半球面氣體軸承動(dòng)態(tài)特性分析

賈晨輝，高靖，邱明

（河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003）

混合氣體軸承結(jié)合了靜壓與動(dòng)壓軸承的優(yōu)點(diǎn)，利用靜壓供氣方式使軸承轉(zhuǎn)子在啟動(dòng)階段形成靜壓承載能力，避免發(fā)生干摩擦；隨著轉(zhuǎn)速增加，利用螺旋槽產(chǎn)生的楔形動(dòng)壓效應(yīng)形成動(dòng)壓承載能力，從而避免持續(xù)供給軸承所需的高壓氣體［1-3］。動(dòng)靜壓氣體軸承在同類軸承中具有較高的承載力。

氣體軸承運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的動(dòng)態(tài)特性直接影響轉(zhuǎn)子的非線性動(dòng)力學(xué)行為及穩(wěn)定性，該特性可通過(guò)氣膜的動(dòng)態(tài)剛度和動(dòng)態(tài)阻尼系數(shù)反映［4］，從而為軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析提供理論基礎(chǔ)。

通常采用數(shù)值求解的方法研究氣體軸承的靜動(dòng)態(tài)特性。文獻(xiàn)［4］采用有限元法對(duì)動(dòng)靜壓軸承進(jìn)行優(yōu)化分析；文獻(xiàn)［5］采用有限差分法對(duì)靜壓軸承進(jìn)行性能研究?？紤]到數(shù)值求解較為復(fù)雜，文中采用有限差分法計(jì)算氣膜的動(dòng)態(tài)剛度和阻尼系數(shù)，在不同偏心率下研究供氣壓力和供氣切向角度對(duì)氣膜動(dòng)態(tài)特性系數(shù)的影響規(guī)律。

1 球面氣體軸承結(jié)構(gòu)

球面螺旋槽動(dòng)靜壓氣體軸承結(jié)構(gòu)如圖1所示。軸承由定子與轉(zhuǎn)子組成，供氣孔在定子上，轉(zhuǎn)子上有螺旋槽，供氣孔位置與螺旋槽的分布不相互影響。圖中，β為螺旋角；ω為軸頸轉(zhuǎn)速；φ為供氣切向角；α0為轉(zhuǎn)子小端角；α1為螺旋槽起始端角；α2為轉(zhuǎn)子大端角；ps為小孔供氣壓力；br為臺(tái)寬；bg為槽寬；hg為槽區(qū)間隙；h0為臺(tái)域內(nèi)氣膜平均間隙。

圖1 球面氣體軸承結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of spherical gas bearing

2 潤(rùn)滑分析數(shù)學(xué)模型

以氣體潤(rùn)滑運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程、狀態(tài)方程以及節(jié)流孔流量方程為基礎(chǔ)［4，6］，結(jié)合Newton黏性定律和Reynolds方程假設(shè)，在球面坐標(biāo)系（圖2）下，推導(dǎo)供氣切向角可變的球面動(dòng)靜壓氣體軸承非線性動(dòng)態(tài)潤(rùn)滑分析數(shù)學(xué)模型［7-10］。

圖2 球面坐標(biāo)系Fig.2 Spherical coordinate

圖2中旋轉(zhuǎn)面上任意一點(diǎn)M（?，α，r），其中，?為周向坐標(biāo)；α為沿旋轉(zhuǎn)素線的子午線方向坐標(biāo)；r為M與旋轉(zhuǎn)素線的距離。

通過(guò)氣體潤(rùn)滑運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)出球坐標(biāo)系下沿周向和沿子午線方向的質(zhì)量流量方程分別為

式中：ρ為氣體密度；h為氣膜厚度；μ為氣體黏度；p為氣膜壓力；v為節(jié)流孔速度。

球坐標(biāo)系中連續(xù)性方程式為

式中：t為時(shí)間。

氣體狀態(tài)方程為

式中：pa為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓；ρa(bǔ)為空氣密度。

節(jié)流孔的流量方程為

式中：mi為通過(guò)第i個(gè)小孔的質(zhì)量流量；?orifice為流量系數(shù)；Aorifice為小孔橫截面積；ψi為流量函數(shù)。

