新型可調動力吸振器設計及參數優化

李強，董光旭，張希農，羅亞軍，張亞紅，謝石林

西安交通大學 航天航空學院，機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049

振動控制在航天航空領域里具有舉足輕重的作用。空間站、航天器以及軍民用飛機中由機械旋轉不平衡、熱變形或流體運動等引發的零部件震動、機翼顫振等，極易造成結構變形損傷等嚴重后果[1-3]。Boucher[1]詳細分析了空間站不同部件中的振動源，包括太陽能陣列和熱輻射器旋轉接頭、通訊天線、姿態控制陀螺儀等，指出由旋轉接頭等誘發的機械振動往往頻率較低。吸振器作為一種常用振動控制設備，其中的線性吸振器由于結構簡單、安裝方便等優勢已在振動控制領域內得到大量應用[4-8]，然而其狹小的減振帶寬及常規吸振頻帶往往無法滿足航天設備實際設計中對低頻振動控制的需求。為此，學者們積極尋找解決方法，其中的一個主要觀點是引入非線性吸振器[9-13]。

作為一種研究最為廣泛的非線性吸振器——非線性能量吸收器(NES)，因其無固有頻率，故而能與任意振動頻率相適應[14-15]。定向能量轉移(TET)是NES的重要特性，可實現能量不可逆轉移，該特性已在理論和實驗中得到證實[16-18]。Gendelman等在文獻[19-20]中先后詳細研究了NES的非線性特性，并指出處于強調制(強準周期)的NES具有優越的振動抑制性能。Hubbard等[21]在將其應用于機翼振動控制時表明，NES的TET特性在氣動穩定性方面極具研究前景。但由于缺少線性剛度項，使其承載能力弱，而共振頻率隨振幅變化的特性，增大了NES對固定頻率振動抑制的實現難度。

引入線性剛度項的非線性吸振器，通常被稱為非線性調諧吸振器(NTVA)，其具有本征頻率，非線性剛度項使共振頻率在本征頻率附近偏移。Roberson[9]在理論研究具有立方恢復力項的NTVA中發現該類吸振器具有拓寬吸振頻帶的特性，引起學者對此極大關注。Nissen等[10, 22]采用碟形線圈對構成具有軟彈簧特性的NTVA，使得吸振帶寬約達到線性吸振器的2倍。為充分利用該類吸振器進行振動控制，學者們提出各種結構形式，實現該類吸振器設計。Rice和McCraith[11]提出兩端固定梁的中心位置變形時恢復力呈非線性特性，利用該特點進而形成由對稱斜彈簧構成非線性剛度[23]，而劉海平等[24]則在此基礎上提出使用歐拉屈曲梁代替斜彈簧。采用磁性機構則為另一種常見方式[25-26]，采用該方式設計出的吸振器往往具有結構簡單、占用空間小、便于控制等優點。Natsiavas[27]通過深入分析引入NTVA后的系統頻響曲線中所出現各種情況，指出須選擇適當的吸振器參數，才可避免不穩定響應，并有效抑制主系統振動，否則，將導致多值振動、組合共振、分岔混沌等復雜非線性現象[28-30]。

在航天器及空間站中，為應對多種或可變共振頻率振動，實現調諧特性在吸振器設計中將顯得尤為重要。Keye等[31]指出渦輪螺旋漿飛機噪聲與螺旋葉片數與轉數積相關，不同飛行階段引擎轉數變化使得共振頻率不同，固定本征頻率的NTVA往往難以有所建樹，為此提出一種軸向預壓懸臂梁的吸振器模型，用于實現調諧特性。Deng等[32]研究基于磁流變彈性體特性的NTVA時，實驗證明通過改變磁場強度，可實現固有頻率在55～82 Hz范圍內變化。Bonello等[33]則基于可變剛度單元概念采用3種設計實現剛度可調特性。Franchek[34]設計了一種類反饋控制的基于最小化輸入電壓調諧電路實現剛度調節，實驗證明了該設計的可行性。

