溫度加載過程中花崗巖缺陷處局部應力和能量的變化規律

高紅梅，蘭永偉，趙延林，周 莉

(黑龍江科技大學 a.建筑工程學院，b.礦業工程學院，哈爾濱 150022)

核廢料地質處置工程的污染物傳播問題是高溫熱傳導、地下水滲流、地應力等多個因素互相耦合作用的結果。其核心科學問題是由于核廢料的殘余放射性物質持續放熱，導致核廢料周圍的花崗巖溫度升高，在花崗巖內部缺陷處出現應力集中，引起缺陷發展、演化直至破壞；熱破裂后的花崗巖滲透性迅速增大，核廢料通過地下水滲流進行擴充流動，造成環境污染。

天然花崗巖本身細觀結構是由黑云母與石英、長石等晶粒及缺陷組成的復雜混合體。花崗巖由于成巖過程、成巖環境的差異，或者開挖擾動、地震作用等因素都會產生缺陷。這些缺陷大大影響了花崗巖的力學性能，造成花崗巖力學性能的非連續性和均一性。含有缺陷的花崗巖在高溫作用下，會造成花崗巖缺陷處應力集中，形成缺陷處能量積聚，從而加大了花崗巖缺陷擴展演化的敏感性。天然存在或者后期擾動形成的微缺陷演化成宏觀的裂紋，是核廢料處置工程中圍巖失穩的主要原因。因此，研究溫度作用下缺陷花崗巖內部熱應力、缺陷處局部應力變化情況、以及缺陷花崗巖能量的變化規律，對于研究溫度作用下缺陷花崗巖熱破裂起到至關重要的作用。

目前，眾多國內外學者對于均質巖石在溫度、加壓狀態時的物理、力學特性做了廣泛的研究。宋修海[1]把巖體的破裂演化看成是失穩瞬時平衡的轉態，研究考慮溫度和自由能的耦合對巖石動力學方程的非線性影響。王小瓊[2]研究巖石在壓力作用下微裂隙產生、擴展、貫通成核并引發最后巖石的整體破裂。曹文貴等[3]把微裂紋缺陷看作是巖石內部隨機分布的,提出了巖石顆粒單元強度、應力狀態對巖石損傷變形的影響。王明洋等[4]從理論上研究該局部應力的影響因素，推導了出巖石缺陷處的應力集中主要與缺陷的大小、應力集中系數等參數有關。陳琳等[5]研究了加載速率不同的情況下巖石彈性模量和峰值的變化規律。孟林等[6]應用數值模擬的方法，研究了溫度、熱導率對巖石破裂的影響。郭璇等[7]建立了內能、自由能等熱力學能量函數來表征巖石熱損傷本構模型。彭俊等[8]研究了巖石內部微裂紋的閉合壓密效應及其定量評價方法。高平[9]研究了巖石的微觀空隙對巖石和熱導系數之間的關系。謝衛紅等[10]通過實驗測試得出加載歷史與巖石損傷破壞是非線性的關系。尹土兵[11]通過先進的測試技術，得到了巖石的峰值動態隨溫度升高而降低的結論。張連英[12]利用電液伺服材料試驗系統，測試不同溫度壓力加載時泥巖的峰值強度變化規律。劉慧[13]采用了CT掃描技術，研究溫度作用下巖石細觀晶體變化規律。仵彥卿等[14]利用CT技術研究了巖石應力和損傷的關系。李地元等[15]研究了單軸應力下缺陷巖石破裂演化規律。徐小麗等[16]通過聲發射圖像，得出了巖石強度和耗散能之間關系。譚志宏等[17]通過實驗室單軸壓縮測試實驗，研究了花崗巖裂紋的擴展規律。林鵬等[18]研究了不同預制裂紋角度對玄武巖破壞強度的影響規律。王利等[19]建立了基于微缺陷累計成核數序列的裂紋尺度生長模型和損傷演化模型。韓同春等[20]通過編制程序，研究了缺陷數目對巖石聲發射的影響規律。鄭達等[21]通過電鏡掃描實驗，研究圍壓對巖石強度參數和變形參數的敏感性。張飛等[22]用編制的程序研究分形維數對巖石破裂的影響。謝衛紅等[23-24]通過理論推導，研究了溫度、應力對巖石損傷余能釋放率的影響。肖曉春等[25]建立了巖石熱應力、有效應力作用下損傷理論模型。張力民[26]研究了裂隙長度、裂隙傾角對巖石整體強度的宏觀影響。盧志堂等[27]研究了高溫作用對花崗巖的強度峰值影響規律。唐世斌等[28]通過數值模擬，研究了巖石隨溫度升高損傷破裂的規律。邱一平等[29]研究了熱應力是花崗巖單元破裂形成裂紋擴展演化的主要原因。劉泉聲等[30]研究溫度對巖石熱損傷能量釋放率的影響規律。鄧廣哲等[31]通過北山花崗巖流變性實驗，研究了溫度損傷和時間效應對花崗巖損傷的影響效應。付文生等[32]通過實驗研究了巖石強度受溫度影響規律。許錫昌等[33]研究了溫度效應對花崗巖彈性模量、強度的影響規律。特別應該指出的是太原理工大學趙陽升教授的研究團隊[34-36]對完整花崗巖的熱破裂開展了全面的實驗室研究工作，研究發現完整花崗巖受熱破裂存在溫度門檻值，花崗巖熱破裂過程中伴隨著強烈的聲發射和能量釋放，并從微觀角度研究花崗巖受熱裂紋發展規律。

