平滑重構(gòu)稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)測向算法

陳璐，畢大平，潘繼飛

1. 國防科技大學(xué) 電子對抗學(xué)院, 長沙 410073 2. 安徽省電子制約技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 合肥 230037

在信號處理領(lǐng)域中，波達(dá)方向(Direction of Arrival, DOA)估計(jì)一直是研究的熱點(diǎn)問題。在陣列信號處理中，大量的高分辨角度估計(jì)算法被提出，如多重信號分類(MUltiple SIgnal Classification，MUSIC)算法、信號參數(shù)估計(jì)旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)(Estimation Signal Parameter via Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)、最大似然(Maximum Likelihood , ML)算法等[1-4]。在均勻線性陣列中，對于傳統(tǒng)角度估計(jì)算法而言，被估計(jì)輻射源個(gè)數(shù)不能超過均勻線陣陣元個(gè)數(shù)，極大地限制了實(shí)際應(yīng)用，而通過研究發(fā)現(xiàn)非均勻線陣能夠提高參數(shù)估計(jì)的自由度(Degrees of Freedom, DOF)，因此，非均勻線陣測向問題成為近來研究的熱點(diǎn)[5-7]。典型的非均勻線陣有：最小冗余陣列、互質(zhì)陣列、嵌套陣列。相對于另外兩種陣列而言，嵌套陣列由于角度估計(jì)自由度高，陣元位置存在閉式表達(dá)式，因此，嵌套陣列的相關(guān)研究受到廣泛關(guān)注。

陣列信號處理技術(shù)應(yīng)用于實(shí)際過程中存在許多問題，如互耦效應(yīng)、陣元增益和相位失配、陣元位置誤差、模型失配、多徑效應(yīng)等。其中互耦效應(yīng)是由于陣元間的相互干擾造成的，陣元間隔越大，互耦效應(yīng)越小[8-10]。嵌套陣列的第一級陣列為緊湊陣列，在實(shí)際應(yīng)用中，必然受到互耦影響，導(dǎo)致測向精度嚴(yán)重下降。常用的降低互耦效應(yīng)的方法是：在設(shè)計(jì)陣列時(shí)，盡量提高陣元間隔，增加陣元稀疏度，以減小互耦影響；在陣列結(jié)構(gòu)固定時(shí)，建立互耦矩陣模型，通過估計(jì)互耦矩陣進(jìn)行互耦補(bǔ)償，部分抵消陣元間的相互影響提高陣列測向魯棒性[11-12]。文獻(xiàn)[13]已經(jīng)證明，在互耦測向模型的基礎(chǔ)上，已知陣列互耦矩陣的前提下，傳統(tǒng)測向算法可以有效降低互耦影響。但是對于任意結(jié)構(gòu)的非線性陣列，互耦矩陣往往不存在對稱結(jié)構(gòu)，因此估計(jì)較為困難。針對嵌套陣列這種非線性陣列易受互耦效應(yīng)影響的問題，文獻(xiàn)[14-15]通過對原有嵌套陣列陣元位置的優(yōu)化，提高了陣列稀疏度，降低了陣元間的互耦效應(yīng)，但是文獻(xiàn)中的優(yōu)化方式，僅僅將嵌套陣列稀疏化，沒有擴(kuò)展其差分共陣[16]的自由度。為增加嵌套陣列陣元稀疏度的同時(shí)，提高原嵌套陣參數(shù)估計(jì)自由度，本文通過對二級嵌套陣列(Two Level Nested Array, TLNA)陣元位置進(jìn)行調(diào)整，提出了兩種不同的平移嵌套陣列結(jié)構(gòu)，不僅提高了陣列稀疏度，降低了陣元間的互耦效應(yīng)，而且擴(kuò)展了差分共陣的自由度，增大了虛擬陣列孔徑，同時(shí)保證差分共陣“無孔”。

