在組合圖形中探索面積問題
——《圓的面積的拓展練習(xí)》教學(xué)設(shè)計與說明

安徽省合肥市合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 洪 倩

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級下冊《圓》的增補內(nèi)容。

【教學(xué)重難點】

重點：組合圖形中圓面積的計算

難點：割補法求組合圖形中圓的面積

【課前思考】

學(xué)生在學(xué)習(xí)完圓這一章節(jié)內(nèi)容后已經(jīng)可以熟練運用圓的面積公式S=πr2，然而例題簡單而習(xí)題困難，僅僅這些是不足以解決問題的，特別是當(dāng)碰到組合圖形中圓的面積問題時大部分學(xué)生便束手無策。主要原因在于：無法將題目中所求的不規(guī)則圖形進行拼湊、割補轉(zhuǎn)變成規(guī)則圖形。針對這一學(xué)生易錯、常錯且迫切需要解決的問題，有必要進行一次組合圖形中圓面積問題的專項講解。

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)舊知，引出新課

1.復(fù)習(xí)舊知

師：同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了哪些圖形的面積？（學(xué)生進行集體回答：圓、三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形）

師：這些圖形的面積怎么求呢？（學(xué)生回答）

2.引出新課

師：我們已經(jīng)知道簡單圖形面積的求法，但當(dāng)我們遇到的圖形并不是一個完整的圓，三角形、長方形等簡單圖形而是一個組合圖形時，應(yīng)該怎么辦呢？

【設(shè)計意圖：教師在復(fù)習(xí)舊知的基礎(chǔ)上，進行提問，引出新課。】

二、分組討論，觀察探究

1.割補法求面積

師：同學(xué)們觀察圖1、圖2、圖3，怎樣才能把散亂的陰影部分圖形集合在一起？

圖1

圖2

（1）學(xué)生進行討論，教師進行引導(dǎo)。

圖4

圖5

圖6

（2）得出：

4×2=8 3.14×22÷4-2×2÷2=1.14 2×2÷2=2

2.等量代換法求面積

師：在圖7中，直角三角形ABC的面積比半圓的面積多28平方厘米，陰影甲的面積為30平方厘米，直角三角形ABC和半圓面積的差與兩個陰影部分面積的差有沒有什么關(guān)系？

圖7

（1）學(xué)生進行討論

生：它們的差相同，因為如果同時從三角形ABC和半圓中挖去中間重合的空白部分，就相當(dāng)于被減數(shù)和減數(shù)同時減去同一個數(shù)，差是不變的。師：能不能求出陰影乙的面積？

生：30+28=58（平方厘米）

（2）變式

師：現(xiàn)將題改為，圖7中陰影乙的面積為比陰影甲的面積多28平方厘米，AB=40厘米，三角形ABC是直角三角形，求BC的長。

（3）教師引導(dǎo)，學(xué)生進行計算

S乙-S甲=28cm2

S三角形ABC-S半圓=28cm2

S半圓=3.14×202÷2=628（cm2）

S三角形ABC=638+28=666（cm2）

BC=666×2÷40=33.3（cm）

【設(shè)計意圖：將題目進行變形，逐步深入，深化學(xué)生對等量代換求面積法的理解】

3.引輔助線法求面積

師：圖8是由正方形和半圓組成的圖形，其中P點為半圓的中點，Q點為正方形一邊上的中點，那么陰影部分的面積是多少？（單位：厘米）

圖8

圖9

學(xué)生分組討論，進行思考。教師引導(dǎo)，得：連接PQ，S陰影=S正方形ABCD+ S半圓- S三角形APB- S三角形BPQ=10×10+3.14×52÷2-10×15÷2-5×5÷2。

【設(shè)計意圖：例舉不同類型的組合圖形的面積問題，拓展學(xué)生思維，化難為易，利于學(xué)生自我總結(jié)與反思】

三、回顧總結(jié)，留下問題

1.回顧總結(jié)

師：求組合圖形的面積問題的方法并不僅限于此三類方法，在解決此類問題時應(yīng)觀察能否直接求陰影部分面積？如果不能，能否將陰影部分拼湊成規(guī)則圖形？陰影部分面積之間有何關(guān)系？能否用輔助線劃分成規(guī)則圖形？能否進行平移、對稱、旋轉(zhuǎn)？

觀察圖形 → 進行計算

2.留下問題

師：請同學(xué)們自己仿照本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，出3道與例題類似的題目進行練習(xí)。

【設(shè)計意圖：讓學(xué)生自己提出問題與解決問題，有利于學(xué)生深化理解本節(jié)課的知識，使之靈活化】