re8為外圈斜坡倒角。

1.2 內圈體積計算

內圈結構如圖9所示，同外圈體積計算方法，將內圈也分為擋邊區域Ⅰ、溝道區域Ⅱ和斜坡區域Ⅲ3個區域，如圖10所示。內圈體積為

圖9 內圈結構示意圖

圖10 內圈區域劃分圖

Vi=ViΙ+ViⅡ+ViⅢ-(Vicr+Vicr1+Vicr3+

Vicr8)，

(9)

式中：ViΙ，ViⅡ，ViⅢ分別為內圈擋邊區域、溝道區域、斜坡區域的體積;Vicr，Vicr1分別為內圈裝配大、小倒角切下區域的體積；Vicr3為內圈擋邊倒角切下區域的體積；Vicr8為內圈斜坡倒角切下區域的體積。

內圈擋邊區域的體積ViΙ為

(10)

Li1=B-ai-ai0，

式中：d2為內圈擋邊直徑；d為軸承內徑；B為內圈寬度；Li1為內圈擋邊區域圓柱的高度；ai為內溝位置；ai0為內圈溝道與內圈擋邊交點距內圈溝曲率中心的水平距離。

內圈溝道區域的體積ViⅡ為

(11)

式中：di為內圈溝道直徑；Ri為內溝曲率半徑；ai1為內圈溝道與內圈斜坡交點距內圈溝曲率中心的水平距離；ti為內圈斜坡高度。

內圈斜坡區域體積ViⅢ為

(12)

Li2=B-ai-ai1，

式中：αti為內圈斜坡角度。

內圈裝配大倒角切下區域的體積Vicr為

(13)

式中：ri為內圈裝配大倒角半徑。

內圈裝配小倒角切下區域的體積Vicr1為

(14)

式中：ri1為內圈裝配小倒角半徑。

內圈擋邊倒角切下區域的體積Vicr3為

(15)

式中：ri3為內圈擋邊倒角半徑。

內圈斜坡倒角切下區域的體積Vicr8為

(16)

ai8=ri8sinαti,

Hri8=Hit-ri8cosαti,

式中：ri8為內圈擋邊倒角半徑。

1.3 保持架體積

保持架結構如圖11所示，其體積為

圖11 保持架結構

Vcage=Vc1-ZVp-2(Vbcr+Vbcr1)，

(17)

式中：Vc1為保持架內、外圓柱面包絡區域體積；Vp為保持架單個兜孔切下區域的體積；Vbcr為單個外倒角切下區域的體積；Vbcr1為單個內倒角切下區域的體積；Z為球數。

1.3.1 內、外圓柱面包絡區域體積

內、外圓柱面包絡區域為由內、外圓柱面包絡區域繞軸承軸線旋轉成的回轉體，如圖12所示，其體積為

圖12 保持架內、外圓柱面包絡區域

(18)

式中：Bc為保持架寬度；Dc為保持架外徑；Dc1為保持架內徑。

1.3.2 兜孔切下區域體積

單個兜孔切下區域如圖13所示，通過三重積分得到其體積為

圖13 單個兜孔切下區域

(19)

式中：Δc為兜孔直徑。

1.3.3 倒角切下體積

單個外倒角切下區域為由保持架外圓柱面和倒角直線包絡區域繞軸承軸線旋轉成的回轉體，如圖14所示。其體積為

圖14 保持架單個外倒角

(20)

式中：rb為保持架倒角。

單個內倒角切下區域為由倒角直線和保持架內圓柱面包絡區域繞軸承軸線旋轉成的回轉體，如圖15所示。其體積為

圖15 保持架單個內倒角

(21)

2 軸承零件質量

外圈密度為ρe,內圈密度為ρi,保持架密度為ρcage,球密度為ρball,則外圈質量為

me=ρeVe，

(22)

內圈質量為

mi=ρiVi，

(23)

保持架質量為

mcage=ρcageVcage，

(24)

球質量為

(25)

式中：Vball為球體積；Dw為球徑。

軸承總質量為

m=me+mi+mcage+mball。

(26)

3 實例分析與驗證

f(b)]。

(27)

n越大，區間越多，區間寬度越小，計算的精準度越高。由于數值積分方法求解中計算量較大，一般采用計算機編程的方法進行計算。采用VB進行編程計算，程序運行界面如圖16所示。

圖16 運行程序

以H7021C角接觸球軸承為例，其主要設計參數見表1，利用文中方法進行計算。同時，在SOLIDWORKS中建立零件的三維模型，SOLIDWORKS中自帶了零部件的體積和質量屬性，將文中計算結果與SOLIDWORKS中的結果進行對比，見表2。由表2可知，兩者零件體積和質量誤差在允許的范圍之內，其中的誤差來源是復化梯形求積分時函數的余項。

表1 主要設計參數

表2 理論計算結果和三維模型對比表

4 結束語

通過建立機床主軸用角接觸球軸承各零件體積的數學計算方法對軸承體積進行計算，計算出體積后根據各零件的密度計算出各零件的質量。將所述方法計算的體積和質量與三維軟件中的結果進行了對比，所述方法與三維模型十分吻合，可用于精確計算主軸軸承零件的體積和質量。在利用軟件進行軸承設計時，可以將文中所述方法編制為所需的子程序，在完成軸承設計后便可直接得到軸承各零件的體積和質量。