文獻(xiàn)[16-17]中的嵌套陣列測向方法為空間平滑多重信號分類(Spatial Smoothness MUltiple SIgnal Classification, SS-MUSIC)算法，該算法通過對陣列接收信號協(xié)方差矩陣進(jìn)行矢量化，構(gòu)成新的觀測信號，通過MUSIC算法進(jìn)行角度估計(jì)，該算法精度較高，但是算法易受噪聲影響，并且當(dāng)陣列接收數(shù)據(jù)較多時(shí)，由于需要對協(xié)方差矩陣進(jìn)行頻繁變換，使算法計(jì)算量較大。近年來，壓縮感知(Compressed Sensing, CS)理論被應(yīng)用于角度估計(jì)領(lǐng)域，使陣列測向精度得到進(jìn)一步提高[18-20]。壓縮感知理論的主要優(yōu)勢在于避免了對協(xié)方差矩陣的運(yùn)算，但是將壓縮感知理論應(yīng)用于嵌套陣列測向中主要存在觀測矩陣維度較高，計(jì)算復(fù)雜度大的問題[21-22]。

本文針對將稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法應(yīng)用于嵌套陣列計(jì)算量大的問題，提出了平滑重構(gòu)稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(Smooth Reconstruction Sparse Bayesian Learning, SR-SBL)算法，算法將陣列接收信號協(xié)方差矩陣矢量化之后構(gòu)成的觀測信號進(jìn)行重構(gòu)，使單測量矢量(Single Measurement Vector，SMV)貝葉斯模型變?yōu)槎鄿y量矢量模型，縮減了觀測矩陣的維度，對新的觀測值進(jìn)行奇異值分解，降低了信號空間維度，去除了部分信號噪聲，然后推導(dǎo)了多測量矢量稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)迭代模型，有效降低原有稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(Sparse Bayesian Learning，SBL)算法的復(fù)雜度。仿真分析表明，本文提出的兩種平移嵌套陣列結(jié)構(gòu)有效提高了原嵌套陣列形成的虛擬陣列的測向自由度，增大了陣元稀疏度，SR-SBL算法有效降低了原測向算法的計(jì)算復(fù)雜度，提高了測向精度。

1 嵌套陣列互耦測向模型

圖1為多級嵌套陣列結(jié)構(gòu)圖，多級嵌套陣列第一級為緊湊線陣，陣元間存在互耦影響，因此，需要建立互耦測向模型。

假設(shè)嵌套陣列接收到從K個(gè)不同方向入射的窄帶信號，θi∈[-π/2,π/2](i=1,2,…,K)。在陣元間存在互耦效應(yīng)的條件下，陣元數(shù)M的嵌套陣列接收輻射源信號模型為

x(n)=CA(θ)s(n)+v(n)

(1)

(2)

式中：cn m為陣元n和陣元m之間的互耦系數(shù)，其大小與陣元間距負(fù)相關(guān)，表達(dá)式為

圖1 多級嵌套陣列結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram for multilevel nested array

其中：B為互耦效應(yīng)最大間距，兩個(gè)陣元間距小于B時(shí)，相互之間存在互耦影響，大于B時(shí)，互耦影響為0；f(dn m)為互耦函數(shù)，與距離dn m為負(fù)相關(guān)。通過互耦評價(jià)函數(shù)式衡量陣列互耦效應(yīng)大小:

(3)

2 平移嵌套陣列結(jié)構(gòu)

二級嵌套陣列由一個(gè)緊湊陣列和一個(gè)稀疏陣列組成，在實(shí)際應(yīng)用中，作為嵌套陣列的第一級緊湊陣需要滿足d≤λ/2,由于陣元位置密集，因受到互耦效應(yīng)影響，導(dǎo)致陣列測向性能下降。本文提出一種平移嵌套陣列結(jié)構(gòu)，可以通過調(diào)整原嵌套陣列的陣元位置，能夠提高陣元稀疏度，減小互耦效應(yīng)影響。

