考慮徑向熱力耦合的主軸-軸承系統熱網絡穩態溫度場分析

王東峰，劉譯勵，解添鑫，張進華，楊浩亮

(1.洛陽軸承研究所有限公司，河南 洛陽 471039；2.河南省高性能軸承技術重點實驗室，河南 洛陽 471039；3.滾動軸承產業技術創新戰略聯盟，河南 洛陽 471039;4.西安交通大學 機械制造系統工程國家重點實驗室，西安 710054;5.北京控制工程研究所，北京 100190)

符號說明

d—軸承內徑，mm

d0—等效圓筒內徑，mm

de— 對流換熱特征長度，mm

dm—軸承平均直徑，mm

D—軸承外徑，mm

D0—等效圓筒外徑，mm

E—材料彈性模量，Pa

f0—與軸承類型和潤滑條件有關的系數

f1—與軸承結構和載荷相關的系數

Fβ—與作用力大小和方向有關的摩擦力矩計算載荷，N

g—重力加速度，mm/s2

Gr—Grashof數

h—對流換熱系數，W/(m2·K)

L—等效圓筒長度，mm

M—軸承總摩擦力矩，N·m

M0—與潤滑劑有關的摩擦力矩，N·m

M1—與載荷有關的摩擦力矩，N·m

n—主軸轉速，r/min

Nu—Nusselt特征數

Pr—Prandtl數

P1—軸承內圈與軸配合處徑向應力，MPa

Q—軸承發熱功率，W

Qf—節點O處的生熱率，W

r—微分半徑

r1—軸承內圈內半徑，mm

r2—軸承內圈外半徑，mm

R—定義熱阻，K/W

Re—Reynolds數

Ra—圓筒軸向導熱熱阻，K/W

Rr—圓筒徑向導熱熱阻，K/W

Rha—圓筒軸向對流熱阻，K/W

Rhr—圓筒徑向對流熱阻，K/W

RO-1,RO-2,RO-3,RO-4—節點O與相鄰節點間的熱阻， K/W

T1,T2,T3,T4—相鄰節點溫度，℃

TO—節點O溫度，℃

Ta—與固體表面接觸的空氣溫度，℃

Tz—靜止固體表面溫度，℃

u—對流換熱特征速度，mm/s

β—熱膨脹系數，K-1

λ—導熱系數，W/(m·K)

ΔT—節點間溫差，℃

εr—徑向應變

εθ—切向應變

μ—變形量，mm

ν—工作溫度下潤滑劑的運動黏度，mm2/s

νa—工作溫度下空氣的運動黏度，mm2/s

σr—徑向應力，MPa

σθ—切向應力，MPa

ω—主軸轉動角速度，rad/s

機床在加工工件過程中，驅動電動機、軸承、切削刀頭等部位會產生大量熱量，導致主軸熱變形，破壞冷態時各部分準確的相對位置關系，影響加工精度，同時會進一步加劇軸承等零部件發熱，甚至造成熱失穩，因此，對主軸系統溫度的預測尤為重要。

目前，國內外對軸系進行熱分析的主要方法有邊界元法、有限差分法、有限元法以及熱網絡法等。但邊界元法和有限差分法精度不足，有限元法網格劃分復雜、接觸對等設置繁瑣，導致熱分析過程繁瑣且計算時間較長，不利于工程應用。熱網絡法是一種熱電比擬的數值計算方法，其借用電學中的基爾霍夫定律得出復雜傳熱系統的熱平衡關系，再通過編程求解各節點溫度，其操作簡單、計算效率高，是求解軸系穩態溫度場的一種有效手段[1-4]。現針對新開發的試驗臺用機械主軸進行徑向熱力耦合分析，以預測穩態溫度場。

1 建立熱網絡模型

1.1 主軸-軸承系統簡化模型

超高速試驗主軸結構如圖1所示，采用單套角接觸球軸承，輕預緊力。在進行模型求解時不考慮接觸熱阻的影響，故可對原試驗主軸結構進行結構簡化，忽略對主軸-軸承系統熱傳遞影響甚微的彈簧、螺母等次要結構，以簡化節點布置，提高求解效率。簡化后的主軸-軸承系統結構及節點布置如圖2所示。由于主軸-軸承系統為旋轉體結構，故將三維熱傳遞問題簡化為圖2中34個節點的二維熱傳遞問題，其中每套軸承視為具有3個熱節點的簡化模型。主軸軸承預緊方式為定壓預緊，故在使用熱網絡法求解過程中預載荷視為定值，這也是未考慮軸向熱力耦合的原因。

