受側滑和滑移影響的移動機器人自抗擾控制

羅 蕊，師五喜，李寶全

(天津工業大學電氣工程與自動化學院，天津300387)

(*通信作者電子郵箱luor0312@126．com)

0 引言

輪式移動機器人是一種典型的非完整性系統，具有廣泛的應用前景。目前大量學者對于該系統的軌跡跟蹤問題進行了研究:文獻［1］采用后退時變方法實現了三輪驅動機器人軌跡跟蹤;文獻［2］基于滑模變結構控制方法設計了移動機器人軌跡跟蹤控制器;文獻［3］采用自適應技術設計了控制器，引入坐標變換解決了參數不確定輪式移動機器人的任意軌跡跟蹤統一控制問題。以上方法雖然實現了移動機器人的軌跡跟蹤，但都忽略了機器人運行過程中的車輪側滑和滑移干擾問題。

移動機器人系統是一個多變量耦合的復雜非線性學系統，為方便研究，一般假設機器人在“純滾動無滑動”的理想約束下運動。然而在實際運行時，這種約束很難保證，如機器人在潮濕的路面運行或急轉彎時，容易出現輪子滑移或側滑的情況，此時會破壞系統的非完整性。文獻［4］針對輪子產生縱向滑動的機器人設計了全局收斂的自適應跟蹤控制器;文獻［5］利用極坐標變換來補償機器人的未知滑移和側滑擾動;文獻［6］將機器人滑移、側滑、內部擾動和參數不確定性描述成一種擾動形式，提出了一種反饋線性化控制律;文獻［7］采用魯棒動態面控制(Dynamic Surface Control，DSC)方法，利用非線性阻尼方法來抵消側滑滑移干擾。以上方法均能實現機器人軌跡跟蹤，但控制方法相對復雜，對于側滑滑移干擾不能實時補償，且只是對其控制算法進行仿真并沒有應用到實際平臺中。本文采用自抗擾控制(Active Disturbance Rejection Control，ADRC)方法，對存在滑移和側滑干擾的移動機器人進行軌跡跟蹤控制。與文獻［5－7］控制算法相比，ADRC不依賴于系統模型，能夠利用擴張狀態觀測器(Extended State Observer，ESO)實時估計和補償系統的內部和外部擾動［8］，且控制簡單、觀測器參數的整定有一套成熟的經驗公式可供參考［9］、系統響應快、適應范圍廣，所以該方法已經大量應用到四旋翼飛行器［10］、電力系統［11］以及船舶［12］等領域。

本文通過設計輔助運動學控制器，使得機器人的輔助速度漸近收斂到給定期望速度;然后利用反步法思想，通過自抗擾控制使得機器人實際運動軌跡跟蹤到期望軌跡，最后通過仿真和實驗分別驗證了所設計控制器的有效性。

1 移動機器人模型

非完整性移動機器人運動模型如圖1所示。

圖1 輪式移動機器人模型Fig．1 Model of wheeled mobile robot

圖1中2b為機器人兩車輪之間的距離，2r為車輪直徑，v為機器人線速度，θ為機器人運動方向與X軸夾角，oc為機器人中心，p為機器人質心位置，oc與p之間的距離記為d。

1．1 移動機器人動力學模型

完整性輪式移動機器人動力學方程如式(1)［6］:

其中:M(q)為系統慣性矩陣，V(q，q)為與位置和速度有關的哥特力和離心力矩陣，G(q)為重心力矢量，G(q)=0，τd為未知擾動，τ=［τ1τ2］T為移動機器人兩驅動輪電機力矩，E(q)為輸入變換矩陣，AT(q)為非完整約束矩陣，λ為約束力項。M(q)，V(q，q)，E(q)表示如下:

其中:m為機器人的質量，I為機器人的總轉動慣量，Iw為車輪轉動慣量。

1．2 受側滑和滑移影響的機器人模型

輪式移動機器人在“純滾動無滑動”的理想約束下運動時，其運動學模型如式(2):

其中z=［vw］T，v=r(φr+φl)/2為機器人線速度，w=r(φr－φl)/(2b)為機器人角速度，［φr，φl］T為機器人兩驅動輪轉速。

受側滑和滑移影響時，移動機器人運動學方程如式(5):

2 移動機器人軌跡跟蹤控制器設計

本文首先基于移動機器人運動學模型，設計輔助運動控制律，然后將移動機器人的線速度和角速度的輔助速度作為輸入，利用反步法思想基于機器人動力學模型設計一階線性自抗擾控制算法，使機器人的實際運動速度漸近收斂到輔助速度，最終實現機器人軌跡跟蹤。