通過整理、分析前人研究成果可知，對于高溫下完整的花崗巖從熱破裂機理、裂紋擴展規律、熱損傷能量釋放的實驗室研究成果較多。但由于高溫研究設施的局限性，對于高溫環境內部含缺陷的花崗巖巖樣熱破壞、損傷機理的研究較少。特別是關于不同溫度加載速率的缺陷處局部應力、能量釋放、裂紋損傷演化規律的科學研究相對匱乏。針對以上研究存在的不足，本文充分考慮內部缺陷對高溫花崗巖破壞的影響效應，研究溫度加載過程中含有缺陷花崗巖內部產生熱應力、花崗巖缺陷處局部應力變化機理，得出花崗巖缺陷處局部應力與溫度加載速率之間的函數關系。把花崗巖熱加載速率和熱自由能參數引入損傷方程中，推導出缺陷花崗巖能量釋放率函數的表達式。通過理論分析和數值模擬，探究溫度加載速率對缺陷花崗巖熱應力、局部應力、能量釋放規律的影響。

1 加溫速率對花崗巖內部缺陷處的局部應力的影響規律

1.1 溫度作用下花崗巖內部產生熱應力

花崗巖是各種礦物結晶成分和含初始缺陷的天然材料。花崗巖中各種顆粒結晶的熱膨脹系數不相同，在加溫后花崗巖內部顆粒變形也不相同。為了保證花崗巖熱變形的整體協調性，每種顆粒不能自由熱膨脹，受到周邊顆粒變形的約束，這種顆粒之間的相互約束作用即是熱應力。

圖1 溫度效應下花崗巖裂紋初始狀態Fig.1 Sketch map of model crack growth under the action of temperature

溫度作用下花崗巖裂紋初始狀態如圖1所示。應用Terzaghi原理，有效應力σ可以表示為:

σ=σe-σT=Eε-σT(i=1,2,3) .

(1)

式中：σ為花崗巖顆粒骨架的有效應力；σe為缺陷處顆粒的彈性應力；σT為花崗巖溫度作用下顆粒產生的應力；ε為缺陷花崗巖顆粒骨架在溫度、應力效應下顆粒產生的形變；E為花崗巖的彈性模量。

溫度變化過程中花崗巖內部熱力學變量溫度T(T0+ΔT,t)是隨時間變化的函數，T0為花崗巖內部缺陷處零應力-應變狀態時的溫度，ΔT為任一時刻溫度的變化量。結合Hooke，Biot定律，得到缺陷花崗巖內部的花崗巖本構關系為：

σ=Eε-α(T-T0)(3λ+2G) .