假設(shè)存在一個(gè)二級嵌套陣列，每一級嵌套陣元數(shù)為N1=N2,陣元總數(shù)為M=N1+N2,第一陣元位置為dn=nd0(n=0,1,…，N1-1),第二級陣元位置為dm=[m(N1+1)-1]d0(m=1,2,…,N2)。嵌套陣陣元位置索引集合為S=S1∪S2,其中S1={n|n=0,1,…,N1-1}表示第一級陣元位置整數(shù)集合，S2={m(N1+1)-1|m=1,2,…,N2}為第二級陣元位置整數(shù)集合。將第一級嵌套陣列陣元平移到第二級嵌套陣列另一側(cè)可表示為

(4)

式中：S2(N2)為集合S2中第N2個(gè)元素。有如下性質(zhì):

(5)

其中：D{S1,S2}={i-j|i∈S2,j∈S1}表示集合S2與S1所有元素差值的集合。由此可見，平移第一級嵌套陣列到第二級嵌套陣列另一側(cè)，兩個(gè)集合之間元素的差值相同。因此，可以通過對第一級嵌套陣列的部分陣元位置進(jìn)行平移，來提高陣元稀疏度，減小互耦影響。

(6)

(7)

E={N1-j|0≤j≤N1-2,j∈Z}

(8)

(9)

圖2 幾種嵌套陣型結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Diagrams of some nested structures

圖2(a)為每級陣元數(shù)為5的二級嵌套陣列，式(8)表示的平移方式如圖2(b)和圖2(c)，稱為連續(xù)平移嵌套陣列(Continuous Translational Nested Array，CTNA)，式(9)表示的平移方式如圖2(d)，稱為間隔平移嵌套陣列(Interval Translational Nested Array, ITNA)。根據(jù)嵌套陣列自由度計(jì)算公式，平移嵌套陣列增大了陣列自由度，且平移嵌套陣列對原嵌套陣列的第一級陣列進(jìn)行了稀疏化改進(jìn)，陣元間隔的增大能夠減小互耦影響，提高陣列角度估計(jì)精度。

3 平移嵌套陣列單測量矢量測向模型

根據(jù)式(1)，在嵌套陣列基礎(chǔ)上，進(jìn)一步推導(dǎo)陣列測向模型。由于空域中的K個(gè)信號源之間相互獨(dú)立，信號源s(t)的協(xié)方差矩陣為Rss=diag(ρ1,ρ2,…，ρK),其中ρk為第k個(gè)信號源的功率。由式(1)可得，接收信號x(t)的協(xié)方差矩陣為

Rxx=E{x(n)xH(n)}=

CA(θ)E{s(n)sH(n)}CHAH(θ)+

E{v(n)vH(n)}=

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

4 平滑重構(gòu)稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)角度估計(jì)

4.1 平滑重構(gòu)稀疏模型

為解決平移嵌套陣列SMV模型計(jì)算復(fù)雜度高的問題，本文提出SR-SBL角度估計(jì)算法。

Y=ΨP+E

(15)

圖3 虛擬陣列劃分方法Fig.3 Partition method for virtual array

4.2 奇異值分解

為進(jìn)一步縮小計(jì)算量，可以對觀測矩陣Y進(jìn)行奇異值分解，設(shè)Y=UΓVT,Γ為Y的奇異值矩陣，U、V分別為左、右正交矩陣。則式(15)的稀疏模型可以化簡為

Ys=ΨPs+Es

(16)

式中：Ys=YVD,Ps=PVD,Es=EVD,D=[IK0]。通過式(16)，能夠?qū)?shù)據(jù)中的噪聲部分去除，提高信噪比，減小計(jì)算量，降低噪聲的影響。

4.3 多測量矢量SBL算法

在式(16)的基礎(chǔ)上，使用多測量矢量SBL算法求解。假設(shè)K個(gè)輻射源方向在觀測矩陣Ψ中對應(yīng)的列索引集為K，則有

K={k∈N|Pkl≠0}

(17)

