基于自回歸移動平均反轉的在線投資組合選擇

郁順昌，黃定江

(1．華東理工大學理學院，上海200237; 2．華東師范大學 數據科學與工程學院，上海200241)

(*通信作者電子郵箱shuncyu@163．com)

0 引言

投資組合選擇是計算金融領域［1－2］中的一個基本問題，也是金融工程領域［3－5］中一項具體的實際工程任務。它的主要目的在于優化一組資產間的收益分配，進而獲得最優的投資回報。近幾十年來，人們對投資組合選擇問題已經在機器學習［6－8］和人工智能［9－12］領域進行了廣泛的探索。其中，一類具有代表性和前沿性的研究就是反轉策略，即捕捉和利用金融市場中的均值反轉現象，使得投資累積收益最大化。

雖然這些均值反轉類算法在許多數據集上的應用十分成功，但在道瓊斯工業指數(Dow Jones Industrial Average，DJIA)數據集［13－16］上卻表現不佳。主要原因包括:1)現有的部分均值反轉策略不能很好地處理噪聲和異常值;2)沒有充分考慮金融時間序列中普遍存在的非平穩性特征;3)單周期的假設并不符合實際情形。

針對上述問題，本文利用自回歸移動平均反轉模型，并結合在線被動攻擊(Passive Aggressive，PA)算法提出了在線自回歸移動平均反轉(OnLine Autoregressive moving average Reversion，OLAR)策略。同時，在4個真實市場的數據集上進行了大量的對比實驗，并進行了統計檢驗，進一步地論證了策略的有效性。

1 相關工作

人們對在線投資組合選擇已經遵循Kelly投資理論進行了廣泛的探索。一般地，從所遵循的原則來說，投資組合選擇研究有兩個主流學派，即Markowitz均值方差理論［17］和Kelly資本增長理論［18］。而Kelly投資理論中一類代表性的工作是均值反轉類策略［13－16，19］，這也是本文研究的主要內容。此類策略主要分為以下兩種類型:

1)利用歷史價格數據進行預測。

在此類情形中，一般假設資產價格服從正態分布，此時歷史平均價格可以很好地用來解釋市場行為。此類策略主要分為以下兩種:

一種是利用所有的歷史價格數據進行預測。主要包括固定再平衡投資組合(ConstantRebalancedPortfolios，CRP)［20－21］、最 優 的 固 定 再 平 衡 投 資 組 合 (Best CRP，BCRP)［22］、連 續 固 定 再 平 衡 投 資 組 合 (Successive CRP，SCRP)［23］和在線牛頓步(Online Newton Step，ONS)［24－25］策略。CRP策略在整個投資期間保持每個資產的權重固定;在市場獨立同分布的假設下，整個市場序列的BCRP策略是一個最佳的事后CRP策略;而SCRP和ONS則隱含地假設歷史相對價格服從均勻分布，進而來預測下一個價格。

除了利用所有的歷史相對價格來進行預測之外，一些策略通過選擇一組相似的相對價格來預測下一個相對價格。主要包括基于滑動窗口的非參核(Nonparametric Kernel based moving window，BK) 策 略［26］、非參 最近 鄰 (Nonparametric Nearest neighbor，BNN) 策 略［27］和 相 關 驅 動 非 參 學 習(Correlation-driven nonparametric learning，CORN) 策 略［28］。此類算法主要選擇不同的相似性度量來衡量相對價格序列的相似度，并構造相似集，進一步利用相似集來預測下一個相對價格。BK策略利用核方法來度量相似性;在相同的框架下，BNN策略利用最近鄰方法來尋找一組相似的相對價格序列;CORN策略通過序列相關性來度量相似度。

