高等數學中關于隱函數求導方法的教學探討

薛瑞　智珊珊

【摘要】隱函數求導是高等數學教學中的重點、難點問題，本文對隱函數的求導問題的幾種常用方法進行總結，歸納這些方法的適用范圍、特點和優缺點，并通過具體例題進行驗證。

【關鍵詞】隱函數 求導 導數

【中圖分類號】G642 O13-4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）05-0033-01

引言

隱函數求導問題是高等數學中一個非常重要的內容，是高等數學學習必不可少的基礎，同時也是一個困擾很多初學者的難點問題。最常見的求導方法是直接利用公式求導法，即將隱函數的求導問題歸結為多元函數的求偏導問題，該方法直接利用公式，較為簡單，但是對于初學者來說難以對其有較為直觀的理解，更難以把握因變量和自變量的處理上的區別對待，從而難以求出正確結果。

鑒于此，筆者對隱函數求導問題的常見方法進行總結，并對這些方法的適用范圍、特點及優缺點進行了歸納，并通過實例加以驗證。

一、隱函數的定義

教材中對隱函數有以下定義：一般地，如果方程中，當x取某區間內的任一值時，相應地總有滿足這個方程的唯一的y值存在，那么就說方程在該區間內確定了一個隱函數。

二、隱函數求導的方法

1.顯化法

顯化法求導法適用于初等函數或能化成顯函數的隱函數。

例1 求由方程確定的隱函數的導數。

解：方程給出的雖為隱函數的形式，但是能夠將其直接化為顯函數，再對該顯函數進行求導，易得。

但是，有時隱函數的顯化是有困難的，甚至是不可能的，就需要尋求其他方法。

2.直接法

對于不易或者不能顯化的隱函數，可將方程中的y看做關于x的函數，將隱函數看做復合函數進行求導運算。

例2 求由方程確定的隱函數的導數。

解：將方程兩端同時對x進行求導，注意y是x的函數。可得，從而求得，。

該方法直截了當，具有較好的適用性，但是要求學生熟練掌握復合函數的求導法等一些基本導數知識。

3.取對數求導法

對于形如的冪指函數來說，沒有求導公式，可以通過方程兩端取對數化冪指函數為隱函數，從而求出導數。

例3 求方程的導數。

解：方程兩邊同時取對數得，

上式兩邊同時對x求導，得，

于是，。

4.公式法

首先將隱函數的方程整理成的形式，再對兩邊同時對x、y求導數，然后再利用公式來求隱函數的導數。

例4 求由方程確定的隱函數的導數。

解：令，

上式兩邊同時對x求導，可得，

上式兩邊同時對y求導，可得，

由公式得：

該方法可直接套用公式，但在利用該公式求導時，需要注意在對變量x求導時，將y看做常數，在對變量y求導時，需將x看做常數，這對初學者來說很容易混淆。

5.微商法

首先對方程兩端同時求微分，然后利用函數微分和導數之間的關系，即，求出隱函數的導數。仍以例4為例，

可得，，故。

在使用該方法求微分的過程中，需將x、y看做獨立變量，容易出錯 而且該方法的計算過程與其他方法相比稍微復雜。

三、結語

本文對隱函數求導方法進行介紹，并對各種方法的優缺點進行了比較，在處理具體問題時，可根據題目的設置情況選擇其中的一種或幾種方法進行處理。為以后解決隱函數求導問題提供了一定的依據，降低思維強度，減少不必要的運算。