小波分析在電力負(fù)荷數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

李雨軒，高 鵬，趙慶磊

（國(guó)網(wǎng)山東省電力公司檢修公司，山東 濟(jì)南 250118）

0 引言

小波分析（Wavelets Analysis）是 20世紀(jì) 80年代后逐步興起和發(fā)展的一種新的數(shù)學(xué)分析方法。它作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支，汲取了現(xiàn)代分析學(xué)中泛函分析、數(shù)值分析、傅里葉分析、調(diào)和分析等眾多分支中的精華，具有深刻的理論意義［1］，在信號(hào)處理、故障診斷、狀態(tài)監(jiān)視、語(yǔ)音識(shí)別、刑事偵破等十幾個(gè)學(xué)科領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［2］。

自1822年傅里葉（Fourier）發(fā)表“熱傳導(dǎo)解析理論”以來，傅里葉變換一直是數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域中最完美、應(yīng)用最廣泛、效果最好的一種分析手段。但傅里葉變換只是一種純頻域的分析方法，需要利用信號(hào)的全部時(shí)域信息，這是一種整體變換，缺少時(shí)域定位功能［3］。而小波變換是一種時(shí)間—尺度（時(shí)間—頻率）分析方法，它具有多分辨率分析的特點(diǎn)，而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，很適合探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬變反常信號(hào)并能夠分析其成分，所以被稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”［4］。

電力負(fù)荷數(shù)據(jù)是電網(wǎng)公司采集的反映電力用戶用電情況的時(shí)間序列。將電力負(fù)荷數(shù)據(jù)看成是一種大時(shí)間粒度的數(shù)字信號(hào)，利用小波分析對(duì)其進(jìn)行去噪和壓縮，極大地方便了電力負(fù)荷數(shù)據(jù)的處理工作，具有很高的應(yīng)用價(jià)值。

1 小波分析原理

1.1 連續(xù)小波和離散小波

函數(shù) f（t）的連續(xù)小波變換為

式中：Ψ（x）∈L2（R）為小波函數(shù)；a 為尺度因子；b 為平移因子。

相應(yīng)的重構(gòu)公式為

1.2 Mallat塔式算法

小波變換在映射到計(jì)算域時(shí)存在信息冗余，計(jì)算量很大［5］。為此，基于多分辨率分析理論的Mallat塔式算法應(yīng)運(yùn)而生。

數(shù)學(xué)上可以證明：

逆運(yùn)算為：

式（9）即 Mallat塔式分解算法，式（10）為 Mallat算法的重構(gòu)算法，如圖1所示。

圖1 Mallat塔式算法分解和重構(gòu)

圖1中，Cj和Dj為2j分辨率下的離散逼近和離散細(xì)節(jié)，分別對(duì)應(yīng)信號(hào)的低頻成分和高頻成分。

1.3 小波系的選擇

小波函數(shù)不是唯一存在的，常見小波有Haar小波、Daubechies（dbN）小波系、雙正交小波系、Coiflet小波系等。處理電力負(fù)荷數(shù)據(jù)選擇的小波基至少要滿足條件：1）必須是緊支撐的，且支撐區(qū)間要小，這樣有利于奇異點(diǎn)的檢測(cè)。2）能夠靈活的調(diào)整分辨率，因?yàn)椴煌愋偷呢?fù)荷數(shù)據(jù)擁有不同的時(shí)間粒度。dbN小波系滿足這兩個(gè)條件，因此選用該小波系進(jìn)行分析。

2 小波分析在負(fù)荷數(shù)據(jù)去噪中的應(yīng)用

2.1 噪聲來源

電力負(fù)荷數(shù)據(jù)作為一種特殊的數(shù)字信號(hào)，在采集和傳輸過程中會(huì)摻雜進(jìn)各種噪聲，其噪聲來源主要有：1）負(fù)荷數(shù)據(jù)的壞點(diǎn)。由于人為失誤或系統(tǒng)故障，數(shù)據(jù)出現(xiàn)壞點(diǎn)和缺失，在負(fù)荷曲線上表現(xiàn)為奇異點(diǎn)。2）系數(shù)的放大效應(yīng)。原始負(fù)荷數(shù)據(jù)通常需要乘以一個(gè)大的系數(shù)才是真實(shí)數(shù)據(jù)，因此任何細(xì)小的干擾都可能被放大形成較大的波動(dòng)。3）負(fù)荷本身的不穩(wěn)定性。這種不穩(wěn)定性會(huì)在負(fù)荷曲線上形成無數(shù)小的毛刺。在一些強(qiáng)調(diào)宏觀性和整體性的應(yīng)用場(chǎng)合，這些細(xì)節(jié)意義不大，也將其視為一種噪聲。