圖1 試驗主軸結構示意圖Fig.1 Structure diagram of test spindle

圖2 主軸節點布置Fig.2 Node layout of spindle

1.2 穩態熱平衡方程組的建立

使用熱網絡法建立穩態熱平衡方程組之前需要解決3個問題：熱源、熱阻的計算以及熱邊界條件的確定。

1.2.1 熱源的計算

建立的機械主軸系統只考慮軸承處發熱。在大量試驗基礎上得出的計算滾動軸承摩擦力矩的Palmgren經驗公式[5]被廣泛采用，該公式在主軸中低速運轉時可達到較高的計算精度，高速運轉時還需考慮滾動體自旋生熱、潤滑劑攪動生熱等影響，考慮以上因素會增加問題的復雜性，降低求解效率，為兼顧求解精度與求解效率，便于工程應用，文中采用Palmgren經驗公式求解熱源。

軸承發熱量為

Q=Mω。

(1)

摩擦力矩M為

M=M1+M0,

(2)

M1=f1Fβdm,

M1與轉速無關，隨載荷及預緊力的增大而增大；M0與潤滑劑運動黏度和轉速有關，反映潤滑劑的攪拌阻力。

1.2.2 熱阻的計算

類比于歐姆定律中電流與電勢差之間的關系，熱流與溫差之間的關系為

(3)

將主軸系統中的空心軸、軸承套圈、套筒等零部件均簡化為空心圓筒，將傳熱學理論應用于空心圓筒，考慮傳導與對流2種傳熱方式，可得圓筒的軸向和徑向導熱熱阻分別為

(4)

(5)

圓筒的軸向和徑向對流熱阻分別為

(6)

(7)

1.2.3 熱邊界條件的確定

簡化后的主軸-軸承系統將螺旋冷卻管道外的結構忽略，為了降低求解難度，計算時將螺旋冷卻管道處壁面視為恒溫(25 ℃)，不對冷卻管道內復雜流動形態進行研究。另外，原試驗臺采用油氣潤滑，為簡化計算，未考慮油氣對流及熱交換的影響。

軸系附近空氣溫度恒定為27 ℃，對流換熱系數為

(8)

Nusselt特征數Nu根據對流換熱方式不同由不同的經驗公式得到。

對于靜止表面，自然對流換熱的Nusselt特征數計算公式為

Nu=0.53(GrPr)0.25，

(9)

旋轉表面強迫對流換熱的Nusselt特征數為

Nu=0.133(Re)2/3(Pr)1/3，

(10)

1.2.4 穩態熱平衡方程組的建立

建立熱平衡方程組時，將每個熱節點的熱平衡方程進行聯立，單個節點熱傳遞系統如圖3所示。

圖3 二維溫度節點系統Fig.3 Two-dimensional temperature node system

建立該節點熱平衡方程為

(11)

為得到熱平衡方程的矩陣形式以便于用MATLAB編程求解，將(11)式整理可得

(12)

對于每個節點上式均成立，建立所有節點的熱平衡方程即可得熱平衡方程組的矩陣形式為

GT=Q。

(13)

1.3 徑向熱力耦合分析

僅對主軸-軸承系統徑向熱力耦合進行分析，暫不考慮軸向熱力耦合的影響。主軸-軸承系統在運轉的過程中受到熱應力、離心應力和裝配應力的交互影響，根據各部件間相對幾何關系，在進行徑向變形分析時可將主軸軸徑視為等截面梁，軸承內圈、外圈和軸承座可視為空心圓盤。對于內圈，根據彈性力學理論，柱坐標系下的力平衡方程、幾何方程以及應力-應變方程分別為

(14)

(15)

(16)

整理(14)～(16)式可得

(17)

根據以下軸承內圈受力邊界條件即可求得徑向變形與徑向應力的表達式

(18)

2 熱網絡模型求解

2.1 計算流程

試驗臺主軸用角接觸球軸承套圈和球材料采用符合GB/T 18254—2002《高碳鉻軸承鋼》規定的高碳鉻軸承鋼，其他參數見表1，相關工況及技術參數見表2,潤滑方式為油氣潤滑。