Ψ中這K列組成的測量矩陣可表示為ΨK。

假設(shè)式(15)中Es為復(fù)高斯白噪聲，方差為σ2,則觀測值Ys的概率密度為

Pr(Ys|Ps;σ2)=

(18)

假設(shè)稀疏信號矩陣中各元素相互獨(dú)立，且服從零均值復(fù)高斯分布，Ps先驗(yàn)概率密度函數(shù)可表示為

(19)

式中：Λ=diag(γ),γ=[γ1γ2…γA]T,γi為Ps中第i行[Ps]i的方差。當(dāng)γi為零時(shí)，對應(yīng)的[Ps]i行也為零。

根據(jù)貝葉斯準(zhǔn)則，在已知觀測值Ys的前提下，Ps后驗(yàn)概率密度函數(shù)可表示為

(20)

作為歸一化因子，忽略分母。因此，有

Pr(Ps|Ys;γ,σ2)∝Pr(Ys|Ps;σ2)Pr(Ps;γ)∝

CN(μP,ΣP)

(21)

將式(18)和式(19)代入式(21)，可得稀疏信號矩陣Ps的后驗(yàn)均值μP和方差ΣP為

(22)

(23)

式中：

(24)

根據(jù)矩陣求逆引理可得

σ-2IL-σ-2ΨΣPΨHσ-2

(25)

根據(jù)式(22)可知，Λ的對角線元素決定了μP的稀疏度，從而決定了稀疏信號矩陣Ps的稀疏度，因此，稀疏信號矩陣Ps的非零行索引可表示為

K={k∈N|γm>0}

(26)

式(20)中分母可表示為

(27)

對式(27)取對數(shù)可得

(D-L+1)lg detΣY∝

(28)

其中觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

(29)

超參數(shù)γ,σ2可以通過最大化式(28)獲得

(30)

由于

(31)

(32)

式中：Ψm為觀測矩陣Ψ的第m列，對式(30)求導(dǎo)可得

(33)

(34)

與稀疏信號矩陣Ps的非零行對應(yīng)的觀測值協(xié)方差矩陣可表示為

(35)

式中：ΨK為與集合K元素對應(yīng)的觀測矩陣Ψ的列組成的矩陣。式(35)與式(24)表示的值完全相同，當(dāng)ΛK與σ2達(dá)到最優(yōu)解時(shí)，需滿足：

(36)

將式(35)代入式(36)中，可得

(37)

根據(jù)式(37)求得σ2為

(38)

表1 SR-SBL角度估計(jì)算法Table 1 Direction finding algorithm based on SR-SBL

該算法的計(jì)算復(fù)雜度主要集中于式(38)對矩陣ΨK的求逆上，其計(jì)算復(fù)雜度為O(KL2),顯然，其復(fù)雜度小于單測向矢量稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的復(fù)雜度O((A+1)D2)。SR-SBL算法估計(jì)目標(biāo)個(gè)數(shù)的上限為L,L影響計(jì)算復(fù)雜度，L越大，該算法計(jì)算復(fù)雜度越大，而SMV-SBL算法估計(jì)目標(biāo)個(gè)數(shù)為D,且D≥L。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

對圖2中的4個(gè)嵌套陣列和文獻(xiàn)[14]中的超級嵌套陣列(Super Nested Array, SNA)進(jìn)行仿真，得到對應(yīng)的差分共陣，其虛擬陣元的位置如圖4所示，由圖中可以看出，文獻(xiàn)[14] 中的SNA與TLNA的虛擬陣元數(shù)相同，而本文提出的3種不同結(jié)構(gòu)的平移嵌套陣列的虛擬陣元數(shù)均大于TLNA和SNA，因此能夠增加處理輻射源的數(shù)目，提高陣列的測向自由度。