2)利用單值預測來預測下一個相對價格。

單值預測也是目前“追蹤低收益組合”類策略普遍采取的一種做法。近些年來，國內外的很多學者進行了更加深入的研究和探索，包括目前表現最好的在線滑動平均反轉(Online Moving Average Reversion，OLMAR)和魯棒中位數反轉(Robust Median Reversion，RMR)策略。此類策略顯式地或者隱含地假設市場存在反轉現象。此類策略主要包括指數梯度(Exponential Gradient，EG)、被動主動均值反轉(Passive Aggressive Mean Reversion，PAMR)［15］、置信加權均值反轉(Confidence Weight Mean Reversion， CWMR)［16］、OLMAR［13－14］和 RMR［19］等策略。EG［23］把上一個相對價格作為下一個相對價格的預測值;PAMR和CWMR用上一個相對價格的倒數作為下一個相對價格的預測值;OLMAR利用移動平均或者指數平滑來預測下一個相對價格;RMR則利用L1中位數估計量來預測下一個相對價格。

然而，還有一些算法不注重估計量的選擇和設計。比如，泛化投資組合(Universal Portfolios，UP)［22，29］是所有 CRP 的歷史加權平均;反相關性(Anti-correlation，Anticor)策略［30］利用正滯后互相關和負自相關的一致性來調整投資組合。

本文假設市場存在反轉現象，并遵循單值預測的方法來設計投資組合。本文著重解決金融時間序列的非平穩性，單周期和噪聲等問題，重點關注策略在累積收益等指標上的性能提升和交易成本對策略的影響，并設計更加有效的算法。

2 問題定義

考慮金融市場上一項具有d類資產和n個交易周期的投資。第t個交易周期，資產價格由收盤價向量pt∈Rd+來表示，其中元素pit表示第i類資產的收盤價。資產價格的變化由相對價格向量xt=(x1t，x2t，…，xdt)∈Rd+來表示，其中xjt表示第j類資產在第t與t－1期收盤價的比率，即在第t個周期對第j類資產的投資將會通過因子xjt來增加。記為從t周期到t周期的相對價格序12列。

投資組合經理的目標是設計一個策略bn1來最大化投資組合的累積收益Sn，其中投資組合選擇以在線的方式進行。根據歷史信息，管理者會在周期t為相對價格向量xt選擇一個新的投資組合向量bt。而由此產生的投資組合bt則基于投資周期的收益st進行打分。這樣的過程不斷重復直到交易周期結束，而投資組合策略的表現是根據最終的累積收益來進行打分的。在上面的模型中，有3個隱含的假設:無交易成本、完美市場和零沖擊成本。這幾個假設是不平凡的，在實際中也并非可行，需要進一步探討。

3 模型動機

實證研究表明反轉也許更符合市場規律，即當前表現差的股票在下一周期會表現得好。在實踐中，一個Kelly投資經理首先就k個可能的值及其相應的概率p1，p2，…，pk來預測表示第i個相對價格向量的預測值。然后，可以通過最大化期望對數收益來找到一個投資組合

對于反轉類算法——OLMAR和RMR等，它們通過基于反轉的單期和多期預測來估計下一個時期的相對價格。OLMAR利用w個滯后期價格的平均值來估計第t期結束時的價格，即:

其中MAt(w)為移動平均，w為窗口大小。而RMR則利用價格序列的中位數來預測第t期結束時的價格，即:

上述的操作都是逐元素進行的。雖然這些算法在大多數數據集上是有效的，但是目前反轉策略仍然存在著諸多問題。首先，單周期假設在大多數實際情形中會遭到破壞，比如很多算法在DJIA數據集上都表現不佳;其次，由于受原材料價格頻繁波動的影響，價格數據會含有大量的噪聲和異常值，導致大多數算法在實際中表現不佳;再者，對于具有趨勢性的時間序列，現有的大部分算法都不能得到高精確的預測結果。這些都是導致大多數算法在DJIA數據集上表現不佳的主要原因。