(2)

1.2 溫度作用下花崗巖內部缺陷附近局部應力

溫度作用引起花崗巖缺陷附近出現應力集中現象，花崗巖內部缺陷處局部應力可以表示為σloc，缺陷處彈性應力可以表示為σe.花崗巖因為缺陷引起的附加應力為Δσ，局部應力σloc可以表示為

σloc=σe+Δσ.

(3)

根據Maxwell應力模型，花崗巖缺陷處附加應力隨時間變化為

(4)

式(4)可以變形為

(5)

1.3 加溫速率對局部應力的影響

假設花崗巖只有溫度作用，側向、軸向不受任何應力。溫度的函數表達式為

(6)

式中：Tmax為溫度加載的目標溫度；tmax為試件加載時間；t為任意時間參數。

花崗巖缺陷處應力為

(7)

將公式(7)變形可得

(8)

公式(8)變形為

(9)

其中，σp為花崗巖抗拉極限應力。

把公式(9)帶入公式(5)可得

(10)

求解一階常系數非奇次線性微分方程(10)可得缺陷處附加應力為

(11)

綜上，花崗巖缺陷處局部應力為

(12)

由公式(12)可以看出在溫度作用下花崗巖缺陷處的局部應力為拉應力，和花崗巖的溫度加載速率、溫度初始值、溫度最終值等參數有關。在時間為t=ti時刻，缺陷處局部應力達到了花崗巖材料的拉應力強度，使得花崗巖裂紋處的顆粒單元破壞，缺陷微觀裂縫開始演化發展，致使裂紋尺寸進一步擴展演化。

2 溫度效應對損傷過程中缺陷花崗巖能量的影響

先假設不考慮熱能損耗和變形能損耗，那么缺陷花崗巖裂紋擴展能可以用缺陷花崗巖缺陷前端部局部應力做功來表示，即為局部應力和缺陷端形成新的裂紋位移的乘積。缺陷裂紋及其局部應力集中如圖2所示。

圖2 初始裂紋狀態圖Fig.2 Initial crack state

圖3 加溫過程裂紋狀態圖Fig.3 Crack in the process of heating condition

為了求解方便，建立新的坐標系如圖3所示。花崗巖內部裂紋長度為l，缺陷裂紋端正前方的拉伸應力的極限值可以表達為

(13)

式中：σloc(xi,yi)為缺陷處某一點的局部應力；KI為花崗巖應力強度因子；xi，yi為缺陷處某一點在新坐標下位置參數。

在溫度應力作用下，兩端缺陷裂紋端延長長度為l1和l2，裂紋的長度擴展為l+l1+l2的新裂紋，如圖3.在距離原坐標系的x=xi處，缺陷裂紋擴展后的位移為yi(xi)，缺陷花崗巖位移場計算公式通過I型開裂表達為

(14)

式中：[KI]l+l1+l2為缺陷尺寸變化為l+l1+l2時，缺陷花崗巖的應力強度因子；υ為花崗巖的泊松比。

當花崗巖內部裂紋張開表面至圖3時，缺陷處局部應力對裂紋上表面擴展位移所做的功W為

(15)

按照Griffith能量釋放的觀點，假設花崗巖裂縫厚度為A.缺陷一邊的長度擴展到l1和l2，I型裂紋缺陷花崗巖的釋放能量WI可以表示成

(16)

式中：WI1，WI2分別表示裂紋兩個尖端分別擴展了l1,l2的釋放能量。

那么，可求得缺陷花崗巖的釋放能量為

(17)