為對比5種嵌套陣列的陣元稀疏度，利用式(3)作為衡量互耦效應(yīng)大小的函數(shù)，互耦矩陣C中的元素為

x,y為均勻分布在[-0.5,0.5]區(qū)間上的隨機(jī)變量。在不同陣元個(gè)數(shù)條件下，根據(jù)式(3)，得到互耦函數(shù)值M(d)與陣元個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，如圖5。

從圖5可以看出， TLNA的陣元間的互耦效應(yīng)最大。CTNA1和CTNA2的陣元間的互耦效應(yīng)接近，并且隨陣元個(gè)數(shù)的增加互耦效應(yīng)逐漸增大。ITNA與SNA的互耦效應(yīng)接近，并且隨陣元個(gè)數(shù)的增加互耦效應(yīng)逐漸減小。

圖4 幾種嵌套陣列的差分共陣Fig.4 Difference co-array of several nested arrays

圖5 幾種嵌套陣列互耦效果對比Fig.5 Comparison of mutual coupling effects of several nested arrays

結(jié)合圖4和圖5的仿真結(jié)果可知，本文提出的CTNA1和CTNA2的虛擬孔徑大于文獻(xiàn)[14] 提出的SNA，但陣元稀疏度小于SNA。本文提出的ITNA的虛擬孔徑大于SNA，并且陣元稀疏度與SNA接近。

由圖6可以看出，兩種算法均能夠得到較好的測向結(jié)果，但通過對比圖6(a)和圖6(b)可以看出，SR-SBL算法在部分角度處的峰值(P)要明顯高于SMV-SBL算法，便于輻射源角度的識別。

圖6 兩種算法角度估計(jì)結(jié)果對比Fig.6 Comparison of results of two angle estimation algorithms

在K=10個(gè)輻射源的條件下，針對圖 2中的TLNA、CTNA、ITNA 3種結(jié)構(gòu)，利用SS-MUSIC[16]，SMV-SBL，SR-SBL 3種算法，在不同信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)和不同采樣數(shù)條件下進(jìn)行測向性能對比，進(jìn)行N=500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，得到不同信噪比和采樣數(shù)條件下，3種陣列、3種測向算法的測向根均方誤差值(Root Mean Square Error，RMSE)，得到圖7和圖8。均方誤差定義為

從圖7(a)可以看出，在SNR相同條件下，當(dāng)陣列結(jié)構(gòu)相同時(shí)，SR-SBL算法的測向精度高于SS-MUSIC算法，這是由于SR-SBL算法通過奇異值分解步驟，去除了部分噪聲，而基于子空間搜索的SS-MUSIC算法受噪聲子空間的影響較大。在SNR相同條件下，當(dāng)測向算法相同時(shí)，CTNA、ITNA的測向精度高于TLNA，這是由于平移嵌套陣列對應(yīng)的差分共陣虛擬孔徑大于TLNA。

圖7 不同SNR條件下測向結(jié)果對比Fig.7 Comparison of direction finding results under different SNR conditions

從圖7(b)可以看出，在SNR相同條件下，當(dāng)陣列結(jié)構(gòu)相同時(shí)，SR-SBL算法的測向精度高于SMV-SBL算法,這是由于SR-SBL算法在重構(gòu)多測量矢量模型時(shí)，通過奇異值分解去除了部分噪聲，而SMV-SBL沒有抑制噪聲的步驟。在SNR相同條件下，當(dāng)測向算法相同時(shí)，CTNA、ITNA的測向精度高于TLNA。

從圖8(a)可以看出，在采樣數(shù)相同條件下，當(dāng)陣列結(jié)構(gòu)相同時(shí)，SR-SBL算法的測向精度高于SS-MUSIC算法,這是由于SR-SBL算法將部分?jǐn)?shù)據(jù)重疊，能夠更充分利用數(shù)據(jù)。在采樣數(shù)相同條件下，當(dāng)測向算法相同時(shí)，CTNA、ITNA的測向精度高于TLNA，這是由于平移嵌套陣列對應(yīng)的差分共陣虛擬孔徑大于TLNA。