然而, 遺憾的是，常規NTVA振動控制頻帶往往難以向低頻/超低頻范圍擴展。負剛度，因可實現準零剛度特性，而被成功應用于隔振器對低頻/超低頻振動的有效隔離中[35]，這啟示著學者們將其應用于吸振器設計。Shen等[36]提出一種負剛度吸振模型，應用定點理論得到最優吸振器參數，從理論上證明了負剛度可提高吸振器對主系統振動幅值的抑制能力。Acar和Yilmaz[37]則提出一種配有負剛度張力調整機制的弦-質量可調吸振器，實驗表明，負剛度的移頻特性在低頻振動有效控制中作用極為顯著。在前述學者們的研究中，負剛度被認定為線性，然而絕大多數負剛度實現方式在本質上是非線性的。在吸振器設計中，負剛度的非線性特性往往更難以被忽略，卻少有學者對此深入研究。

為實現低頻振動控制，擴展其可應用頻率范圍，本文提出一種負剛度實現機制，并在此基礎上，設計出一種新型可調動力吸振器(NDVA)。將提出的吸振器用于低頻振動控制時，由于負剛度的非線性特性，為避免傳統非線性參數優化方法耗時低效等缺陷，提出一種基于穩定性分析的參數優化方法，通過簡單迭代獲取最優吸振器參數。此外，提出的吸振器的優越魯棒穩定性使其在低頻/超低頻振動控制中的應用價值和潛力顯著提高。

1 新型可調動力吸振器

如圖1所示，新型可調動力吸振器由螺旋柔性彈簧(SFS)、剛性桿、磁性負剛度彈簧(MNSS)及其他輔助部件組成。螺旋柔性彈簧承載位于其腔室內的環形永磁體6，螺旋臂提供軸向正剛度，在環形永體6位移不大時，其剛度保持不變[38]。法蘭直線軸承2、11外壁底部及端部帶有外螺紋，與外圓柱壁19的內螺紋相互嚙合，上下旋轉時，可移動固定于其外側的環形永磁體4、13，從而調整相對于環形永磁體6的相對距離。剛性桿與螺旋柔性彈簧及環形永磁體6內壁固定，通過軸承中心通孔與主系統相連接。

如圖2所示，磁性負剛度彈簧由4、6、13這3個環形永磁體組成，3個環形永磁體均沿軸向磁化，環形永磁體4和13對環形永磁體6的作用力表現為吸引形式。基于分子電流假說，磁性負剛度彈簧的理論等效剛度為[38]

圖1 新型可調動力吸振器剖面圖Fig.1 Cross-section of new tunable dynamic vibration absorber

(1)

式中：μ0為真空磁導率，μ0=4π×10-7N·A-2;M1和M2為環形永磁體6和環形永磁體4、13的磁化強度大小；Φ1和Φ2的表達式為

(2)

其中：z1和φ1為環形永磁體6的局部柱坐標；z2和φ2為環形永磁體4、13的局部柱坐標；z為環形永磁體6的位移；r(1)和r(2)為環形永磁體6的內外半徑；rin,2和rout,2為環形永磁體4、13的內外半徑；h1和h2分別為環形永磁體6和環形永磁體4、13的厚度；z(1)和z(2)為環形永磁體6的上下表面在z軸方向上的位置，z(1)=z-h1，z(2)=z+h1。圖3(a)為磁剛度隨位移z的變化曲線，仿真參數如表1所示。從圖3(a)中可以看出：磁剛度隨環形永磁體6距靜平衡位置的距離的增大先增大而后在越過點Q1和Q2后有所下降，且在其位移不超過Q1和Q2限定范圍時，如圖3(b)所示，理論磁剛度可被近似為

km=k11+k33z2

(3)

圖2 磁性負剛度彈簧(MNSS)設計Fig.2 Layout of Magnetic Neagtive Stiffness Spring(MNSS)