電力負(fù)荷數(shù)據(jù)中的噪聲如不濾除，會(huì)嚴(yán)重干擾電網(wǎng)公司的決策。采用傳統(tǒng)的office軟件篩選耗時(shí)耗力，因此利用小波分析濾除負(fù)噪聲意義重大。

2.2 小波去噪方法

去噪的基本目的就是減少噪聲部分的幅值，使去噪后的信號(hào)盡可能地逼近原始信號(hào)［6］。目前，小波去噪的主流方法主要有模極大值去噪法［7］和閾值去噪法［8-10］。其中，閾值去噪法計(jì)算簡(jiǎn)單，速度快，且在最小均方誤差意義下可達(dá)到近似最優(yōu)［11］，因此選用閾值去噪法。

Mallat塔式算法可逐層將信號(hào)分解為逼近和細(xì)節(jié)成分，而噪聲主要隱藏在細(xì)節(jié)成分中。信號(hào)去噪就是有選擇性的濾除一些細(xì)節(jié)系數(shù)，則重構(gòu)后的信號(hào)就會(huì)接近于原始信號(hào)。

2.3 閾值選擇策略

細(xì)節(jié)系數(shù)中除包含噪聲外，還構(gòu)成了信號(hào)重要的細(xì)節(jié)特征，因此不能將其全部濾除。噪聲強(qiáng)度σ估計(jì)為

式中：dj（n）為第j層小波系數(shù)；N為該層小波系數(shù)的個(gè)數(shù)；δ為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。

則通用閾值T可表示為

本文提出雙層閾值法，首先將大于T1的系數(shù)收縮進(jìn)T1范圍內(nèi)，然后重新估算噪聲形成T2，利用T2對(duì)上一步信號(hào)進(jìn)行軟閾值處理，其取值函數(shù)為：

第一步

第二步

由于奇異點(diǎn)產(chǎn)生的小波系數(shù)往往遠(yuǎn)大于通用閾值，而傳統(tǒng)的軟閾值法只是將大于閾值的系數(shù)收縮一次，因此并不能有效地去除奇異點(diǎn)。而通過設(shè)置雙層閾值，首先將奇異點(diǎn)系數(shù)進(jìn)行多次收縮，使其回歸正常范圍內(nèi)，再對(duì)全局信號(hào)進(jìn)行軟閾值處理，可以較好地解決奇異點(diǎn)問題。

2.4 案例分析

圖2為某大型商場(chǎng)2012—2016年的單日最大負(fù)荷曲線。單日最大負(fù)荷可以近似代表一個(gè)用戶的負(fù)荷水平，在電網(wǎng)規(guī)劃中占有重要地位。由圖可知，此曲線的噪聲由兩部分組成：1）數(shù)據(jù)壞點(diǎn)（奇異點(diǎn)）；2）負(fù)荷不穩(wěn)定而形成的毛刺。

圖2 某大型商場(chǎng)單日最大負(fù)荷曲線

將此曲線用db5小波做5層分解，得到細(xì)節(jié)系數(shù)分布如圖3所示。由圖3可知，前3層分解系數(shù)均含有較為明顯的奇異點(diǎn)和高頻噪聲。估算其噪聲強(qiáng)度，δ分別取0.5和1.5形成雙層閾值，按照雙層閾值策略處理細(xì)節(jié)系數(shù)，保留全部逼近系數(shù)，重構(gòu)后如圖4所示。其中S1和S2分別為雙層系數(shù)處理的結(jié)果，S3為使用傳統(tǒng)軟閾值法的處理結(jié)果。

圖3 負(fù)荷曲線細(xì)節(jié)系數(shù)分布

圖4 負(fù)荷曲線去噪結(jié)果

由圖2、圖4可知：1）S1相較于S已經(jīng)消除了數(shù)據(jù)奇異點(diǎn)，非奇異點(diǎn)處的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)有很高的相似度；2）S2變得更加平滑，更能反映負(fù)荷特性和一般趨勢(shì)；3）S3雖然較原始曲線更加平滑，但并未有效去除奇異點(diǎn)。綜上說明雙層閾值法可以有效地去除數(shù)據(jù)中的奇異點(diǎn)和噪聲，相較于傳統(tǒng)軟閾值法優(yōu)勢(shì)明顯。