表1 軸承主要參數Tab.1 Main parameters of bearing

表2 工況及技術參數Tab.2 Operating conditions and technical parameters

采用MATLAB軟件對該系統穩態溫度場進行求解，流程圖如圖4所示。

圖4 穩態溫度場求解流程圖Fig.4 Flow chart for solve steady temperature field

根據徑向熱變形反復修正穩態溫度場，直到穩態溫度場基本不變時認為計算結果收斂。若達到設定的迭代次數仍未收斂，查看輸出結果是否不合理。運行結果表明，對于主軸轉速小于20 000 r/min的情況，迭代次數設置為1 000次，計算結果均可較快達到收斂。

2.2 穩態溫度場求解結果

程序運行結果顯示，軸承處溫度最高，提取軸承套圈以及球溫度進行分析。根據程序運行結果，2套軸承內圈內表面和外圈外表面溫度隨轉速的變化如圖5所示。由圖可知，隨轉速的提高，軸承溫度也不斷升高，由于該模型基本成左右對稱分布，故2套軸承溫度變化曲線基本重合。另外，由于螺旋冷卻管道的作用以及沒有考慮接觸熱阻的影響，使得內圈內表面溫度高于外圈外表面溫度，且轉速越大該差距越明顯，說明冷卻水套在高轉速時降低軸系溫度的作用更加明顯。

圖5 軸承溫度隨轉速變化的規律Fig.5 Variation rule of bearing temperature with rotational speed

單獨提取1#軸承穩態時溫度隨轉速的變化規律，如圖6所示。由圖可知，球的溫度與內圈內表面溫度變化曲線基本重合，這是因為一方面沒有考慮接觸熱阻的影響；另一方面內圈較薄且散熱情況較外圈差，而球只設定了一個熱節點，達到熱平衡時內圈內表面節點與球節點(圖2中9#和10#節點)距離很近，故溫度基本相同。

圖6 1#軸承溫度隨轉速變化的規律Fig.6 Variation rule of 1# bearing temperature with rotational speed

冷卻水套對1#軸承溫度的影響如圖7所示。由圖可知，加上冷卻水套后，不同轉速下1#軸承內圈內表面與外圈外表面的溫度均降低約2 ℃，說明冷卻水套的降溫效果明顯。試驗過程中若能保證冷卻水的良好循環，使其內壁溫度近似恒定在25 ℃，即可有效降低軸系內軸承溫度，由于2套軸承是機械主軸系統內唯一熱源，故可以降低整個軸系的整體溫度。

圖7 冷卻水套對1#軸承溫度的影響Fig.7 Influence of cooling water jacket on 1# bearing temperature

2.3 求解結果與試驗結果對比分析

在相同工況下對相同型號的2套軸承進行溫度試驗，由于測量條件限制，只對外圈外表面進行記錄。試驗采用某公司生產的高速電主軸軸承試驗機(圖1)。軸向載荷通過液壓閥進行加載。試驗軸承采用循環冷卻水，保持外圈溫度穩定。溫度傳感器測頭通過試驗軸座上的小孔直接接觸外圈。試驗結果與計算結果對比如圖8所示。

圖8 軸承外圈外表面溫度對比Fig.8 Comparison of outer surface temperature of bearing outer ring

由圖8可知，試驗過程中2套軸承外圈表面溫度明顯低于計算值，存在偏差；同時，計算結果中2套軸承的溫度曲線是相同的，但試驗過程中2套軸承存在明顯溫度差。這是由于1#軸承端循環管道較密集，且冷卻循環水是由此端進入，經過循環后從2#軸承端排出，此時溫度已經升高，因此，1#軸承冷卻較為充分，試驗結果也佐證了計算分析中循環管道對軸承溫升的冷卻作用。

3 結束語

通過考慮徑向熱力耦合的熱網絡法對主軸-軸承系統穩態溫度場分布進行了求解，結果表明：當把軸承發熱作為唯一熱源時，軸承溫升明顯，螺旋管道冷卻對降低外圈溫升起了很大作用，隨著軸承轉速的升高軸承溫升增加，冷卻管道的作用也更為突出。但利用熱網絡法求解過程中忽略了軸向力作用，使得計算結果有較大誤差，且由于Palmgren經驗公式在主軸轉速較高時誤差較大，因此，此方法還不適合用于超高速軸承溫度場的分析。