式中：k11和k33為系數。進一步研究發現，若使環形永磁體6的位移始終處于(-l/2,l/2)范圍，改變磁間距l時磁剛度仍可用式(3)的多項式擬合，僅其各項系數k11和k33有所變化。如圖4所示，k11和k33與磁間距l滿足函數關系，可用式(4)和式(5)進行描述：

k11=f1(l)=-16.87-

(4)

圖3 磁剛度隨環形永磁體6位移的變化曲線Fig.3 Curves of magnetic stiffness vs displacement of annular permanent magnet 6

表1 磁環參數Table 1 Parameters of magnetic rings

圖4 等效磁剛度系數隨磁間距l的變化曲線Fig.4 Curves of equivalent magnetic stiffness coefficients vs gap l

k33=f3(l)=-2.92×108+8.03×106·

(5)

若螺旋柔性彈簧剛度為kSFS，則吸振器所提供的恢復力為

(6)

式中：k1=kSFS+k11,k3=k33/3。

2 動力學方程的建立

圖5 系統動力學模型Fig.5 Systemic dynamical model

將提出的吸振器用于主系統振動控制時，其動力學模型可簡化為如圖5所示。利用牛頓第二定律，結合式(6), 可得到系統動力學方程為

(7)

式中：ms、cs和ks為主系統的質量、等效黏性阻尼系數和剛度；m和c分別為吸振器的質量和等效黏性阻尼系數；F為激振力幅;ω為外激勵頻率；t為時間。

引入無量綱量：

式(7)可化為

(8)

進一步令

則由式(8)可得到

(9)

將式(9)寫為矩陣形式為

(10)

式中：

3 穩態響應

設系統響應為

X=ucosτ+vsinτ

(11)

式中：u=[us,u]T,v=[vs,v]T。u和v關于時間慢變，慢變假設為

u′cosτ+v′sinτ=0

(12)

結合式(12), 將式(11)代入式(10)，可得到

(Mv′-Mu+Cv+Ku)cosτ-

(Mu′+Mv+Cu-Kv)sinτ=f(u,v,τ)

(13)

結合式(12)和式(13)，在(0, 2π)上關于cosτ與sinτ積分并求平均，可得到

(14)

(15)

u′=0,v′=0

(16)

將式(16)代入式(14)和式(15)，可得到頻響方程組為

(17)

(18)

相位為

(19)

(20)

為分析穩態解的穩定性，引入攝動量，即

{u→u0+Δu

v→v0+Δv

(21)

式中：u0和v0為穩態解；Δu和Δv為攝動量。將式(21)代入式(14)和式(15)中，忽略二次及其以上項，可得攝動方程為

(22)

其中：J為雅克比矩陣，其具體表達式見附錄A。若矩陣J所有特征值的實部小于零，則認為穩態解穩定，否則認為不穩定。

非線性吸振器相比于線性吸振器(LDVA)，目前被學者廣泛認可的優勢在于有效拓展吸振帶寬，該特性在本文所提出的吸振器中得到體現，如圖6所示。從圖6可以看出，存在最優磁間距l, 將NDVA的吸振帶寬BNDVA拓寬至約為線性吸振器BLDVA的2.5倍。但值得注意的是，帶寬雖得以拓寬，但仍難以有效抑制由頻帶較寬的外干擾引起的振動，且因吸振器阻尼較小，振動衰減時間一般較長。因此，為迅速衰減較寬頻帶振動，通常以振幅最小化為吸振參數優化目標。本文所提出吸振器采用磁性剛度，對磁間距l敏感，因而調整磁間距l對振動響應的影響將顯得極為明顯。從圖7中看，將l從20.0 mm調整到22.5 mm時，高幅響應曲線分離出獨立于主低幅響應曲線之外的高幅游離環，而進一步增大到25.0 mm時，游離環消失，僅剩幅值較小的主響應曲線，使共振頻率附近較大頻帶內的振動得到控制。因此，為獲得最優振動控制效果，選擇適當的吸振器參數，尤其是磁間距l, 其意義將顯得尤為重大。為避免傳統非線性吸振器參數優化算法耗時長、效率低等缺點，第4節中將基于穩定性分析，提出一種參數優化方法，通過簡單迭代獲得以磁間距為主要優化對象的最優參數值。