聯(lián)立（1）～（5）式可推導(dǎo)出球面動(dòng)靜壓氣體軸承非線性量綱一的Reynolds方程為

式中：Q為節(jié)流孔引入的氣體質(zhì)量流量因子；R0為轉(zhuǎn)子半徑；P為量綱一的氣膜壓力；H為量綱一的氣膜厚度；T為量綱一的時(shí)間。

為了便于求解，對(duì)（6）式進(jìn)行保角變換［11］。變換形式取ξ＝ln［tan（α／2）］，將（6）式由三維求解域轉(zhuǎn)變成求解域?yàn)槠矫婢匦蔚那蛎鎰?dòng)靜壓氣體軸承潤(rùn)滑分析方程［12］。氣膜的動(dòng)態(tài)特性表現(xiàn)為轉(zhuǎn)子在外部隨機(jī)擾動(dòng)下偏離靜平衡位置，在其附近作變位運(yùn)動(dòng)時(shí)氣膜力的相應(yīng)變化情況，所以應(yīng)以不定常工況的Reynolds方程作為分析計(jì)算的基礎(chǔ)［4］。將（6）式變?yōu)?/p>

式中：Ve為徑向偏心距方向的量綱一的速度；ve為沿徑向偏心方向的速度；Vθ為轉(zhuǎn)子量綱一的角速度；vθ為轉(zhuǎn)子中心繞軸承中心轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度；Vz為轉(zhuǎn)子軸向的量綱一的速度；vz為軸心沿軸向方向的速度。

3 動(dòng)態(tài)特性系數(shù)求解

3.1 擾動(dòng)壓力方程的推導(dǎo)

采用偏導(dǎo)數(shù)法［12］對(duì)動(dòng)態(tài)控制方程（7）式在位移與速度方向上的擾動(dòng)變量進(jìn)行求導(dǎo)，從而得到擾動(dòng)壓力控制方程。求解域分為小孔區(qū)域（連續(xù)區(qū)域）、非小孔區(qū)域（包括連續(xù)與不連續(xù)區(qū)域）。以求解小孔區(qū)域?yàn)槔瑢ⅲ?）式對(duì)ε求偏導(dǎo)。