2．1 移動機器人運動控制律設計

假設機器人參考軌跡的運動學模型如式(8):

其中:vr為機器人期望線速度，wr為期望角速度，(xr，yr，θr)為機器人期望位姿。

定義軌跡誤差為:

對式(9)求導可得:

設計如下的輔助運動學控制律［7］:

其中:vc為機器人輔助線速度，wc為輔助角速度，k1、k2、k3為輔助運動控制律參數，且k1、k2、k3＞ 0。由文獻［7］知，在輔助運動控制律(11)作用下，機器人的期望輔助速度［vcwc］T漸近收斂到期望速度［vrwr］T。

2．2 自抗擾控制器設計

由上可知，式(11)設計的控制律可使輔助速度［vcwc］T漸近收斂到期望速度［vrwr］T，以下利用反步法思想基于機器人動力學模型(7)設計自抗擾控制器，使機器人實際速度［v w］T漸近收斂到輔助速度［vcwc］T。為此定義速度跟蹤誤差ze:

由于機器人動力學系統(7)是一階系統，則本文所設自抗擾控制器為一階線性自抗擾控制器。

由S(q)、M(q)、V(q，q)、E(q)可求得H(q)如式(13):

同時可計算得到式(15):

則機器人動力學模型(7)可以簡化為式(16):

注2 文獻［5－7］中，考慮參數不確定和擾動的模型都用式(7)，通過本文研究可知，F1(q，q)=0，因此模型(7)可簡化為式(16)。

由式(12)、式(16)重建系統模型可得式(17):

則系統控制量τ表示如式(18):

其中:K=diag(kp，kp')，珚D為D的觀測器估計值。

本文基于動力學模型，利用自抗擾控制方法，使得機器人實際速度z收斂到輔助速度zc，使得ze收斂到0。

其中:z1、z2是兩個擴張狀態，z2估計總擾動項信號 x2，β1、β2為觀測器增益。

假定控制器形式如式(22):

其中u0v為虛擬控制量。

由文獻［9］知，當［β1，β2］= ［2α1，α12］，其中α1＞ 0決定觀測器的收斂速度，z2趨近于總擾動項信號x2，由式(18)和式(20)得:

定義虛擬控制量u0v如下:

其中kp為控制系數，kp＞0。

同理對于如下角速度系統

其中:x1'=w，x2'=D2(zdist)為角速度控制系統總擾動項，δw(t)為角速度控制通道擾動量的導數。

建立如下擴張狀態觀測器:

其中:z1'、z2'是兩個擴張狀態;β1'、β2'為觀測器增益，且［β1'，β2'］ = ［2α1'，α1'2］，α1' ＞ 0。

假定控制器形式如式(27):

其中u0w為虛擬輸出量。

由式(23)和式(25)得

定義虛擬控制量u0w如式(29):

綜上，由線速度和角速度自抗擾控制律可得移動機器人兩驅動輪輸出力矩為:

綜上，由輔助運動學控制器和基于動力學模型的自抗擾控制器，可得系統控制器總框圖如圖2所示。

3 穩定性證明

為了對系統進行穩定性分析，作以下假設:

假設1［14］假定擴張狀態觀測器估計誤差:

構造系統Lyapunov函數V如式(31):

由此可知，只有(xe，ye，θe)=(0，0，0)時=0，而對于其他任意的(xe，ye，θe)≠0，由Lyapunov穩定性理論可知系統的平衡狀態 (xe，ye，θe)=(0，0，0) 漸近穩定。

把式(18)代入式(17)可得:

由于 －K是Hurwitz的，則由假設1和文獻［14］定理3可知，式(33)的平衡狀態ze=0是漸近穩定的。

綜上可得閉環控制系統漸近穩定。

4 仿真

本文的實驗對象是加拿大Quanser公司研發的輪式移動機器人 Qbot2，其主要參數如下:m=3．79 kg，I=2．4 kg·m2，b=0．118 m，d=0，r=0．045 m，Iω=1．05 kg·m2。

為驗證本文方法的有效性，在仿真過程中在仿真時間12～15 s內加入模擬側滑和滑移干擾值，取μ=4 m/s，ξ=［10 sin t －16 sin t］T作為側滑和滑移模擬擾動量，輔助運動學控制器參數為:k1=0．5，k2=25，k3=60;線速度自抗擾控制器參數為:kp=45，b1=0．025，α1=85;角速度自抗擾控制器參數為:kp'=15，b2=0．24，α1'=65。