圖6 減振帶寬比隨磁間距l的變化曲線Fig.6 Curve of absorption bandwidth ratio vs gap l

圖7 磁間距l對頻響曲線的影響Fig.7 Effect of gap l on frequency response curves

4 參數優化

穩定性分析作為非線性系統中必不可少的部分，在吸振器參數優化設計中必然涉及避免不穩定性振動的出現。平衡點附近存在的分岔常見的有鞍結分岔和霍普夫分岔。霍普夫分岔具有較強條件性，鞍結分岔則常存在于一般非線性系統中。當其出現時，意味著系統發生突跳，嚴重削弱非線性吸振器的振動抑制能力。利用穩定性對吸振器參數進行優化是一種新思路。在文獻[39]中，采用穩定性分析方法實現了吸振器參數優化,突跳等非線性現象得到避免，主系統振動得到有效抑制。參數優化后的主系統頻響必然為單值，換言之，非線性吸振器的最優參數必然存在于使得主系統響應為單值的取值區間內。而界定響應單值或多值臨界條件為突跳，也稱鞍結分岔。因此，對鞍結分岔的分析有助于實現非線性吸振器參數優化。

4.1 鞍結分岔

本節主要分析鞍結分岔存在時參數間所滿足的函數關系以及吸振器參數對鞍結分岔分布的影響，為4.2節參數優化提供依據。

4.1.1 鞍結分岔條件

若令s=Y2，式(18)可重寫為

as3+bs2+cs+d=0

(23)

式中：系數a、b、c和d的表達式見附錄B。對式(23)關于s微分，有

3as2+2bs+c=0

(24)

結合式(23)和式(24), 消去s, 可得到

27a2d2+4b3d+4c3a-18abcd-b2c2=0

(25)

式(25)即為鞍結分岔存在時吸振器參數間所需滿足的函數關系。系統非線性大小為鞍結分岔存在的關鍵參數。因此，以系統非線性κ為參數進行穩定性分析將最為適當。

(26)

式中：

對式(26)進行求解，可得到

(27)

式中：

圖8 鞍結分岔存在時的參數平面(κ, λ)Fig.8 Parametric plane (κ, λ) in presence of saddle-node bifurcation

圖8為鞍結分岔存在時的(κ,λ)參數平面，其中，μ、ω0及ζ等參數固定。圖8(a)為全局分布，圖中曲線表示鞍結分岔出現時對應的非線性值κ及頻率比λ。曲線將參數平面分成2個區域：1—三解區域；2—單解區域。κ正負分別與硬彈簧剛度特性和軟彈簧剛度特性對應。從圖8(a)中可以看出，剛度表現為硬彈簧特性和軟彈簧特性時曲線分布具有較好的相似性。圖8(b)為κ<0時的參數平面(κ,λ)。不連續分布曲線可分為左右2個獨立分支。右側分支位于主系統共振頻率附近，而左側分支遠離共振頻率，分別對應頻響曲線中左右2個共振區。為分析非線性取不同值時的系統響應特征，將非線性分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ這4個區間，其中Ⅰ和Ⅲ區間對應單值響應，Ⅱ和Ⅳ區間則為多值響應。從響應優化角度看，對Ⅰ和Ⅲ的區間分析將作為研究重點，將在4.2節進行詳細分析。

4.1.2 參數影響

當系統響應發生突跳時，系統非線性κ必將處于Ⅱ或Ⅳ區間。若調整吸振器中某參數，使得(κ,λ)平面中不同區間臨界非線性值改變，從而系統非線性κ小于參數改變后進入Ⅱ或Ⅳ區間的臨界非線性值，進而使得系統非線性κ處于Ⅰ或Ⅲ區間內，突跳得以避免，從而達到優化參數目的。因此可認為阻尼、質量比等在優化中的作用為影響(κ,λ)平面上不同區間非線性臨界值的增大或減小。