等式左邊第1項(xiàng)為

等式左邊第2項(xiàng)為

等式左邊第3項(xiàng)為

等式右邊第1項(xiàng)為

等式右邊第2項(xiàng)為

將5個(gè)偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)式相加可得

穩(wěn)態(tài)控制方程為

將（14）式變形得

將（15）式代入（13）式，化簡(jiǎn)得出關(guān)于Pε的擾動(dòng)壓力控制方程為

由于氣膜厚度不連續(xù)，分別計(jì)算臺(tái)區(qū)和槽區(qū)的氣膜厚度：

臺(tái)區(qū)量綱一的氣膜厚度為

槽區(qū)量綱一的氣膜厚度為

式中：Hb為量綱一的槽深；ε1為量綱一的軸向偏心率；e1為軸向偏心距；ε為量綱一的徑向偏心率；e為徑向偏心距。

對(duì)氣膜厚度方程求偏導(dǎo)，代入（16）式可得關(guān)于Pε的擾動(dòng)壓力控制方程為

同理，對(duì)其余5個(gè)擾動(dòng)變量求偏導(dǎo)，可得其他5個(gè)擾動(dòng)壓力的控制方程。

3.2 數(shù)值計(jì)算擾動(dòng)壓力

在廣義坐標(biāo)系下用有限差分法對(duì)（19）式離散化，推導(dǎo)出擾動(dòng)壓力的差分表達(dá)式。為了計(jì)算的方便與精確，在斜坐標(biāo)系下（x＝?＋ξ／tanβ，y＝-ξ／sinβ）劃分網(wǎng)格，周向網(wǎng)格數(shù)為500（根據(jù)計(jì)算調(diào)整設(shè)定），徑向網(wǎng)格數(shù)為90；周向步長(zhǎng)0.012 56，徑向步長(zhǎng)0.019 23。網(wǎng)格劃分時(shí)周向槽臺(tái)邊界線到原點(diǎn)之間設(shè)定網(wǎng)格數(shù)50（根據(jù)計(jì)算調(diào)整設(shè)定），使該邊界線正好在網(wǎng)格點(diǎn)上；徑向槽臺(tái)邊界線計(jì)算時(shí)對(duì)網(wǎng)格數(shù)取整，使邊界線落在網(wǎng)格線上［6］，網(wǎng)格劃分如圖3所示。

圖3 求解域網(wǎng)格劃分Fig.3 Meshing for solution domain

以求解小孔區(qū)域?yàn)槔葘?duì)網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)平行四邊形abcd區(qū)域（圖4）進(jìn)行面積分，再利用格林公式得到相應(yīng)區(qū)域的線積分，最后采用有限差分法對(duì)積分公式離散化處理，得到擾動(dòng)壓力的差分表達(dá)式［4，12］。

圖4 氣膜厚度連續(xù)區(qū)域網(wǎng)格Fig.4 Continuous regional grid of gas film thickness

小孔區(qū)域關(guān)于ε擾動(dòng)壓力控制方程的差分表達(dá)式為

式中：Ai，j，Bi，j，Ci，j，Di，j，Ei，j，F(xiàn)i，j是與氣膜厚度Hi，j及穩(wěn)態(tài)氣膜壓力Pi－1，j，Pi＋1，j，Pi，j－1，Pi，j＋1有關(guān)的系數(shù)。同理可以求出其他5個(gè)擾動(dòng)壓力的差分表達(dá)式。

求解擾動(dòng)控制方程的邊界條件為：1）大氣邊界條件為

2）邊界對(duì)稱條件為

3）小孔處邊界條件為

式中：Pd為節(jié)流孔后端壓力。

采用超松弛迭代法對(duì)（20）式求解可得擾動(dòng)壓力Pε為

式中：λ為松弛因子，一般取大于1；k為迭代次數(shù)。

同理可以求出小孔區(qū)域其他5個(gè)擾動(dòng)壓力。非小孔區(qū)域擾動(dòng)壓力的求解與小孔區(qū)域類似，這里不再贅述。

3.3 動(dòng)態(tài)剛度系數(shù)和動(dòng)態(tài)阻尼系數(shù)的求解

在轉(zhuǎn)子穩(wěn)定位置給一個(gè)小擾動(dòng)，轉(zhuǎn)子偏離穩(wěn)態(tài)平衡位置作變位運(yùn)動(dòng)，氣膜壓力發(fā)生改變。軸承在?，ξ，z方向偏離穩(wěn)態(tài)平衡位置O1時(shí)的受力分析如圖5所示。

圖5 軸承受力分析Fig.5 Load analysis of bearing

軸心在穩(wěn)態(tài)平衡位置的壓力分布為

軸心動(dòng)態(tài)壓力分布為

將動(dòng)態(tài)壓力分布p在穩(wěn)態(tài)平衡位置的周圍展開(kāi)為軸心偏離平衡位置的瞬時(shí)位移和瞬時(shí)變位速度的Taylor級(jí)數(shù)（只考慮一階小項(xiàng)）［13］

式中：（pe，pθ，pz，pe，pθ，pz）分別為p隨（Δe，eΔθ，Δz，Δe，eΔθ，Δz）的變化率，即擾動(dòng)壓力。

對(duì)動(dòng)態(tài)壓力分布進(jìn)行積分，得到軸心作變位運(yùn)動(dòng)時(shí)各方向的氣膜力為

氣膜力是由氣膜壓力積分所得，通過(guò)氣膜力對(duì)各方向位移與速度求導(dǎo)可得氣膜的剛度和阻尼系數(shù)為

對(duì)于Fe，fe ＝cos?sin2α，

對(duì)于Fθ，fθ＝sin?sin2α，

對(duì)于Fz，fz ＝cosαsinα，

式中：Sj為某個(gè)方向的位移擾動(dòng)。

采用C＋＋編程計(jì)算軸承的剛度和阻尼系數(shù)，流程圖如圖6所示。為了便于計(jì)算，采用承載力進(jìn)行判別，而不用氣膜力，保證轉(zhuǎn)子在穩(wěn)定位置附近發(fā)生小擾動(dòng)。