為進一步說明自抗擾控制的有效性，在仿真中與傳統PID(Proportion-Integral-Derivative)控制進行了對比，其中線速度 PID 控制參數為:Pv=500，Iv=15，Dv=85，Pw=80，Iw=10，Dw=48。

本文的研究目的是使移動機器人跟蹤給定的參考軌跡xr=sin t，yr= － cos t，θr=t，參考速度為 vr=1 m/s，wr=1 rad/s，機器人的初始位姿設為(0，0，0)。

為驗證本文所設計控制方法的有效性，將本文方法與傳統PID控制方法進行了對比，仿真結果如圖3所示。

圖3 ADRC控制與PID控制移動機器人仿真結果曲線Fig．3 Simulation results of mobile robot by ADRC and PID control

從圖3的仿真結果看出，系統大約在5 s內進入穩態，圖(b)、(c)顯示在一階線性自抗擾控制器控制下，ESO觀測到側滑和滑移等干擾值;從圖(d)、(e)可以看出，自抗擾控制快速克服了擾動干擾，且超調量小、震蕩小，使得線速度和角速度快速收斂到輔助線速度和角速度，控制性能遠優于傳統PID控制;從圖(f)、(g)可以看出，自抗擾控制跟蹤誤差趨于零，最終滿足了機器人克服干擾以及軌跡跟蹤要求;從圖(h)、(i)ADRC控制和傳統PID控制輸出力矩曲線可知，傳統PID控制在受到干擾時不能及時克服擾動，會產生很大的顫動，系統穩定性受到了很大影響，而自抗擾控制可以實時補償和克服擾動，其控制性能遠優于傳統PID控制。

5 實驗

為了進一步驗證本文方法的有效性，將該算法應用到實驗平臺 Qbot2。實驗環境包括:1臺 Qbot2機器人，6個OptiTrack攝像頭，1臺PC主機。PC機是系統的控制中心，安裝有實驗所需耍的控制軟件與攝像機跟蹤處理軟件(OptiTrack Tacking Tools)，PC機控制軟件集成了 Matlab/Simulink模塊和無線通信模塊。PC機與Qbot2通過無線模塊進行通信，PC機和OptiTrack定位系統通過 USB2．0連接。Qbot2安裝有數據信息采集卡(HiQ)和QUARC實時控制軟件Gumstix嵌入式單片機，HiQ采集加速度計、陀螺儀和磁力計慣性測量元件的傳感器信號，Gumstix可以運行QUARC，實現對Qbot2的實時控制，并通過無線模塊向PC機反饋Qbot2的狀態信息。OptiTrack定位系統實時跟蹤Qbot2位置信息并在PC機上顯示。系統配置如圖4所示。

圖4 移動機器人實驗平臺Fig．4 Experimental platform of mobile robot

在實驗中設定參考軌跡是半徑為1 m的圓，在機器人運行過程中，在路面設定了干擾，使機器人在運行時間100 s時產生側滑和滑移。實驗過程如圖5所示，在實驗環境中放置一木板，在機器人運行100 s左右時，人為用木板水平向圓內方向快速推動一下機器人，來模擬機器人運動過程中車輪產生的側滑和滑移干擾。

圖5 移動機器人實驗過程Fig．5 Experimental procedure of mobile robot

實驗結果如圖6所示。

圖6 Qbot2實驗結果Fig．6 Experimental results of Qbot2

從圖6可以看出，機器人在運行到100 s左右時，由于車輪產生側滑和滑移，使得機器人運動軌跡出現明顯的偏移，如圖(a)所示，機器人運動線速度角速度誤差明顯變大，如圖(b)(c)所示;在機器人車輪產生側滑和滑移時，ESO快速檢測到擾動信息，擾動量輸出如圖(d)所示;系統控制量輸出如圖(e)所示，在100 s時力矩明顯產生振蕩，但在自抗擾控制作用下快速消除震動。通過實驗表明，在機器人運動過程中出現側滑滑移干擾時，加入自抗擾控制算法后機器人可以快速跟蹤和克服未知擾動，且振蕩小，滿足了移動機器人軌跡跟蹤要求。

6 結語

本文考慮到移動機器人在運動過程中的側滑和滑移干擾問題，設計了自抗擾控制器，通過ESO實時觀測和補償擾動，克服了機器人運行過程中的內外部擾動，最終使得機器人運動軌跡逐漸收斂到期望軌跡。由仿真和實驗結果可知自抗擾控制可以實時估計和補償擾動，超調量小、振蕩小、具有較強的魯棒性，滿足了移動機器人軌跡跟蹤以及抗干擾的要求。