圖9為阻尼對參數平面(κ,λ)的影響。隨阻尼增大，各區間臨界非線性值迅速增大。當阻尼增大到一定程度時，右側分支消失，意味著在較大非線性κ取值范圍內主系統共振頻率附近內不存在突跳。隨阻尼增大，曲線所包含區域迅速減小，表明多值振動存在區域不斷減小，系統振動穩定性得到增強。因此，適當增大阻尼可在保證系統避免突跳的同時，提高系統振動穩定性。

圖9 阻尼對參數平面(κ, λ)的影響Fig.9 Effect of damping on parametric plane (κ, λ)

圖10 調頻比ω0對參數平面(κ, λ)的影響Fig.10 Effect of tuning ratio ω0 on parametric plane (κ, λ)

圖10為調頻比ω0對參數平面(κ,λ)的影響。適當增大調頻比ω0，曲線左側分支下降而右側分支抬高，增大進入Ⅱ區間的臨界非線性值，意味著突跳發生閾值得以提高。但不幸的是，調頻比ω0超過一定值后，曲線左側分支下降超過低于右側分支最小非線性值，反而減小系統不發生突跳所能允許的非線性κ取值區間。值得注意的是，曲線包含區域范圍隨調頻比ω0增大而在迅速擴大。因此，調頻比ω0僅在一定范圍內增大對避免突跳是有利的。質量比μ對參數平面(κ,λ)的影響與調頻比ω0類似，在此不予贅述。

4.2 參數優化算法

本節結合4.1節中的穩定性分析，通過簡單迭代獲得提出吸振器的最優參數。

4.2.1 迭代優化算法原理

結合圖8(b), 取各區間非線性值，得到圖11對應的響應曲線, 1、2、3、4與Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ區間一一對應。從圖11中結果看，系統非線性κ不大于Ⅰ和Ⅱ區間臨界非線性值為參數優化必需條件。結合式(27)，可得到Ⅰ和Ⅱ區間的臨界非線性值κcr為

κcr=μg(ω0,ξ,μ)min

(28)

從而避免突跳的有效非線性值為

κava=ηκcr

(29)

式中：η∈[0,1]被稱為有效系數。 第2節系統方程無量綱化過程中，系統非線性κ被定義為

(30)

若欲使系統振動得到有效控制，需使系統非線性κ等于有效非線性值κava。結合式(28)～式(30), 可得到吸振器非線性剛度系數滿足

圖11 非線性取值位于不同區間時對應的頻響曲線Fig.11 Corresponding frequency response curves for nonlinear values in different regions

(31)

進一步結合式(5), 環形永磁體6和環形永磁體4、13間避免突跳的有效間距為

(32)

式中：lcr為臨界磁間距。當磁間距l處于有效范圍內時，系統響應不發生突跳，系統將表現出類線性系統行為。因此，基于上述分析，結合線性吸振器設計準則，將得到獲取最優參數的簡單迭代算法。

在線性吸振器設計中，最優調頻比為[40]

(33)

對于杜芬振子，其共振頻率隨振幅發生偏移，骨架線由文獻[41]給出為

(34)

以線性吸振器設計中的最優調頻比作為最優調頻比，即

(35)

結合式(34)和式(35), 有

(36)