從圖8(b)可以看出，在采樣數(shù)相同條件下，當(dāng)陣列結(jié)構(gòu)相同時(shí)，SR-SBL算法的測向精度高于SMV-SBL算法。在采樣數(shù)相同條件下，當(dāng)測向算法相同時(shí)，CTNA、ITNA的測向精度高于TLNA。

圖8 不同采樣數(shù)條件下測向結(jié)果對比Fig.8 Comparison of results of direction finding with different sampling numbers

在10個(gè)輻射源的條件下，針對CTNA，在采樣數(shù)為1 000，信噪比為0 dB條件下，當(dāng)收斂門限ε不同時(shí)，對比SMV-SBL，SR-SBL 2種算法的收斂速度和測向精度，得到圖9。從圖9(a)可以看出，在門限相同條件下，SR-SBL算法的收斂時(shí)間小于SMV-SBL算法，這是由于SR-SBL算法的觀測矩陣維度通過變換之后，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于SMV-SBL的觀測矩陣維度，使算法復(fù)雜度比SMV-SBL低，因此相同門限條件下，SR-SBL算法的運(yùn)算時(shí)間較短。

從圖9(b)可以看出，在門限相同條件下，SR-SBL算法測向精度高于SMV-SBL算法。這是因?yàn)椋琒R-SBL算法通過奇異值分解，去除了數(shù)據(jù)中的部分噪聲，而SMV-SBL算法會受到數(shù)據(jù)噪聲影響。

圖9 收斂門限對算法的影響Fig.9 Effect of convergence threshold on algorithm

考慮陣元間互耦效應(yīng)影響，利用上面實(shí)驗(yàn)的互耦模型，分別在不同信噪比和采樣數(shù)條件下，對前文10個(gè)角度進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)行500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，得到不同信噪比和采樣數(shù)條件下，3種陣列SR-SBL測向算法的測向均方誤差值中，得到圖10。

由圖10(a)可以看出，存在互耦效應(yīng)條件下，當(dāng)SNR相同時(shí)，CTNA和ITNA的測向精度高于TLNA，并且ITNA高于CTNA。由圖 10(b)可以看出，在考慮互耦效應(yīng)的條件下，當(dāng)采樣數(shù)相同時(shí)，CTNA和ITNA的測向精度高于TLNA，并且ITNA高于CTNA。這是因?yàn)椋琁TNA陣元稀疏度高于CTNA和TLNA，因此ITNA受互耦效應(yīng)影響較小，測向精度較高。

圖10 互耦條件下SR-SBL算法測向性能Fig.10 Performance of SR-SBL algorithm for direction finding in presence of mutual coupling

6 結(jié) 論

1) 本文提出的嵌套陣列的兩種陣元結(jié)構(gòu)變換方式：連續(xù)平移嵌套陣列和間隔平移嵌套陣列，這兩種陣列的差分共陣均“無孔”，并且測向自由度和陣元稀疏度均得到提高。

2) 本文提出了SR-SBL算法，將單測量矢量模型變?yōu)槎鄿y量矢量模型，并且對變換后的觀測矩陣進(jìn)行奇異值分解，從而達(dá)到降低維度、減少計(jì)算復(fù)雜度的目的。

3) 仿真實(shí)驗(yàn)表明，在信噪比、采樣數(shù)相同的條件下，本文提出的SR-SBL算法收斂速度比SMV-SBL算法快，且測向精度比SMV-SBL算法和SS-MUSIC算法高；在存在互耦影響的條件下，當(dāng)使用相同測向算法時(shí)，本文提出的兩種平移嵌套陣列結(jié)構(gòu)的測向結(jié)果均優(yōu)于原二級嵌套陣列。