為評(píng)價(jià)此方法誤差水平，定義衡量指標(biāo)：平均絕對(duì)誤差為β，平均相對(duì)誤差為η，賦范均方誤差為βnorm。

誤差統(tǒng)計(jì)如表1所示。由表1可知，S2、S1、S3曲線誤差逐漸減小且三者誤差都處于較低水平。考慮到S1和S2消除了奇異點(diǎn)造成的誤差增大，其真實(shí)誤差應(yīng)低于此水平，說明此方法能夠較好地控制誤差。實(shí)際操作中，可根據(jù)不同的精確度要求靈活的調(diào)整通用閾值，閾值越小，則細(xì)節(jié)越少，去噪后曲線也越光滑，但誤差也越大。

表1 去噪結(jié)果誤差表

3 小波分析在負(fù)荷數(shù)據(jù)壓縮中的應(yīng)用

電網(wǎng)公司每時(shí)每刻都在生成各種負(fù)荷數(shù)據(jù)，這會(huì)占用大量的存儲(chǔ)空間，同時(shí)增加數(shù)據(jù)管理成本，因此有必要對(duì)負(fù)荷數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮。

3.1 小波壓縮方法

小波分解后逼近和細(xì)節(jié)系數(shù)的總個(gè)數(shù)與原信號(hào)的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，而時(shí)間序列的能量和宏觀性質(zhì)是由逼近系數(shù)和大幅值的細(xì)節(jié)系數(shù)決定，因此舍去部分小幅值的細(xì)節(jié)系數(shù)，再利用特殊的編碼方式記錄沒有被舍去的細(xì)節(jié)系數(shù)的位置，就可以到達(dá)只存儲(chǔ)少量小波系數(shù)而重構(gòu)原始時(shí)間序列的目的，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的壓縮。

3.2 閾值選擇策略

小波細(xì)節(jié)系數(shù)的取舍同樣需要用到閾值，但壓縮閾值沒有統(tǒng)一的估算方法。本文選用的閾值表示為

式中：j為當(dāng)前分解層數(shù)；N為該層小波系數(shù)的個(gè)數(shù)；A∈（0，1）命名為壓縮系數(shù)，其取值由壓縮率決定。

則細(xì)節(jié)系數(shù)的取值函數(shù)為

3.3 案例分析

如圖5所示為某商業(yè)街一周內(nèi)的負(fù)荷曲線，采樣頻率為1 min，共10 080個(gè)采樣點(diǎn)。

圖5 某商業(yè)街周負(fù)荷曲線

將此負(fù)荷曲線用db5小波做3層分解，壓縮系數(shù)分別設(shè)為0.1、0.3、0.6，壓縮后結(jié)果如圖6所示。

圖6 壓縮后負(fù)荷曲線

由圖 6 可知，S′1、S′2、S′3 均與原負(fù)荷曲線有較高的相似度，說明重構(gòu)效果較好，而它們參與重構(gòu)的系數(shù)分別只有3 641、1 857、1 320個(gè)，相較于原始信號(hào)的10 080個(gè)，均有大幅度減少。

定義壓縮比為：

式中：N*為壓縮后小波系數(shù)的個(gè)數(shù)；N為原始信號(hào)的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)。

誤差衡量指標(biāo)同前文所定義，則壓縮比和誤差如表2所示。由表2可知：1）壓縮比越小，壓縮效果越好，但誤差也越大；2）即使達(dá)到了13.1%的壓縮比，其誤差仍然處于較低的水平。所以此方法能僅損失較少的曲線細(xì)節(jié)，使負(fù)荷數(shù)據(jù)得到極大的壓縮，從而成倍的提高存儲(chǔ)介質(zhì)的利用率。實(shí)際操作中可以通過調(diào)整壓縮系數(shù)和分解層數(shù)靈活的改變壓縮比。

表2 壓縮結(jié)果評(píng)價(jià)表

4 結(jié)語(yǔ)

小波分析是數(shù)字信號(hào)處理的支柱理論之一，本文將其應(yīng)用領(lǐng)域擴(kuò)展到電力負(fù)荷數(shù)據(jù)的處理中，并提出了雙層閾值方法。實(shí)際案例分析表明，小波分析應(yīng)用于負(fù)荷數(shù)據(jù)去噪時(shí)，能夠有效地去除奇異點(diǎn)和噪聲，極大節(jié)約了人力和時(shí)間成本；而應(yīng)用于負(fù)荷數(shù)據(jù)壓縮時(shí)，可以在較小的誤差水平下，獲得很好的壓縮效果，從而成倍減少數(shù)據(jù)占用的存儲(chǔ)空間。因此小波分析在電力負(fù)荷數(shù)據(jù)處理方面具有很高的應(yīng)用價(jià)值。