參數尋優迭代算法步驟為：

1) 設定迭代初值ω0，結合式(31)和式(32)求取非線性剛度系數以及有效磁間距l。

2) 結合頻響方程式(18), 尋找頻響曲線最大振幅Ymax。

3) 結合式(36)及步驟1)和步驟2)中獲得的參數，更新ω0。

4) 反復重復步驟1)～步驟3)，當先后2次獲得的ω0誤差不大于設定值，輸出ω0與l。

輸出值ω0與l即最優值。

4.2.2 參數優化結果分析

圖12為迭代算法獲得最優調頻比ω0,opt與最優磁間距lopt的過程。取任意初始調頻比ω0，經過有限步迭代后，調頻比ω0與磁間距l迅速收斂于最優值。在上述迭代中，有效系數η和阻尼c均已知。圖13和圖14分別為有效系數η和阻尼c對最優調頻比ω0,opt與最優磁間距lopt取值及系統響應影響。如圖13(a)和圖13(b)所示, 當增大有效系數η時，最優磁間距lopt不斷減小，最優調頻比ω0,opt則增大，但有效系數η變化時獲取的最優參數值所對應的系統頻響變化卻不大(見圖14(a))。當有效系數η固定時，隨阻尼c增大，最優磁間距lopt和最優調頻比ω0,opt的變化規律與有效系數η影響類似，對系統響應影響也類似于有效系數η(見圖14(b))。因此，有效系數η和阻尼c的取值在吸振器設計中非主要優化參數。在實際設計中，根據實際阻尼值c，任取有效系數η<1，通過簡單迭代得到最優磁間距lopt和最優調頻比ω0,opt，可使得主系統振動在共振頻率附近較寬頻帶范圍內得到有效抑制。提出吸振器的另一優勢——魯棒穩定性，將在第5節說明。

圖12 任意初值ω0下的迭代尋優過程Fig.12 Procedure of optimization with iteration for arbitrary initial ω0

圖13 c和η對最優參數值的影響Fig.13 Effect of c and η on optimal parameters

圖14 不同η和 c所取得最優參數值對應的頻響曲線Fig.14 Frequency-response curves of optimal parameters with different η and c

5 魯棒性穩定性

吸振器在實際應用于航天設備的振動控制時，往往存在大量不確定因素，如結構加工裝配誤差、機械磨損等造成剛度、阻尼偏移及航天器等復雜工作環境中的干擾源強度等。這些不確定參數對在確定參數下設計的吸振器振動抑制性能影響較大。這些不確定因素的變化對吸振器的振動抑制性能有效發揮的影響程度，換言之，吸振器對不確定因素的抵抗能力的研究，將顯得尤為重要。吸振器對這種不確定因素變化引起振動抑制性能衰減的抵抗能力稱為魯棒穩定性。圖15為使用本文所提出的吸振器與線性吸振器時調頻比ω0、阻尼c以及干擾幅值F在一定范圍變化時主系統最大位移的對比結果。主系統位移越小，則表示魯棒穩定性越好。圖15(a)、圖15(b)和圖15(c)的對比結果可證明，提出吸振器在魯棒性穩定性方面比線性吸振器更具優勢，使得所提出的吸振器在實際振動控制中往往具有更優越的效果。

圖15 本文所提吸振器的魯棒穩定性Fig.15 Robustness of proposed absorber

6 結 論

1) 新型吸振器具有的磁性剛度對磁間距敏感，可通過螺紋機制改變外磁環與運動磁環相對間距，使所提出的吸振器具有調諧特性。

2) 將吸振器應用于振動控制時，采用平均法推導出系統頻響方程及穩定性判據。為獲得最優吸振器參數并避免傳統非線性吸振器參數尋求中耗時低效等缺陷，基于穩定性分析，通過簡單迭代算法，快速獲取最優參數值。

3) 相比于線性吸振器，新型吸振器優越的魯棒穩定性，提高其應對復雜工作環境能力，增強振動抑制效果及可靠性，使所提出的吸振器在低頻/超低頻振動控制領域更具研究價值和應用前景。

(A1)

式中：

J11=-2Zλ

(A2)

J13=-(λ2(1+μ)-1)

(A3)

J14=-λ2μ

(A4)

(A5)

J23=-λ2

(A6)

(A7)

J31=λ2(1+μ)-1

(A8)

J32=λ2μ

(A9)

J33=-2Zλ

(A10)

J41=λ2

(A11)

(A12)

(A13)

附錄B

a、b、c、d的具體表達式為

(B1)

(B2)

4Zζω0λ2+λ4μ]2

(B3)

d=-λ4

(B4)