為了進一步說明現有策略的缺點，先來看一個有趣的例子。假設市場僅由一只股票構成，記ti(i＞0)為需要進行估計的周期。三種不同形式的市場價格序列如表1所示。其中，A0、A1是指數增長型序列，其價格通過序列因子2，2，2來改變。B0、B1是周期增長型序列，其價格通過序列因子 2，2，0．5來改變;C0、C1是周期衰減型序列，其價格通過序列因子0．5，0．5，2 來改變。此外，A0、B0、C0表示確切的價格序列，而 A1、B1、C1表示帶有離群值10的價格序列，“?”表示待估計的價格，“Acc”表示真實的價格。

表1 虛擬市場中不同策略的結果總結Tab．1 Summary of different strategies in a toy market

從表1可以觀察到，與其他策略相比，OLAR得到了更為精確的價格預測，而OLMAR的估計值與真實值相差較大，預測精度不高。對于多期的情形，OLAR比RMR表現得更好，預測精度更高。同時，對于沒有異常值存在的序列A0、B0、C0，OLAR的預測值與真實值相同，得到了精準的預測;對于存在異常值的序列噪聲序列A1、B1、C1，OLAR可以像 RMR一樣，能夠很好地處理波動和異常值。雖然這個虛構的例子只是基于單一資產構造的，但是這種估計可以很容易地擴展到多個資產的情況。

4 在線自回歸移動平均反轉(OLAR)算法

為了解決金融時間序列中的非平穩性問題，本文首先選擇能夠有效地處理非平穩性的ARIMA模型對股價進行預測，并進一步地設計參數更新和算法，進而利用在線PA算法設計投資組合。

4．1 模型簡化

ARIMA模型一般由兩部分構成:自回歸項AR和移動平均項MA。為了估計下一期的相對價格，首先給出下一期價格的預測模型ARIMA(p，d，q):

其中:p，q分別為自回歸項和移動平均項的滯后期，d為差分次數，αi、βi分別為自回歸項和移動平均項的系數。這里假設移動平均項MA(q)是可逆的，因此經過適當地變換，可以將ARIMA(p，d，q)模型轉化為AR(∞，d)模型。然而，考慮到滯后期越大的項對當前的預測影響越小，因此這里舍棄某一滯后期之后的所有項，那么原模型就轉化為AR(p+m，d)模型，即

因此，股票價格的預測問題就轉化為AR(p+m，d)模型的求解問題。

4．2 算法設計與分析

接下來，采用在線學習的方式來求解AR模型。首先，這里給出損失函數的公式定義:

它描述了預測值和真實值之間的差異，其中γt表示第t次迭代更新之后的參數，其目標是最小化累積損失，即:

t

其中:第一項為經驗誤差項;第二項為正則項，也稱為結構誤差，其作用為防止過擬合。本文中的損失函數ft(γt)均采用指數凹型損失，即存在α＞0，使得exp(－αft(γt))為凹函數。

接著，將損失函數fτ(γ)在γτ處進行二階泰勒近似，并舍棄余項，即

由于常數項和正常數因子不會影響優化問題的解，因此式(3)中的優化問題可以轉化為如下的優化問題

因為常數項不影響優化問題的解，所以式(5)中的優化問題可以轉化為

為了使得算法更高效，本文采用迭代更新的方式來計算每一時期矩陣的逆，即:

這種更新方式可以節省大量計算矩陣逆的時間，因此只需要花費O(n2)的時間開銷，其中n為矩陣的階數。OLAR算法如算法1所示。

算法1 OLAR(p，m，η)。

1) 輸入:參數p，m，學習率η，初始矩陣A0=ηI;

2) for t=1 to T do

預測下一個價格向量:

s．t． b·^xt+1≥ ε

其中:^xt+1為要估計的下一個相對價格向量，ε為反轉閾值。上述優化問題試圖在滿足約束的條件下，找到與之前的投資組合bt偏差最小的一個投資組合。

接下來，利用拉格朗日乘子法求解式(7)，過程如下:

① 構造拉格朗日函數L(b，λt+1，η):

其中λt+1=于沒有考慮非負約束，所以式(9)中的投資組合可能會超出可行域。因此，為了確保投資組合是非負的，最終要將更新的投資組合投影到可行域中［31］，其算法總結在算法2中。