3 數值模擬

計算模型寬度5 cm，高度10 cm，花崗巖巖樣端面是光滑端面。其中，參數m=3反映了材料的均勻程度，花崗巖單軸抗壓強度163 MPa，泊松比0.187，彈性模量為38 GPa，花崗巖導熱系數為2.677 W/(m·K)，比熱容為0.789 kJ/(kg·K).設η=2×10-7m/s，k=2，極限抗拉強度σp=16 MPa，裂紋缺陷長度分別為l(8 mm)的試樣。裂紋的傾角固定在45°的花崗巖模型，進行溫度作用下花崗巖局部應力損傷模擬。

在溫度作用下，花崗巖試樣的熱損傷演化的數值模擬如圖4，圖5，圖中黑點代表花崗巖結構內部損傷單元。由圖4-圖7可以看出，在溫度升高到60 ℃時，花崗巖熱損傷首先出現在缺陷裂紋處。溫度繼續升高，花崗巖裂紋周邊開始出現不間斷損傷點，在缺陷處仍然會出現局部應力。隨著溫度繼續升高，花崗巖裂紋周邊的不間斷損傷點繼續增加。溫度繼續升高，花崗巖缺陷處剪切破壞特征明顯，花崗巖裂紋處的熱損傷繼續增大，花崗巖內部不間斷損傷點繼續增加。當溫度升高到300 ℃，花崗巖內部裂紋擴展，結構內部損傷單元增加顯著。比較圖4和圖5可以看出，溫度加載速率大的花崗巖缺陷處的局部應力大，破壞程度也要高一些。比較圖6和圖7可以看出，不同溫度加載速率，花崗巖能量釋放不同，溫度加載速率大的花崗巖聲發射能量變化梯度大。

圖4 溫度(每步5 ℃的增長速度)作用時缺陷花崗巖熱損傷演化Fig.4 Thermal damage evolution of defective granite under the action of temperature(the growth rate with each step of 5 ℃)

圖5 溫度(每步10 ℃的增長速度)作用時缺陷花崗巖熱損傷演化Fig.5 Thermal damage evolution of defective granite under the action of temperature(the growth rate with each step of 10 ℃)

圖6 每步5 ℃時的能量Fig.6 AE energy variation under growth rate with each step of 5 ℃

圖7 每步10 ℃時的能量Fig.7 AE energy variation under growth rate with each step of 10 ℃

結合理論計算所得的缺陷處的局部應力和數值模擬分析數據結果對比如圖8所示。數值模擬花崗巖的附加應力的結果在理論推導值附近浮動，大小變化趨勢基本一致，能在一定的范圍內反映真實情況。

圖8 局部應力理論值與數值模擬值對比圖Fig.8 Sketch of local stress between theoretical results and numerical simulation results

4 結論

通過本文研究可以得出如下結論：

1) 缺陷花崗巖在溫度加載過程中，在花崗巖內部產生了對應溫度的熱應力，同時在缺陷尖端附近出現應力集中，該應力為局部應力。當缺陷尖端局部應力達到花崗巖的抗拉強度時，花崗巖缺陷周圍的顆粒單元破壞，花崗巖原有裂紋快速擴展、裂紋進一步演化。花崗巖缺陷處的局部應力與溫度初始值、溫度最終值、溫度變化率、花崗巖初始缺陷的尺寸、缺陷處的應力集中系數緊密相關。

2) 應用損傷理論，引入加溫速率、花崗巖自由能參數對缺陷花崗巖損傷演化效應的影響，得到了花崗加溫速率不同時局部應力做功原理，推理出花崗巖在考慮加溫速率和花崗巖損傷耦合效應時花崗巖的能量函數。

3) 通過數值模擬方法，進行了單裂紋缺陷花崗巖在加溫時熱應力、熱損傷定性數值模擬，得出溫度加載速率大的花崗巖缺陷處的局部應力和能量較大，破壞程度也要高一些，模擬結果和理論推導結果一致。