圖6 軸承剛度和阻尼系數(shù)計(jì)算流程圖Fig.6 Calculation flow chart of stiffness and damping coefficients of bearing

4 動(dòng)態(tài)特性系數(shù)計(jì)算與分析

氣體軸承參數(shù)見(jiàn)表1。

轉(zhuǎn)速n＝20 000 r／min，ps＝0.3 MPa下，不同供氣切向角和偏心率對(duì)剛度、阻尼系數(shù)的影響（氣膜剛度和阻尼系數(shù)的增大或減小均是相對(duì)其絕對(duì)值而言）如圖7所示。

由圖7a—圖7c可知：在同一偏心率下，剛度系數(shù)Kee，Kθe，Kθθ隨供氣切向角的增加而減小；供氣切向角不變時(shí)，除了Kee外，偏心率增大時(shí)，剛度系數(shù)增加；除了Kee，Kθe，Kθθ外，供氣切向角對(duì)剛度系數(shù)的影響較小。

由圖7d—圖7f可知：在相同供氣切向角下，除了Bee，Bθe外，偏心率增大時(shí)，動(dòng)態(tài)阻尼系數(shù)增加；阻尼系數(shù)Bee，Bθe受偏心率的影響較弱；當(dāng)偏心率不變時(shí)，阻尼系數(shù)Bθθ，Bze，Bez，Bzz隨供氣切向角的增大而減小；除了Bθθ，Bez，Bze，Bzz外，供氣切向角對(duì)阻尼系數(shù)的影響較小。

圖7 供氣切向角和偏心率對(duì)剛度和阻尼系數(shù)的影響Fig.7 Influence of tangential angle of gas supply and eccentricity on stiffness and damping coefficient

n＝20 000 r／min，φ＝30°下，不同供氣壓力和偏心率對(duì)動(dòng)態(tài)剛度和阻尼系數(shù)的影響如圖8所示。

由圖8a—圖8c可知：除了Kee外，偏心率增大時(shí)，剛度系數(shù)增加；除了Kee，Kθe，Kθθ，供氣壓力對(duì)量綱一的剛度系數(shù)的影響較小；在同一偏心率下，剛度系數(shù)Kee，Kθe，Kθθ隨供氣壓力的增大而增大。

由圖8d—圖8f可知：供氣壓力不變時(shí)，除了Bee，Bθe外，偏心率增大時(shí)，阻尼系數(shù)增加；阻尼系數(shù)Bee，Bθe受偏心率的影響較弱；當(dāng)偏心率不變時(shí)，供氣壓力的增大，阻尼系數(shù)Bze，Bθθ，Bzz增加；除了Bze，Bθθ，Bzz外，供氣壓力對(duì)阻尼系數(shù)的影響較小。

圖8 供氣壓力和偏心率對(duì)剛度和阻尼系數(shù)的影響Fig.8 Influence of pressure of gas supply and eccentricity on stiffness and damping coefficient

5 結(jié)論

將半球面氣體軸承的動(dòng)態(tài)剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)與穩(wěn)定性關(guān)聯(lián)起來(lái)，分析結(jié)論如下：

1）除了Kee外，偏心率增大，剛度系數(shù)增加；除了Bee，Bθe外，偏心率增大，阻尼系數(shù)增加。

2）供氣切向角增大，動(dòng)態(tài)剛度系數(shù)Kee，Kθe，Kθθ減小，阻尼系數(shù)Bθθ，Bez，Bze，Bzz減小。

3）供氣壓力增大時(shí)，剛度系數(shù)Kee，Kθe，Kθθ增加，阻尼系數(shù)Bze，Bθθ，Bzz增加。