最后，本文在一般的投資組合選擇框架下來設計基于OLAR算法的投資組合選擇策略，如算法3所示。OLAR策略利用數據的二階信息對價格進行預測，并采用迭代的方式來更新矩陣的逆和各項參數，只需要花費O(n2)的時間開銷和空間開銷，因此顯得更為高效。

算法 2 PA(ε，^xt+1，bt)。

步驟1 輸入:閾值ε，估計的相對價格向量^xt+1，當前投資組合bt;

步驟2 計算參數:

5 實證研究

本章將通過與14種現有的策略進行對比(包括目前表現最好的OLMAR和RMR算法)，并利用累積收益等多項實驗效果度量指標以及統計檢驗來對OLAR策略進行測試，以此來說明OLAR策略的有效性。

5．1 數據集及實驗設置

實驗中所采用的數據集是來自于真實市場的4個公開數據集，即NYSE(O)、NYSE(N)、DJIA和MSCI。具體信息總結在表2中。在實驗中，統一設置ε=10。

表2 真實市場的基準數據集Tab．2 Summary of real-world benchmark datasets

5．2 實驗效果度量

在本文的實驗中，采用7種指標來度量各個策略的實驗效果。具體如下:

1)累積收益。整個交易周期內由策略所實現總收益，是一個標準的策略表現度量指標。

2)年化收益率(Annualized Percentage Yield，APY)。反映了策略實際收益的復合效應，該指標越大越好，這也是實證研究中最重要的一個參考指標。

3)波動率(Volatility，VL)。反映了投資組合的穩定性，該指標越小越好。

4)夏普比率(Sharpe Ratio，SR)。反映了每單位風險的超額收益，該指標越大越好。

5)Calmar比率(Calmar Ratio，CR)。反映了年化收益和歷史最大回撤之間的關系，該指標越大越好。

6)最大回撤率(Maximum Drawdown，MDD)。描述了投資組合可能面臨的最大虧損，它是一個重要的風險指標，該指標越小越好。

7)周轉率。反映了策略的穩定性，該指標越小說明策略越穩定。

同時，本文針對OLAR策略進行了統計檢驗。統計檢驗是為了檢驗策略的效果是否由隨機因素造成，這也是檢驗策略有效性的一種重要方法。

5．3 實驗結果分析

5．3．1 累積收益

表3展示了實證研究部分的主要結果，即4個數據集上不同策略的累積收益表現。從表3可以觀察到，與參與比較的14種策略相比，OLAR策略的表現最好，在 NYSE(O)、NYSE(N)和DJIA三個數據集上都獲得了最大的累積收益。雖然在MSCI數據集上OLAR沒有得到最大的累積收益，但是它的累積收益仍然高于OLMAR和RMR。同時，與目前表現最好的OLMAR和RMR策略相比，OLAR策略在四個數據集上的累積收益依次(至少)提升了 455．6%，221．5%，11．2%和50．3%。因此，從累積收益上來看，OLAR擊敗了現有最好的策略，并且效果提升顯著。

表4展示了OLAR策略的統計檢驗(t檢驗)結果，其中MER為平均誤差率，WR為策略的勝率，α、β為回歸因子。可以觀察到，除DJIA數據集之外，其余3個數據集上的概率p值均為0。這表明在這3個數據集上，OLAR在累積收益方面的優異表現是由隨機因素造成的概率為0。然而，在DJIA數據集上，由隨機因素產生超額收益的概率為0．003 3，也遠小于0．01。因此，可以認為OLAR策略在累積收益上的卓越表現并不是由隨機因素造成的，進一步表明該策略是有效的。

表3 4個數據集上各種策略的累積收益Tab．3 Accumulated profits of various strategies on four datasets

表4 4個數據集上OLAR統計檢驗結果Tab．4 Statistical test results of OLAR on four datasets

5．3．2 其他效果度量指標

從表5可以觀察到，與OLMAR和RMR相比，OLAR在全部的4個數據集中都獲得了最大的APY，最高的CR和SR，以及最低的MDD。同時OLAR在NYSE(O)和DJIA兩個數據集上均獲得了最小的波動率。在NYSE(N)數據集上，OLAR的波動率比RMR高，但是卻比OLMAR的波動率低;在MSCI數據集上，OLAR的波動率比OLMAR和RMR的波動率都要高。雖然OLAR在NYSE(N)和MSCI數據集上沒有得到最低的波動率，但是與RMR和OLMAR的波動率相差不大，同時在其他指標上均有良好的表現，因此這并不會對策略的表現和有效性造成嚴重的影響。綜上所述，OLAR基本上在所有的實驗指標上均獲得了良好的表現。

5．3．3 交易成本分析

在實際交易中，交易成本是一個重要的且不可回避的問題，因此，本節研究了交易成本對策略的影響。

從圖1可以觀察到，當交易成本率γ從0變化到1%時，所有交易策略的累積收益都會逐步減少。然而，在4個數據集中，OLAR策略的累積收益曲線始終在OLMAR和RMR兩個策略的收益曲線之上，這表明在交易成本相同的情況下，OLAR可以獲得更大的累積收益。同時，在大交易成本率下，OLAR仍然能夠獲得一定的收益，這表明OLAR策略能夠承受更高的交易成本，同時也說明OLAR比RMR和OLMAR更加穩健。

表5 OLMAR、RMR和OLAR在各種實驗指標下的對比Tab．5 Comparison of various experimental indicators among OLMAR，RMR and OLAR

圖1 各策略交易成本分析Fig．1 Transaction cost analysis of various strategies

5．3．4 穩定性度量指標——周轉率

從表6可以觀察到，OLAR在4個數據集上的周轉率都明顯地比 OLMAR和 RMR策略小。其中，與 RMR相比，OLAR在4個數據集上的周轉率依次降低了15．6%，2．4%，18．3%，16．4%;與 OLMAR 相比，OLAR 在4 個數據集上的周轉率依次降低了 20．0%，8．8%，24．9%，21．0%。這表明OLAR策略比OLMAR和RMR更穩定。

表6 OLMAR、RMR和OLAR的周轉率比較Tab．6 Comparison of turnover among OLMAR，RMR，and OLAR

5．3．5 計算時間分析

在高頻交易中，對運行時間有著十分嚴格的要求，往往需要在百分之一秒甚至更短的時間內進行操作，因此運行時間要求也是對投資組合選擇策略的一大考驗。表7展示了幾種不同策略的真實的運行時間。可以看出，OLAR的計算時間與OLMAR和RMR的計算時間基本一致，這也表明了OLAR策略的實際可行性和可操作性。

表7 各種策略的計算時間對比 sTab．7 Comparison of computational time among various strategies s

6 結語

本文提出了一種基于自回歸移動平均反轉的多周期投資組合選擇策略——OLAR策略。首先，OLAR利用ARIMA模型消除了時間序列的非平穩性，可以更好地進行價格預測。然后，在在線學習的框架下，OLAR策略得到了有效實施。各項實驗結果表明，與OLMAR和RMR等策略相比，OLAR策略在累積收益、年化收益率和夏普比率等各項指標上均表現突出，同時通過了統計性檢驗。除此之外，與OLMAR和RMR相比，OLAR擁有更低的周轉率和波動率，同時能夠承受更大的交易成本，這表明OLAR能夠更好地處理噪聲和波動，更具魯棒性。這些結果一致地表明:OLAR是一個可行而高效的策略。然而，仍然存在著一些問題:OLAR在DJIA和MSCI數據集上的提升效果并不顯著，這可能是由于單一模型預測所導致的。一個比較好的解決辦法是利用集成學習的方法來研究股價的預測以及投資組合的選擇，這可以作為未來的研究方向，需要進一步的研究和探索。